1、第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学 第一节第一节 多元函数的极限及连续性多元函数的极限及连续性 第二节第二节 偏导数偏导数 第三节第三节 全微分全微分第四节第四节 多元复合函数微分法及偏导数多元复合函数微分法及偏导数 的几何应用的几何应用第五节第五节 多元函数的极值多元函数的极值第一节第一节 多元函数的极限及连续性多元函数的极限及连续性一、一、多元函数多元函数二、二、二元函数的极限与连续性二元函数的极限与连续性 1.实例分析实例分析 例例 1 1 设设矩矩形形的的边边长长分分别别 x和和 y，则则矩矩形形的的面面积积 S为为 xyS.在在此此，当当 x和和 y每每取取定定一一组组值值时
2、时，就就有有一一确确定定的的面面积积值值S即即S依依赖赖于于 x和和 y的的变变化化而而变变化化 例例 2 2 具有一定质量的理想气体，其体积为具有一定质量的理想气体，其体积为 V，压强，压强为为 P，热力学温度，热力学温度 T 之间具有下面依赖关系之间具有下面依赖关系VRTP（R是常数）是常数）.在这一问题中有三个变量在这一问题中有三个变量 P，V，T，当，当 V 和和 T 每取每取定为一组值时，按照上面的关系，就有一确定的压强定为一组值时，按照上面的关系，就有一确定的压强 P 第一节第一节 多元函数的极限及连续性多元函数的极限及连续性一、多元函数一、多元函数 二元函数的定义二元函数的定义
3、定义定义 1 1 (二元函数二元函数)设有三个变量设有三个变量,x y和和,z如果如果当变量当变量,x y在它们的变化范围在它们的变化范围 D中任意取定一对值时，中任意取定一对值时，变量变量 z 按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们对应，则称对应，则称 z为变量为变量,x y的二元函数，记为的二元函数，记为),(yxfz，其中其中 x与与 y称为自变量，函数称为自变量，函数 z也叫因变量自变量也叫因变量自变量 x与与 y的变化范围的变化范围 D称为函数称为函数 z的定义域的定义域 区域的概念：由一条或几条光滑曲线所围成的具有连区域的概念：由一条或几条
4、光滑曲线所围成的具有连通性通性(如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部分平面的折线连结起来，这样的部分平面称为具有连通性分平面的折线连结起来，这样的部分平面称为具有连通性)的部分平面，这样的部分平面称为区域围成区域的曲线的部分平面，这样的部分平面称为区域围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域 如果一个区域如果一个区域D内任意两点之间的距离都不超过某内任意两点之间的距离都不超过某一常数
5、一常数M，则称，则称D为有界区域，否则称为有界区域，否则称 D为无界区域为无界区域 常常见见区区域域有有矩矩形形域域：dycbxa,圆圆域域:).0()()(22020yyxx 圆圆域域22020)()(|),(yyxxyx一一般般称称为为平平面面上上点点),(000yxP的的 邻邻域域，而而称称不不包包含含点点 0P的的邻邻域域为为无无心心邻邻域域 二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑曲线所围成平面区域曲线所围成平面区域.二元函数定义域的求法与一元函二元函数定义域的求法与一元函数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义数类似，就是找使
6、函数有意义的自变量的范围，其定义域的图形一般由平面曲线围成域的图形一般由平面曲线围成 解解 由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域为满足为满足222ayx的的,yx即定义域为即定义域为 222|),(ayxyxD.这里这里D在在xOy面上表示一个以原点为圆心，面上表示一个以原点为圆心，a 为半为半径的圆域它为有界闭区域（如下图所示）径的圆域它为有界闭区域（如下图所示）.O 2 2 2 a y x y x a a 例例 5 5 求二元函数求二元函数)ln(yxz的定义域的定义域 解解 自变量自变量yx,所取的值必须满足不等式所取的值必须满足不等式0 yx
