1、(一一)平面的法向量的定义：平面的法向量的定义：n如果如果n,那么向那么向量量n叫做平面叫做平面 的的法向量法向量1 1、利用平面法向量求直线、利用平面法向量求直线与平面所成的角：与平面所成的角：直线与平面所成的直线与平面所成的角等于平面的法向角等于平面的法向量所在的直线与已量所在的直线与已知直线的夹角的余知直线的夹角的余角。角。（二）平面法向量的应用（二）平面法向量的应用如图：直线如图：直线AB与平面所成的角与平面所成的角 =(=)2 ABCn例2 2、利用平面法向量求二面角的大小、利用平面法向量求二面角的大小求二面角的大小，先求出两个半平面的法向求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹
2、角，然后根据二面角与其大小相等或量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小互补求出二面角的大小 mn如图：二面角的大小等于如图：二面角的大小等于-2 2、利用平面法向量求二面角的大小、利用平面法向量求二面角的大小如图：二面角的大小等于如图：二面角的大小等于 mn指入、指出平面的法指入、指出平面的法向量的夹角的大小就向量的夹角的大小就是二面角的大小。是二面角的大小。例例1 1：如图，正方体：如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E，F F，M M，N N分别是分别是A A1 1B B1 1，BCBC，C C1 1D D1 1，B
3、 B1 1C C1 1的的中点，求二面角中点，求二面角M-EF-NM-EF-N的大小的大小AD1C1B1A1NMFEDCB(2)AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（解：（1 1）建系如图）建系如图所示，设正方体棱长所示，设正方体棱长为为2,2,则则M M（0 0，1 1，2 2）F F（1 1，2 2，0 0）E E（2 2，1 1，2 2）N N（1 1，2 2，2 2）则则MF=MF=（1,11,1，-2-2）NF=NF=（0 0，0 0，-2-2）EF=EF=（-1-1，1 1，-2-2），），设平面设平面ENFENF的法向量的法向量为为n=(x,y,z),n=(x,y,z),E
4、Fn=0NFn=0-x+y-2z=0-2z=0则则x=yz=0令令x=y=1,则则n=(1,1,0)2AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（解：（2）建系如图，）建系如图，由（由（1）得：面）得：面ENF的法向量为的法向量为 n=（1，1，0），又），又MF=（1，1，-2）EF=（-1，1，-2）设面设面EMF的法向量的法向量为为m=（x,y,z)，则，则MF.m=0EFm=0 x+y-2z=0-x+y-2z=0 x=0y=2z令令z=1,则则m=(0,2,1)cos=10/5 由题意可知，所由题意可知，所求二面角为锐角，故所求二面角的求二面角为锐角，故所求二面角的大小为大小为arcc
5、os(10/5)（2 2）如图，在空间直角坐标系中，）如图，在空间直角坐标系中，BC=2BC=2，原点原点O O为为BCBC的中点，点的中点，点A A的坐标是（的坐标是（1 1，1 1，0 0）点点D D在平面在平面yozyoz上，且上，且 BDC=90BDC=90，DCB=30,DCB=30,求二面角求二面角D-BA-CD-BA-C的大小的大小AOzyxDCB(0,-1,0)(1,1,0)(0,1,0)E30(0,-1/2,3/2)解：由题可知解：由题可知B B（0 0，-1-1，0 0），），C C（0 0，1 1，0 0），），又又A A（1 1，1 1，0 0），得），得AC=1AC=
6、1，AB=AB=5 5，又，又BC=2BC=2，ACB=90ACB=90，又，又 BCD=30BCD=30，BDC=90BDC=90，故，故BD=1BD=1，CD=CD=3 3，由，由D D点向点向BCBC作垂线作垂线DEDE，则，则DE=DE=3/23/2，OE=1/2OE=1/2，得，得D D（0 0，-1/2-1/2，3/23/2），），E E（0 0，-1/2-1/2，0 0），），ED=(0,0,ED=(0,0,3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2,3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2,3/2),3/2),面面ABCABC的法向量为的法向量为EDED，可求
