1、小升初 工程问题内容分析-（）工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键知识结构 基本工程问题工程问题工程问题方法与技巧模块一：基本工程问题知识精讲1、工程问题的基本概念（1）定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单位“1”，工作效率：单位时间内完成的工作量（2）三个基本公式：工作总量=工作效率工作时间，工作效率=工作总量工作时间，工作时间
2、=工作总量工作效率；例题解析【例1】 一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？【难度】【答案】28天【解析】由于本题只有天数作为条件，所以设总工作量为1，则甲每天完成1/21，甲乙合作每天完成1/12，乙每天完成:1/12-1/21=1/28，乙单独做需要:11/28=28天【例2】 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？【难度】【答案】75天，50天【解析】设总工程量为1，则剩余工作量为： ，则乙的工作效率为 ，所以甲单独完成需要50天，乙单独完成需要(天)【
3、例3】 5个工人加工735个零件，2天加工了135个，已知2天中有1人因事请假1天，照这样的工作效率，如果以后几天无人请假，还要多少天才能完成任务？【难度】【答案】8天【解析】每人每天加工零件的个数：135（25-11）=15（个），5人每天加工零件的个数：155=75（个），剩下的工作量：735-135=600（个），还需要的天数60075=8（天）【例4】 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？【难度】【答案】56天【解析】甲乙合做28天，完成任务的2848=，故甲的工作效率
4、为（1-）（63-28）=，乙的工作效率为，于是乙还需做【例5】 一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天？【难度】【答案】48天【解析】可以利用效率进行和差，从而求出丙一个人的工作效率，从而得到天数。（效率）甲+乙=1/8，乙+丙=1/9，丙+甲=1/18。则三式子相加得2（甲+乙+丙）-2（甲+乙）=1/24，所以丙的效率是1/48，所以完成工作需要48天【例6】 一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了天乙请假多少天？【难度】【答案】10天【解
5、析】因为从开工到完成任务共用了16天，所以可知甲做了16天可得甲做了全部的，则乙做了全部工程的，因为这项工程以单独做要三十天,可知他的速度是，由此可得乙做了，因为这项工程做了16天，乙做了6天后请假，可得乙请假了10天【例7】 甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元那么两队原计划完成修路任务要多少天？【难度】【答案】12天【解析】原来甲乙的工作效率比为：（8400-5040）：5040=3360：5040=2：3，甲提高工效后，甲乙的工作效率比为：（3360
6、+960）：（5040-960）=4320：4080，=18：17；设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需a天完成任务，得：（24+4a）：（34+3a）=18：17，解得a=（天），于是共有工程量为：所以原计划修好这条路的天数为：60（2+3）=12（天）【例8】 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原来的，乙只能完成原来的现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要合做多少天？【难度】【答案】5天【解析】甲单独做时的工作效率为1/10，合作时的效率为1/10（1-1/20%）=2/25；乙单独做时的效率
7、为1/15，合作时的效率为1/15（1-10%）=3/50；那么合作时两人的效率和为2/25+3/50=7/50。要使合作时间尽量少，那么就要尽量让甲去多做，在这里我们把两人的效率和看成是丙的工作效率，是甲和丙去完成，并且要使丙尽量少做。这样就又变成了假设问题。假设8天都是甲做的，完成了81/10=8/10，还少1-8/10=2/10的工程没完成，这是因为这里面有甲做的天数其实是丙做的，有一天是丙做的我们算成了甲做的，我们就少算了7/50-1/10=2/50，所以丙做了2/102/50=5天，甲单独做了8-5=3天。即：两人合作了5天随堂检测【习题1】 一项工程，甲队单独做天可以完成，甲队做了
8、天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做天完成问：乙队单独完成这项工作需多少天？【难度】【答案】25天【解析】设总工程量为1，则用甲做完的剩余工作量除以乙的工作时间即为乙工作效率，则求出结果，乙工作效率为：，天数为25天【习题2】 一项工程，甲队单独完成需40天。若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成。如果乙队单独完成此工程，则需多少天？【难度】【答案】60天【解析】甲每天完成，甲乙合作中，甲一共完成，所以乙也一共完成，乙每天完成，则乙单独做要60天【习题3】 修筑一条高速公里。若甲、乙、丙合作，90天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，180天可