7、,即定义域为即定义域为 0|),(yxyxD.点集点集D在在xOy面上表示一个在直线上方的半平面面上表示一个在直线上方的半平面(不不包含边界包含边界0 yx)，如下图所示，此时如下图所示，此时 D 为无界开区域为无界开区域 O y x 例例 6 6 求二元函数求二元函数1)9ln(2222yxyxz的定的定义域义域 解解 这个函数是由这个函数是由)9ln(22yx 和和122 yx两部两部分构成，所以要使函数分构成，所以要使函数 z有意义，有意义，yx,必须同时满足必须同时满足,01,092222yxyx 即即9122yx,函数定义域为函数定义域为.91|),(22yxyxD点集点集 D 在在
8、xOy平面上表示以原点为平面上表示以原点为圆圆 心，半径为心，半径为 3 的圆与以原的圆与以原点为点为 圆心的单位圆所围成的圆心的单位圆所围成的圆环圆环 域域(包含边界曲线内圆包含边界曲线内圆122 yx，但不包含边界曲线外圆但不包含边界曲线外圆922 yx)(如右图所示如右图所示)x O 1 3 y 2.二元函数的几何表示二元函数的几何表示 把自变量把自变量yx,及因变量及因变量 z 当作空间点的直角坐标，先在当作空间点的直角坐标，先在xOy平面内作出函数平面内作出函数),(yxfz 的定义域的定义域 D(如下图如下图)，再，再过过 D 域中的任一点域中的任一点),(yxM作垂直于作垂直于x
9、Oy平面的有向线段平面的有向线段MP，使，使P点的竖坐标为与点的竖坐标为与),(yx对应的函数值对应的函数值 z 当当 M 点在点在D中变动时，对应的中变动时，对应的 P点的轨迹就是函数点的轨迹就是函数),(yxfz 的几何的几何图形，它通常是一张曲面，而其定义域图形，它通常是一张曲面，而其定义域 D就是此曲面在就是此曲面在 xOy平面上的投影平面上的投影 y x z O X Y M D P 例例 7 7 作二元函数作二元函数yxz1的图形的图形 解解 二元函数二元函数yxz1的图形是空间一平面，其图的图形是空间一平面，其图形如形如下下图图所示所示 x y z O z=1-x-y 例例 8 8
10、 作作二二元元函函数数22yxz的的图图形形 解解 此此函函数数的的定定义义域域为为xOy面面上上任任意意点点且且 0z，即即曲曲面面上上的的点点都都在在xOy面面上上方方其其图图形形为为旋旋转转抛抛物物面面，如如下下图图所所示示 z 2 2 y x z x y O 例例 9 9 作二元函数作二元函数222yxRz)0(R的图形的图形 解解 此二元函数的定义域为此二元函数的定义域为222Ryx，即，即 xOy坐坐标面上的以标面上的以O为圆心，为圆心，R为半径的圆，且为半径的圆，且Rz 0其图其图形为上半圆周，如下图所示形为上半圆周，如下图所示 y x z R R R O 解解 1.二元函数的极
11、限二元函数的极限 定义定义 2 2 设二元函数设二元函数),(yxfz，如果当点如果当点),(yx以任以任意方式趋向点意方式趋向点),(00yx时，时，),(yxf总趋向于一个确定的常数总趋向于一个确定的常数A，那么就称，那么就称A是二元函数是二元函数),(yxf当当),(yx),(00yx时的时的极限，记为极限，记为 Ayxfyxyx),(lim),(),(00或或Ayxfyyxx),(lim00.同一元函数的极限一样，二元函数的极限也有类似的同一元函数的极限一样，二元函数的极限也有类似的四则运算法则四则运算法则 二、二元函数的极限与连续性二、二元函数的极限与连续性2.2.二元函数的连续性二
