1、n麦克斯韦方程麦克斯韦方程 物质方程物质方程 边界条件边界条件根据经典理论，电磁场的基本规律可以用麦克斯韦方程表述，为：根据经典理论，电磁场的基本规律可以用麦克斯韦方程表述，为：t BEt DJH D0 B 光纤是无自由电荷的介质，因此有光纤是无自由电荷的介质，因此有 00fJ，0r BHHEJ 介质相对磁导率介质相对磁导率 真空磁导率真空磁导率 介质电导率介质电导率 对于各向同性介质来说，相关的物质方程为对于各向同性介质来说，相关的物质方程为0DEP真空介电常数真空介电常数 介质磁导率介质磁导率 极化强度极化强度,3,1iijji jDE3,1iijji jBH成立条件：成立条件：（1 1）
2、介质是线性介质；（）介质是线性介质；（2 2）介电常数、磁导率与电磁场的）介电常数、磁导率与电磁场的 变化频率无关变化频率无关 对于光纤这样的非磁性介质，物质方程满足对于光纤这样的非磁性介质，物质方程满足 1,0r1.电位移法向分量的关系电位移法向分量的关系()21nD-D界面法线方向的单位矢量界面法线方向的单位矢量 界面处的面电荷密度界面处的面电荷密度 若界面处没有面电荷，则若界面处没有面电荷，则()021nD-D1n2nD=D（电位移法向分量连续！电位移法向分量连续！）4.4.磁场强度切向分量的关系磁场强度切向分量的关系()21nH-H表面电流面密度表面电流面密度 若界面没有面电流，则若界
3、面没有面电流，则()021nH-H3.3.电场强度切向分量的关系电场强度切向分量的关系()021nE-E2.2.磁感应强度法向分量的关系磁感应强度法向分量的关系()021nB-B1n2nB=B1t2tE=E1t2tH=H0DEP真空介电常数真空介电常数 0:(1)(2)(3)0P=E+E+EE+EEE+极化强度极化强度线性极化率线性极化率非线性极化率非线性极化率对于光纤此项为零对于光纤此项为零000002200022tttttttttt 0HBHEE+PDHEP):()3()2()1(0EEEEEEPP和和E满足关系：满足关系：)3(),(),(),(tttNLLrPrPrP线性极化线性极化非
4、线性极化非线性极化讨论传输模式时考虑非线性效应很弱，利用微扰理论，可以令讨论传输模式时考虑非线性效应很弱，利用微扰理论，可以令 0),(tNLrP，则推导出，则推导出 22(,)(,)(,)rcE rE r),(rE),(trE的傅立叶变换，定义为的傅立叶变换，定义为是是其中其中dttit)exp(),(),(rErE线性波动方程线性波动方程),(1),()1(rr一般式复数，其实部和虚部分别与折射率一般式复数，其实部和虚部分别与折射率 及吸收系数及吸收系数 有关。有关。)(n)(定义定义 2)2(cin 于是得到于是得到 2222)2(ccnincin很小，其平方项可以忽略，因此很小，其平方
5、项可以忽略，因此 cninccnin222221)1()(Re1),(rn)(Im),()1(ncr代表实部代表实部代表虚部代表虚部解线性波动方程前作两个近似：解线性波动方程前作两个近似：a.光纤的损耗很小，光纤的损耗很小，),(r的虚部相对于实部可以忽略，因而有的虚部相对于实部可以忽略，因而有 2(,)(,)n rr，以微扰的方式将光纤损耗包括进去；，以微扰的方式将光纤损耗包括进去；b.在阶跃光纤的纤芯和包层中折射率与方位无关，在阶跃光纤的纤芯和包层中折射率与方位无关，)(,nrnEEEE22)(通过简化，得到如下形式的波动方程：通过简化，得到如下形式的波动方程：0),()(),(2222r
6、ErEcn在柱坐标系下，有：在柱坐标系下，有：rrzEEEEaa+a0),()(),(2222rErEcn波动方程可以方便地表示为波动方程可以方便地表示为 2222202222110n krrrrzEEEEE20ck是电场强度是电场强度E的傅立叶变换，即的傅立叶变换，即 Edtit)exp(),(21),(rErEzzrrEHEEHH、),(trH六个分量中只有两个是独立的，习惯上选择六个分量中只有两个是独立的，习惯上选择 zzEH、作为独立分量，其他四个分量和这两个分量之间的关系为作为独立分量，其他四个分量和这两个分量之间的关系为0022200002220020222020022200zzr
7、zzzzrzzkEHjEk nrrkEHjEk nrrrk nHEjHk nrrHEjHk nk nr ,ZErzR rZ z2222222222222021()()1()()()()()()0d Z zZ zdzdmdd R rdR rrrk nrm R rdzdr 关于关于Ez的波动方程可通过作的波动方程可通过作分离变量方法分离变量方法来求解：来求解：221022210anknnaV22021knaU20222knaW222122222nnnnVWbeff0/kneff ()(),(,),imitzmzimitzmUAJr eeraaE rz tWBKr eeraa()(),(,),imi