9、完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。还需多少天可完工？【难度】【答案】60天【解析】根据题干分析可得：甲、乙、丙、丁四的效率总和是：，则甲、乙的效率和为：，则根据最后工作流程得：【习题4】 有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天现在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成？【难度】【答案】5天【解析】这里前后乙，丙两队未曾离开，共同干了6天，所以乙、丙两队6天共干了，也就是说甲只干了，那么甲干了，因此，当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了6-1=5天才完成【习题5】
10、甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高甲、乙两人合作小时，完成全部工作的，第二天乙又单独做了小时，还留下这件工作的尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？【难度】【答案】【解析】先算出乙单独做了6小时的工作总量为：，所以乙的工作效率为：，再算出两人合作时候甲工作效率为：，甲单独的真正效率为：，所以甲单独做完的时间为：【习题6】 一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成现在两队同时施工，工作效率提高20当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完
11、成工程问整工程要挖多少方土？【难度】【答案】1100方土【解析】合甲乙两队合作的工作效率：，合作完成所用时间：，所以完成剩下的所用的时间：，因为是受阻 所以可以得出在剩下的里的效率是：；前后的工作效率差是：，这项工程计划挖土方数为：模块二：工程问题方法与技巧知识精讲1、常见的数学思想方法（1）整体分析法，代换法、比例法、列表法、方程法等（2）抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案一般情况下，工程问题求的是时间例题解析【例9】 有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小
12、时，乙需要7小时，丙需要14小时甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完则丙帮甲 小时 【难度】【答案】1.75小时【解析】三人搬完仓库用时：；甲完成了一个仓库的：，则丙运了这个仓库的：，且用时【例10】 甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成工程所需要的时间分别是天，天，天现在让甲队做工程，乙队做工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲队合做工程若干天问丙队与乙队合做了多少天？【难度】【答案】15天【解析】把A工程看作“1”，则B工程为，则总工作
13、量：，工作时间：丙队与乙队合做了： 【例11】 一项工程，乙单独做要天完成如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工问：甲单独做需要几天？【难度】【答案】10天【解析】这两种轮流交替做的情况反映出：当甲先做时，用的时间就少，而乙先做时，用的时间就多还反映出甲的工效高，乙的工效低肯定的是第一种情况中甲用的时间比乙多一天，而第二种情况中，乙的天数刚好和第一种情况中甲的天数相同，甲则是与第一种情况中乙的天数相同的基础上还多天第一种情况：甲 乙 甲 乙甲，第二种情况：乙 甲 乙 甲乙 甲（甲的二分之一）
14、，第一种情况：甲 乙 甲 乙等于第二种情况：乙 甲 乙 甲，根据分析可得，甲一天的工效=乙一天的工效+甲一天工效的，也就是乙一天的工效应该等于甲一天工效的，【例12】 公园水池每周需换一次水水池有甲、乙、丙三根进水管第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用多少小时？【难度】【答案】7小时【解析
15、】如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙的顺序轮流打开1小时，恰好在打开丙管1小时后灌满空水池，则第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲的顺序轮流打开1小时，应在打开甲管1小时后灌满一池水，不合题意；如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙的顺序轮流打开1小时，恰好在打开乙管1小时后灌满空水池，则第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲的顺序轮流打开1小时，应在打开丙管45分钟后灌满一池水；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲的顺序轮流打开1小时，应在打开甲管后15分钟灌满一池水；比较第二周和第三周，发现开乙管1小时和丙管45分钟的进水量与开丙管、乙管各1小时加开甲管15分钟的进水量相同，矛盾；所以第一周是在开甲管1
16、小时后灌满水池的；比较三周发现，甲管1小时的进水量与乙管45分钟的进水量相同，乙管30分钟的进水量与丙管1小时的进水量相同三管单位时间内的进水量之比为3：4：2；据此解答即可2小时20分=，随堂检测【习题7】 搬运一个仓库的货物，甲需小时，乙需小时，丙需小时有同样的仓库和，甲在仓库，乙在仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物丙帮助甲、乙各搬运了几小时？【难度】【答案】甲：3小时，乙：5小时【解析】甲乙丙三人合作完成2个仓库，所以完成时间：，甲能完成：，所以还有是丙做了，丙需要：，所以丙帮助乙为8-3=5（小时）【习题8】 甲、乙、丙三人同时分别在3