12、元函数的连续性 定义定义 3 3 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(000yxP的某邻域内的某邻域内有定义，如果有定义，如果),(),(lim0000yxfyxfyyxx 则称二元函数则称二元函数),(yxfz 在点在点),(000yxP处连续如果处连续如果),(yxf在区域在区域 D 内的每一点都连续内的每一点都连续,则称则称),(yxf在区域在区域 D上连续上连续 若若令令yyyxxx00,，则则式式),(),(lim0000yxfyxfyyxx,可可写写成成0),(),(lim000000yxfyyxxfyx.即即 0lim00zyx.这这里里z为为函函数数),(yxf在在点点)
13、,(00yx处处的的全全增增量量，即即),(),(0000yxfyyxxfz.如如果果函函数数),(yxfz 在在点点0P),(00yx处处不不连连续续，则则称称点点0P),(00yx为为函函数数),(yxf的的不不连连续续点点或或间间断断点点 同一元函数一样，二元连续函数的和、差、积、商同一元函数一样，二元连续函数的和、差、积、商(分分母不等于零母不等于零)及复合函数仍是连续函数及复合函数仍是连续函数 由此还可得“多元初等函数在其定义域内连续”由此还可得“多元初等函数在其定义域内连续”思思考考题题 1.将二元函数与一元函数的极限、连续概念相比将二元函数与一元函数的极限、连续概念相比较，说明二
14、者之间的区别较，说明二者之间的区别 2.若若二二元元函函数数),(yxfz 在在区区域域 D内内分分别别对对yx,都都连连续续，试试问问),(yxfz 在在区区域域 D上上是是否否必必定定连连续续?第二节第二节 偏导数偏导数 一、一、偏导数偏导数 二、二、高阶偏导数高阶偏导数引例引例 一定量的理想气体的压强一定量的理想气体的压强 P，体积，体积 V，热力学，热力学温度温度 T 三者之间的关系为三者之间的关系为 VRTP(R 为常量为常量).当温度不变时（等温过程），压强当温度不变时（等温过程），压强 P 关于体积关于体积 V 的变的变变变化率就是化率就是 2ddVRTVPT常数常数,这种形式的
15、变化率称为二元函数的偏导数这种形式的变化率称为二元函数的偏导数 第二节第二节 偏导数偏导数 一、一、偏导数偏导数1 1.偏偏导导数数的的定定义义 定义定义 设函数设函数 ),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻域内有的某一邻域内有 定义，当定义，当 y固定在固定在 0y而而 x在在 0 x处有改变量处有改变量 x时相应地函数时相应地函数有改变量有改变量),(),(0000yxfyxxf如果极限如果极限 xyxfyxxfx),(),(lim00000 存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对 x 的偏的偏 导数，记为导数，记为 ),(,00
16、000000yxfzxfxzxyyxxxyyxxyyxx或或.类似地，当类似地，当 x固定在固定在 0 x，而，而 y在在 0y处有改变量处有改变量 y，如果极限如果极限yyxfyyxfy),(),(lim00000存在，则称此极限为函存在，则称此极限为函数数),(yxfz 在点（在点（x0，y0）处对）处对 y的偏导数，记为的偏导数，记为 ),(,00000000yxfzyfyzyyyxxyyyxxyyxx或或.如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域 D内内每每一一点点 ),(yx处处对对 x的的偏偏导导数数都都存存在在，且且这这个个偏偏导导数数仍仍是是 ,x y的的函函数数，称称),
17、(,yxfzxfxzxx或或为为函函数数),(yxfz 对对自自变变量量 x的的偏偏导导数数.类类似似地地，可可以以定定义义函函数数),(yxfz 对对自自变变量量 y的的偏偏导导数数，记记为为 ),(,yxfzyfyzyy或或.偏导数的求法：偏导数的求法：从偏导数的定义可以看到，偏导数的实质就是把一从偏导数的定义可以看到，偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数个自变量固定，而将二元函数),(yxfz 看成是另一个自看成是另一个自变量的一元函数的导数因此，求二元函数的偏导数变量的一元函数的导数因此，求二元函数的偏导数,只须用一元函数的微分法，把一个自变量暂时视为常量，只须用一元函数的微