8、tzmzimitzmUCJr eeraaHrz tWDKr eeraa 22221222011mmmmmmmmJUKWJUKWmnnUJUwKWUJUWKWkUW 2211mmmmJUKWmUJUwKWUW 弱导条件下弱导条件下(n1n2)：导模条件导模条件 cVV截止条件截止条件 cVV临界条件临界条件 cVV现将较低的几个 模式的归一化截止频率按照由高到低的顺序排列如下：Vc=0 HE11模模Vc=2.40483 TE01、TM01、HE21模模Vc=3.83171 EH11、HE12、HE31模模Vc=5.13562 EH21、HE41模模Vc=5.52008 TE02、TM02、HE2
9、2模模Vc=6.38016 EH31、HE51模模图中每一条曲线都相应于一个导模。平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点图中每一条曲线都相应于一个导模。平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点数就是光纤中允许存在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传播常数就是光纤中允许存在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传播常数数。Vc越大导模数越多；当越大导模数越多；当Vc2.405时，时，在光纤中只存在在光纤中只存在HE11模，其它模，其它导模均截止，为单模传输。导模均截止，为单模传输。405.2)/2(22210nnaVc)/(202.122210nnac202.1/)(2221nnac)/(202.1222
10、1nnacfc单模条件单模条件:单模光纤尺寸单模光纤尺寸:单模光纤截止波长单模光纤截止波长:单模光纤截止频率单模光纤截止频率:仅当波长大于截止波长时方可在光纤中实现单模传输。这时，在光仅当波长大于截止波长时方可在光纤中实现单模传输。这时，在光纤中传输的是纤中传输的是HE11模，称为基模或主模。紧邻模，称为基模或主模。紧邻HE11模的高阶模是模的高阶模是TE01、TM01模和模和HE21模，其截止值均为模，其截止值均为2.405。V2.405 基模的线偏振特性基模的线偏振特性:在弱导条件下，光线与纤轴的夹角小；芯区对光场的限制较弱；消逝场在弱导条件下，光线与纤轴的夹角小；芯区对光场的限制较弱；消
11、逝场在包层中延伸较远。此时场的横向分量线偏振，且远大于纵向分量；在包层中延伸较远。此时场的横向分量线偏振，且远大于纵向分量；通常用符号通常用符号LPmn来表示本征方程的近似解的线偏振模。来表示本征方程的近似解的线偏振模。基模场的表示基模场的表示假如入射光是沿光纤的一个主轴方向偏振的，光纤基模假如入射光是沿光纤的一个主轴方向偏振的，光纤基模HE11的场强近的场强近似为似为)(exp),()(),(ziyxFAxrE归一化常数归一化常数 0()0(,)(),(,)()(),aF x yJaF x yaJea 2/122)(yx 径向距离径向距离为简单起见，通常光纤的基模近似采用高斯形分布为简单起见
12、，通常光纤的基模近似采用高斯形分布)(exp),(222wyxyxF通过曲线拟合或变分过程决定通过曲线拟合或变分过程决定 当当1.2V2.4时，时，w与与a的关系可以近似表示为的关系可以近似表示为 3 260.65 1.6192.879w aVV 对对V=2有有wa，它表明对，它表明对V2的通信光纤，纤芯半径和的通信光纤，纤芯半径和w基基 本一本一 致，但也应注意到对致，但也应注意到对V1.8，w 就远大于就远大于a。由于高斯近似相对较为简单，若由于高斯近似相对较为简单，若w值合适，高斯近似的采用值合适，高斯近似的采用 是相当实际的。是相当实际的。22022022221tttcNLLPPEE线
13、性极化强度线性极化强度 非线性极化强度非线性极化强度n 非线性脉冲传输非线性脉冲传输 非线性项的表达和处理非线性项的表达和处理 在解波动方程时，需作几个假设来简化之：在解波动方程时，需作几个假设来简化之：a.由于折射率的非线性变化小于由于折射率的非线性变化小于10-6，可以把，可以把PNL处理成处理成PL的微扰；的微扰；b.假定光场沿光纤长度方向其偏振态不变，因而其标量近似有效；假定光场沿光纤长度方向其偏振态不变，因而其标量近似有效；c.假定光场是准单色的，即对中心频率为假定光场是准单色的，即对中心频率为0的频谱，其谱宽为的频谱，其谱宽为，且且/01。因为。因为0约为约为1015 s-1，因此
14、该项假定对脉宽，因此该项假定对脉宽0.1 ps的脉的脉 冲是成立的。冲是成立的。在慢变包络近似下，把电场的快变化部分分开，写成在慢变包络近似下，把电场的快变化部分分开，写成.)exp(),(21),(0cctitExtrrE单位偏振矢量单位偏振矢量 时间的慢变化函数时间的慢变化函数 把极化强度分量把极化强度分量P PL L、P PNLNL的快变化部分分开，其中线性极化分量的快变化部分分开，其中线性极化分量P PL L：0(1)00(1)0001(,)(,)exp().2(,)()(,)exp()()(,)exp()2LLLxxxxtx PtitccPtttEtittdtEit dP rrrrr