7、得面，可求得面ABDABD的法向量的法向量为为n=(2n=(2 3,-3,-3,1)3,1)coscos=1/4=1/4=arccos(1/4)=arccos(1/4)二面角二面角D-BA-CD-BA-C的大小为的大小为arccos(1/4)arccos(1/4)例例在四面体例在四面体ABCD中，中，AB面面BCD，BC=CD，BCD，ADB=E、F分别是分别是A、AD的中点。的中点。）求证平面）求证平面BEF平面平面ABC；）求二面角的大小。）求二面角的大小。090030 xzy E D B C A 1 C 1 B 1 A1.如图,正1 1 1ABCnABC按它的一个法向量 平移到1,D E
8、BC CC分别是的中点，12ABAA1(1);BEAB证明：1(2)BABD求二面角的大小。广州一模2.(广州二模）如图，广州二模）如图，D,E,F分别是分别是AB,BC,CP的中点，的中点，AB=AC=1,PA=2.(1)求直线求直线PA和平面和平面DEF所成的所成的角的大小；角的大小；(2)求点求点P到平面到平面DEF的距离。的距离。0,90PAABCBAC平面CBPAFED小结：小结：1 1、本节主要复习了法向量在求线面角和二面、本节主要复习了法向量在求线面角和二面角方面的应用，注意所求角与法向量的联系，角方面的应用，注意所求角与法向量的联系，掌握基本的思想方法。掌握基本的思想方法。2
9、2、立体几何问题求解的思想方法的发展趋势、立体几何问题求解的思想方法的发展趋势用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故，学会用向量法解立体何问题的主要工具，故，学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。几何问题是学好立体几何的基础。3 3、利用法向量求点到平面的距离、利用法向量求点到平面的距离AB如图：点如图：点A到平面的距离到平面的距离d=|BA|cos|dA1n例例2 2：已知棱长为：已知棱长为1 1的正方体的正方体ABCD-ABCD-A A1
10、1B B1 1C C1 1D D1 1，E E，F F分别是分别是B B1 1C C1 1和和C C1 1D D1 1的中点，的中点，求点求点A A1 1到平面到平面BDEFBDEF的距离。的距离。FED1C1B1A1DCBAFED1C1B1A1DCBA4 4、利用法向量证明面面垂直问题、利用法向量证明面面垂直问题mn证明面面垂直可转化为证明它们的法向量垂直证明面面垂直可转化为证明它们的法向量垂直例例3 3：如图，在正三棱柱：如图，在正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1/3=a/3=a，E E、F F分别是分别是BBBB1 1、CCCC1
11、 1上的点，上的点，且且BE=aBE=a，CF=2a CF=2a。求证。求证:面面AEFAEF 面面ACFACF。AFEC1B1A1CBxzyAFEC1B1A1CBzy 不防设不防设 a=2a=2，则则A A（0 0，0 0，0 0），），B B（3 3，1 1，0 0），），C C（0 0，2 2，0 0），），E E（3 3，1 1，2 2），F F（0 0，2 2，4 4），），AE=AE=（3 3，1 1，2 2）AF=AF=（0 0，2 2，4 4），因为，），因为，x x轴轴 面面ACFACF，所以可取面，所以可取面ACFACF的法的法向量为向量为m=m=（1 1，0 0，0 0），设），设n=n=（x,y,z)x,y,z)是面是面AEFAEF的法向的法向量，则量，则xnAEnAE=3x+y+2z=03x+y+2z=0nAFnAF=2y+4z=0=2y+4z=0 x=0 x=0y=-2zy=-2z令令z=1z=1得得,n=n=（0 0，-2-2，1 1）显然有显然有m n=0m n=0，即，即，m m n n面面AEFAEF 面面ACFACF证明：如图，建立空间直角证明：如图，建立空间直角坐标系坐标系A-xyz A-xyz，