18、分法，把一个自变量暂时视为常量，而对另一个自变量进行一元函数求导即可而对另一个自变量进行一元函数求导即可 例例 1 1 求求yxzsin2的的偏偏导导数数 解解 把把 y看看作作常常量量对对 x求求导导数数,得得yxxzsin2 把把 x看看作作常常量量对对 y求求导导数数，得得yxyzcos2 解解 偏导数偏导数 2212yxxxz，2212yxyyz,在在(1(1，2)2)处的偏导数就是偏导数在处的偏导数就是偏导数在(1(1，2)2)处的值，处的值，所以所以 31)2,1(xz，.32)2,1(yz 证证 因为因为PVRT，所以，所以VP2VRT 又又 VPRT，所以，所以TVPR 同样由
19、同样由 TRPV，所以，所以PTRV 因此因此,VPTVPT)(2VRTPRRV1PVRT 2 2偏导数的几何意义偏导数的几何意义 从偏导数的定义可知，二元函数从偏导数的定义可知，二元函数),(yxfz 在点在点),(00yx处 对处 对 x 的 偏 导 数的 偏 导 数xf),(00yx，就 是 一 元 函 数，就 是 一 元 函 数),(0yxfz 在在 0 x处 的 导 数处 的 导 数 xdd),(0yxf0 xx 设 设 0M),(,(0000yxfyx为曲面为曲面),(yxfz 上的一点，过上的一点，过 0M作作平 面平 面 0yy，这 个 平 面 在 曲 面 上 截 得 一 曲
20、线这 个 平 面 在 曲 面 上 截 得 一 曲 线0),(yyyxfz 由 一 元 函 数 的 导 数 的 几 何 意 义 可 知 由 一 元 函 数 的 导 数 的 几 何 意 义 可 知0d),(d0 xxxyxf.即即),(00yxfx就是这条曲线就是这条曲线 xC在在点点 0M处的处的切线切线0MxT对对 x 轴的斜率，即轴的斜率，即 00(,)tanxfxy.同理，同理，),(00yxfy是曲面是曲面),(yxfz 与平面与平面0 xx 的交的交线线yC在点在点0M处的切线处的切线0MyT对对 y 轴的斜率，即轴的斜率，即 tan),(00yxfy.x y z 0 M x C y
21、T x T y C 0 x 0 y O 图形如下所示图形如下所示:对于二元函数对于二元函数),(yxfz 的两个偏导数的两个偏导数 xz，yz，一般说来，它们仍然是自变量一般说来，它们仍然是自变量 ,x y的函数如果的函数如果 xz，yz的偏导数存在，可以继续对的偏导数存在，可以继续对 x或或 y求偏导数，则称求偏导数，则称这两个偏导数的偏导数为函数这两个偏导数的偏导数为函数),(yxfz 的二阶偏数 这的二阶偏数 这 样的二阶偏导数共有四个，分别表示为样的二阶偏导数共有四个，分别表示为 ),()(22yxfxzxzxxx,),()(2yxfyxzxzyxy,),()(2yxfxyzyzxyx
22、,),()(22yxfyzyzyyy.二、二、高阶偏导数高阶偏导数其中第二其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数它们、第三两个偏导数称为混合偏导数它们求偏导数的先后次序不同，前者是先对求偏导数的先后次序不同，前者是先对 x后对后对 y求求导，后者是先对导，后者是先对y后对后对x求导类似地可以定义三阶、四求导类似地可以定义三阶、四阶、阶、n阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数都称为阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数都称为高阶偏导数高阶偏导数 解解 函数的一阶偏导数为函数的一阶偏导数为 3263xyyxxz，2239yxxyz,二阶偏导数为二阶偏导数为 22xz)(xzx)63(32xyyxx366yxy,