17、个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同甲在仓库，乙在仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完丙在仓库搬了多长时间？【难度】【答案】6小时【解析】，【习题9】 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止如果甲、乙轮流做一个工程需要小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？【难度】【答案】7.3小时【解析】甲乙轮流做一个工程，甲工作了5小时，乙工作了4.8小
18、时；乙甲轮流工作时，乙工作了5小时，甲工作了4.6小时。所以甲做0.4小时完成的工程等于乙做0.2小时，乙的效率是甲的0.40.2=2（倍），甲做5小时完成的任务乙只要2.5小时就能完成。所以乙单独完成这个工程要：2.5+4.8=7.3（小时）。【习题10】 为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜水来浇花草的水池，要求单独打开进水管3小时可以把水池注满，单独打开出水管4小时可以排完满池水。水池建成后，发现水池漏水。这时，若同时打开进水管和出水管14小时才能把水池注满。则当池水注满，并且关闭进水管与出水管时，经过多少小时池水就会漏完？【难度】【答案】84小时【解析】把水池的容
19、量看成单位“1”，进水管的效率就是，出水管的效率就是，进水管，出水管及漏水处三者的共同效率就是；若不漏水同时打开进水管和出水管的效率应是；用这一效率减去这一效率就是漏水处的效率，再用工作量除以漏水处的工作效率就是漏完需要的时间，漏水处的工作效率：；漏完全池水需要的时间：课后作业【作业1】 甲、乙两队合作挖一条水渠要天完成，若甲队先挖天后，再由乙队单独挖天，共挖了这条水渠的如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？【难度】【答案】甲：90天，乙：45天【解析】甲先挖4天后,乙再挖16天,可以看成是甲乙合作4天,乙再独做16412（天）甲乙合作4天完成：4，乙12天完成: 乙每天完成: 12，
20、甲每天完成: 甲独做完成要:190（天）乙独做完成要:145（天）【作业2】 一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作小时，共完成这批零件的。已知甲与乙的工作效率之比是，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？【难度】【答案】5天【解析】两人工作一天可以完成5=，甲与乙的工作效率是5：3,乙一天完成=，由于工作平均分给甲乙,每人完成，乙完成自己的总共要，=10天，那么乙还要工作:10-5=5天【作业3】 甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的，以后三人合作5天完成了这项工程，
21、按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？【难度】【答案】甲：330元，乙：910元，丙：560元【解析】甲乙效率和6=，乙丙效率和（1-）2=甲乙丙效率和（1-）（1-）5=甲效率-=，乙效率-=，丙效率-=甲分1800（6+5）=3011=330元，乙分1800（6+2+5）=7013=910元丙分1800（2+5）=807=560元【作业4】 一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍则该水箱最多可容纳多少吨水？【难度】【答案】54升【解析】可以
22、设甲水管每分钟注水量为1升，那么乙水管每分钟注水量为2升，所以当甲管注入18升水时，用时18分钟，而第二次乙注入27升水时只用272=13.5分钟，所以第一次丙管比第二次多注入27-18=9升水，这9升水就是18-13.5=4.5分钟注入的，这样就可以求出丙每分钟的注水量为94.5=2升，那么该水箱可容水18+182=54升【作业5】 某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？【难度】【答案】6天【解析】
23、一、二、三每天完成（1）一、三、五每天完成（2）二、四、五每天完成（3）一、三、四每天完成（4)同（3）乘2可得2倍的二、四、五每天完成2=（5）（1）+（2）+（4）+（5）得出3个一，3个二，3个三，3个四，3个五和为+=，所以五个小队一天可完成3=，需要时间：1=6天【作业6】 一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成时前来帮忙，待工程完成时离去，结果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前天完成还知道乙的工作效率是丙的倍，问：计划规定的工期是多少天？【难度】【答案】 30天【解析】把这项工程的总量看作1，依题意可得：若丙不来帮忙，乙完成工作总量的，需要 天，那么乙完成工作总量的就需要，若甲单独干后面的就需要20-6=14（天），即甲单独完成整个工程就需要，此时间应该比计划工程提前6天，最后依据计划需要的时间=甲单干需要的时间+6天即可解答 14 / 15
