1、小升初 等积变化和一半模型内容分析-（） 平面几何图形的面积计算公式不仅要记住，而且要理解其推导过程，最好在理解的基础上记忆。这样不仅记得牢，而且运用起来也更灵活自如。 对于较复杂的组合图形，要注意观察图形的特点，寻找图形中的内在联系，通过等积变形、一半模型、添加辅助线等方法，推导求解。知识结构 等积变化等积变化和一半模型一半模型 模块一：等积变化知识精讲 所谓“等积变换”是指在解某些几何问题 时，通过几何图形的面积相等，相互间进行转换，从而使问题得到解决，主要依据是：平行线间的距离处处相等”以及“等底等高的三角形面积相等”，运用“等积变换”的方法可以简捷、巧妙地解决某些复杂图形的面积; 在实
2、际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；反之，如果，则可知直线平行于等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比平移前后面积相等例题解析【例1】如图，在中，D 是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与等积的三角形一共有哪几个三角形？【难度】【答案】【解
3、析】因为D、E 是BC、AD中点，所以BD=DC、AE=ED，从而有等底同高可得出答案【总结】考查等底同高模型【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，厘米，厘米求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？【难度】【答案】4【解析】当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，于是三角形ABC的面积=BC122=BC6，三角形EBC的面积=BC32=BC1.5，所以面积的倍数是4【总结】等相同看高【例3】两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。【难度】【答案】17平方厘米【解析】阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，
4、然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）22=17（厘米2）。【总结】平移前后面积相等【例4】如图，长方形的面积是平方厘米，点、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积 【难度】 【答案】28平方厘米【解析】 【总结】等底同高模型应用【例5】如图，直角梯形ABCD中，AB=4厘米，AD=5厘米，DE=3厘米，那么三角形BO
5、C的面积是多少平方厘米？【难度】【答案】7.5平方厘米【解析】三角形AOD 的面积等于三角形BOC的面积，532=7.5（平方厘米）【总结】等量变换【例6】如图，三角形的面积为1，其中，三角形 的面积是多少？【难度】【答案】4【解析】连结CE，因为AE=3AB，所以BE=2AB，三角形BCE 的面积等于三角形ACB面积2倍，又因为BD=2BC，所以【总结】借助辅助线【例7】如图，大正方形的边长为6cm，求图中三角形BFD的面积？【难度】【答案】18平方厘米【解析】连结CF，三角形BDF与三角形BCD同底等高面积相等，所以三角形BDF面积是大正方形面积的一半为18平方厘米【总结】等积变形 【例8
6、】左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。【难度】【答案】8平方厘米【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD（见下图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于442=8（厘米2）。【总结】等积模型应用1、 等积变换的基本模型与应
7、用师生总结模块二：一半模型知识精讲（1）平行四边形中的一半模型 （2）梯形中的一半模型例题解析【例9】如右图，和都是矩形，的长是厘米，的长是厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米【难度】【答案】6【解析】长方形AEFB和长方形EDCF中阴影部分面积各占它们面积的一半。【总结】两次运用一半模型【例10】如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米【难度】【答案】25【解析】阴影部分面积占平行四边形面积的一半，所以阴影面积为25平方厘米【总结】一半模型简单应用【例11】如图,ABCD是长方形,EF与宽平行,OH与长平行,AB的长是8厘米,BC的长是6厘米,那么图中阴影部
8、分的面积是( )平方厘米.【难度】【答案】24【解析】图中的阴影面积像一个风车,由四个三角形组成,每个三角形的面积是对应长方形的一半,图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半,即862=24(平方厘米)【总结】一半模型的应用【例12】已知长方形ABCD，四边形AEFG是梯形，且GB=BF，已知长方形的面积是2014，梯形AEFG的面积是_.【难度】【答案】2014【解析】连接BE，根据平行四边形中的一半模型可知AEB的面积为长方形面积的一半为1007，又因为GB=BF，再根据梯形中的一半模型，可知AEB的面积是梯形AEFG面积的一半，所以梯形AEFG的面积为2014【总结】辅助线与一半模
9、型的应用【例13】如图,长方形ABCD的边上有两点E、F，线段CF、DF、CE、BE把长方形分成若干块，其中三个小木块的面积标注在上，阴影部分面积是（ ）平方米。【难度】【答案】97【解析】【总结】一半模型应用【例14】如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，那么它的宽DE是多少？【难度】【答案】DE=3.2厘米【解析】连结AG，三角形ADG面积等于正方形ABCD面积的一半，同时三角形ADG面积等于长方形FGDE面积的一半，所以正方形ABCD面积等于长方形FGDE面积。【总结】等底等高三角形与正方形面积的关系 【例15】如图，正方形ABCD的边长是6厘