15、),(rE其中其中为为 E(r,t(r,t)的傅立叶变换。的傅立叶变换。NLNL0(3)01231231231(,)(,)exp().2(,)(,)(,)(,)ttttx Ptitccdtdtdttt tt tttttPrrE rE rE r(3)NL(,)(,)(,)(,)tttt 0PrE rE rE r计算可得计算可得 2200(3)022003(,)(,)exp3(,)(,)exp1(,)8(,)(,)exp33(,)(,)exp 3NLttitttittxttitttit E rE rE rE rPrE rE rE rE r22(3)0003(,)(,)(,)exp(,)(,)exp
16、8NLtxttitttit PrE rE rE rE r于是可以得到非线性极化强度的慢变幅度为于是可以得到非线性极化强度的慢变幅度为),(),(0tEtPNLNLrr非线性介电常数非线性介电常数2)3(|),(|43tENLr为了方便地在频域中推导慢变振幅为了方便地在频域中推导慢变振幅E(r,t)的波动方程，的波动方程，把把NL处理成常量处理成常量，这种方法从慢变包络近似以及这种方法从慢变包络近似以及PNL的扰动特性来看可认为是合理的。的扰动特性来看可认为是合理的。dtetEEti)(00),(),(rr满足亥姆霍兹方程满足亥姆霍兹方程0)(202EkEck0(1)NL()1()xx 介电常数
17、介电常数2222nnn EE20)2(kin折射率折射率 吸收系数吸收系数 习惯上定义习惯上定义 22nnn E22E非线性折射率系数非线性折射率系数 双光子吸收系数双光子吸收系数 (3)23Re()8xxxxnn(3)023Im()4xxxxnc光纤非线性的量度，不能与包层折射率混淆！光纤非线性的量度，不能与包层折射率混淆！对于石英光纤，此项常被忽略对于石英光纤，此项常被忽略 波动方程可利用变量分离法求解。假定解的形式为波动方程可利用变量分离法求解。假定解的形式为)exp(),(),(),(000zizAyxFEr波数波数 z的慢变函数，其二阶的慢变函数，其二阶导数可以忽略导数可以忽略求解过
18、程：求解过程：将上面的假定解代入亥姆霍兹方程，分离成两个关于将上面的假定解代入亥姆霍兹方程，分离成两个关于F(x,y)和和(z,)的方程：的方程：0)(2202222FkyFxF0)(22020AzAinnnnn2)(220222kiEnn表示微扰表示微扰上面关于上面关于F(x,y)的方程可用一阶微扰理论求解。根据一阶微扰理论，的方程可用一阶微扰理论求解。根据一阶微扰理论，n不会影响模分布不会影响模分布F(x,y)，然而本征值，然而本征值 变为变为()()()2222()(,)()()()(,)nF x ydxdyncF x ydxdy 001(,)(,)(,)exp().2tx F x y
19、A z tiztccE r慢变振幅慢变振幅A(z,t)的傅里叶变换的傅里叶变换 满足下面的方程：满足下面的方程：),(0zA0()()AiAz AAzAi)(2)(2002020AiAizA)()(00物理意义：脉冲沿光纤传输时，其包络内的每一谱成分都得到一个与频率物理意义：脉冲沿光纤传输时，其包络内的每一谱成分都得到一个与频率和强度有关的相移。和强度有关的相移。330220100)(61)(21)()(00()0mmmdd)2,1(m与此类似，将与此类似，将 2001021()()()2 若谱宽若谱宽5 ps，参量，参量(0T0)-1和和TR/T0很小（很小（0.001），则方程中的最后），
20、则方程中的最后两项可以忽略，同时对这种脉冲，三阶色散项的贡献也很小，因此可将两项可以忽略，同时对这种脉冲，三阶色散项的贡献也很小，因此可将方程简化为方程简化为0222222AATAAizAi非线性薛定谔（非线性薛定谔（NLS）方程）方程广义非线性薛定谔方程广义非线性薛定谔方程 为理解分步傅里叶方法的基本原理，把广义为理解分步傅里叶方法的基本原理，把广义NLSNLS方程改写成如下形式：方程改写成如下形式：ANDzA)(2612333222TTiD微分算符，表示线性介质的色散和吸收微分算符，表示线性介质的色散和吸收 TATAATAiAiNR2202)(1非线性算符，决定了脉冲传输过程中非线性算符，决定了脉冲传输过程中光纤非线性效应的影响。光纤非线性效应的影响。),()exp()exp(),(TzANhDhThzA1exp()(,)exp()(,)TThD B z TFhDiF B z T在傅里叶域内进行在傅里叶域内进行 数值解的精度取决于所取计算步长的大小数值解的精度取决于所取计算步长的大小 用迭代的方法在增大计算步长的情况下能保持计算精度用迭代的方法在增大计算步长的情况下能保持计算精度 为改进计算精度，可采用对称分步傅里叶方法为改进计算精度，可采用对称分步傅里叶方法 ),(2exp)(exp2exp),(TzADhzdzNDhThzAhzz