10、米，AE=1.5厘米，CF=2厘米，长方形EFGH面积是多少平方厘米？【难度】【答案】33平方厘米【解析】连结ED、FD，平方厘米，长方形EFGH的面积是三角形EFD面积的两倍，所以答案是33平方厘米。【总结】考查一半模型与三角形面积的求解方法师生总结1、 一半模型的基本图形2、 一半模型基本应用随堂检测【练习1】如下图，长方形和长方形拼成了长方形，长方形的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 【难度】【答案】120【解析】长方形AFEB和长方形FDCE中阴影部分面积各占它们面积的一半。【总结】两次运用一半模型【练习2】如图，ABCE是一个平行四边形，ADE 是一个直角三角形，它们组合
11、成了梯形ABCD，如果这个梯形的上底、下底和高分别是2厘米、5厘米、4厘米，则图中阴影部分面积是_平方厘米【难度】【答案】6平方厘米【解析】梯形总面积为（2+5）42=14平方厘米，平方厘米，三角形ABD的面积为242=4平方厘米，所以阴影面积为14-4-4=6平方厘米。【总结】三角形及梯形面积的求解及等积应用【练习3】如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，高为6厘米，E、F分别为AB、AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？【难度】【答案】6平方厘米【解析】因为F是AC的中点，所以，所以（平方厘米）【总结】多次运用一半模型【练习4】如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是B
12、C、AC、AD的中点。求：三角形DEF的面积。【难度】【答案】3【解析】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半242=12，三角形ADE又是三角形ADC面积的一半122=6，三角形DEF的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形DEF的面积62=3【总结】多次运用一半模型【练习5】如图，三角形ABC被分成甲、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？【难度】【答案】5倍【解析】连接AD，因为BE=3，AE=6，所以，又因为BD=DC=4，所以，乙面积=5甲面积【总结】多次利用高同面积比等于底边比【练习6】在图中三角型ABC是直角三角形，四边形BDEF是正方
13、形，AD=4厘米，FC=9厘米，则三角形ABC的面积是_平方厘米【难度】【答案】75【解析】如图，将三角形ABC补成长方形ABCP，并分别延长DE、FE至H、G，由对称性知，三角形ADE与三角形AGE面积相等，三角形ABC与三角形ACP面积相等，所以正方形BDEF与长方形EHPG面积相等，所以，正方形BDEF的面积为49=36（平方厘米），DE=6，三角形ABC面积为（4+6）（6+9）2=75（平方厘米）【总结】巧妙作辅助线，运用对称【练习7】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AEF的面积为8平方厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米?【难度】【答案】48平
14、方厘米【解析】连结FB，三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍，又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AEF面积的6倍，因此，平行四边形面积为86=48（平方厘米）【总结】多次运用高同时面积比是边长之比【练习8】ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别是AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？【难度】【答案】48【解析】如图所示，平方厘米，平方厘米，阴影面积为72-12-6-6=48（平方厘米）。【总结】多次利用高同面积比等于底边比课后作业
15、【作业1】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？【难度】【答案】三角形ABD 与ACD，三角形ABC与DBC，三角形ABO与DCO【解析】三角形ABD 与ACD，三角形ABC与DBC利用等积模型，三角形ABO与DCO利用差不变性质【总结】等积模型简单应用【作业2】下图是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。 【难度】 【答案】140【解析】阴影部分是一个不规则图形，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯
16、形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）22=17（厘米2）。【总结】平移前后面积相等【作业3】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？【难度】【答案】（1） （2）3【解析】因为三角形ABD、ADC、ABC的高相同，所以面积的倍数关系就等于底边的倍数关系，1612=，124=3【总结】高相同看底【作业4】在三角形ABC 中，CD的长是BD长的2倍，E是AC的中点，则三角形ABC的面积是三角形ADE面积的_倍。【难度】【答案】3【解析
17、】，所以三角形ABC面积是三角形ADE面积的3倍【总结】三角形面积与底边之间的关系【作业5】如图，3BE=BC，4CD=AC，那么，三角形ABC的面积是三角形AED面积的_倍。【难度】【答案】2【解析】设三角形CDE面积为1，则三角形ADE面积为3，三角形ACE面积为1+3=4，三角形AEB面积为三角形ACE面积一半，三角形ABC面积是AED面积（2+4）3=2【总结】巧妙设值【作业6】图中的、分别是正方形三条边的三等分点，如果正方形的边长是，那么阴影部分的面积是_ 【难度】【答案】48【解析】如图，所以阴影面积是正方形面积除以3【总结】辅助线及三等分点【作业7】在图中，三个小三角形的面积分别为5、8、10，试问四边形ADOE的面积x是多少？【难度】【答案】22【解析】连接DE，所以三角形DOE面积=4，因为即，解得x=22【总结】高相同时面积比等于底边之比【作业8】如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。【难度】【答案】18【解析】连接AE、CD、BF，三角形ABC与DBC面积相等，所以三角形DBC面积为1，同理可得其他，三角形DEF面积=18【总结】辅助线及高相同时面积比等于底边之比17