23、yxz2)(xzy)63(32xyyxy=22183xyx,xyz2)(yzx)9(223yxxx=22183xyx,22yz)(yzy)9(223yxxy218xy.从上例看到，从上例看到，3333yxyxz的两个二阶偏导数是相的两个二阶偏导数是相等的，但这个结论并不是对任意可求二阶偏导数的二元等的，但这个结论并不是对任意可求二阶偏导数的二元函数都成立，不过当两个二阶混合偏导数满足如下条件函数都成立，不过当两个二阶混合偏导数满足如下条件时，结论就成立时，结论就成立 定理定理 若若),(yxfz 的两个二阶混合偏导数在点的两个二阶混合偏导数在点),(yx连续，则在该点有连续，则在该点有 yxz
24、2xyz2.对于三元以上函数也可以类似地定义高阶偏导数，对于三元以上函数也可以类似地定义高阶偏导数，而且在偏导数连续时，混合偏导数也与求偏导的次序无而且在偏导数连续时，混合偏导数也与求偏导的次序无关关 例例 9 9 证明证明),(txTbxtabsine2满足热传导方程满足热传导方程22xTatT，其中，其中 a为正常数，为正常数，b为任意常数为任意常数 证明证明 因为因为 tTbxabtabsine22,xTbxbtabcose2,22xTbxbtabsine22,所以所以 22xTabxabtabsine22tT.思思考考题题 1 1.与与一一元元函函数数比比较较，说说明明二二元元函函数数
25、连连续续、偏偏导导之之间间的的关关系系 2 2.若若22yxz，试试求求xz11yx,且且说说明明其其几几何何意意义义 第三节第三节 全微分全微分 一、一、全微分的定义全微分的定义 二、二、全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用一一元元函函数数的的微微分分概概念念回回顾顾 如 果 一 元 函 数如 果 一 元 函 数)(xfy 在 点在 点 x处 的 改 变 量处 的 改 变 量)()(xfxxfy，可以表示为关于，可以表示为关于 x的线性函数与的线性函数与一个比一个比x的高阶无穷小之和，即的高阶无穷小之和，即 )()(xfxxfyA)(xox.其中其中 A 与与 x无关，仅与无关，
26、仅与 x有关，有关，)(xo 是当是当 x0时比时比x高阶的无穷小，则称一元函数高阶的无穷小，则称一元函数)(xfy 在在 x可可微，并称微，并称 xA是是)(xfy 在点在点 x处的微分，记为处的微分，记为ydxA，且有若且有若)(xf可导则可导则 )(xfA 第三节第三节 全微分全微分 一、全微分的定义一、全微分的定义定定义义 设有二元函数设有二元函数),(yxfz，如果在点，如果在点 ),(yx处，函数的全增量处，函数的全增量),(),(yxfyyxxfz可以表可以表示为关于示为关于x，y的线性函数与一个比的线性函数与一个比22)()(yx高阶的无穷小之和，即高阶的无穷小之和，即 )()
27、,(),(oyBxAyxfyyxxfz.其中，其中，BA,与与x，y无关，只与无关，只与yx,有关，有关，)(o是是当当0时比时比高阶的无穷小，则称二元函数高阶的无穷小，则称二元函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微，并称处可微，并称yBxA是是),(yxfz 在点在点 ),(yx处的全微分，记作处的全微分，记作 yBxAzd.定定理理 1 1 若若),(yxfz 在在点点),(yx处处可可微微，则则它它在在该该点点一一定定连连续续 证证 因因为为),(yxfz 在在点点),(yx处处可可微微，即即 )(),(),(oyBxAyxfyyxxfz,所所以以当当0 x，0y时时，有有0z，即
28、即),(yxfz 在在该该点点连连续续 定 理定 理 2 2 若若),(yxfz 在 点在 点),(yx处 可 微，则处 可 微，则),(yxfz 在点在点),(yx处的两个偏导数存在，且处的两个偏导数存在，且 A xz，Byz 证证 因为因为),(yxfz 在点在点),(yx处可微，有处可微，有 ),(),(yxfyyxxfz )(oyBxA,若若令令上上式式中中的的y0，则则 )(),(),(xoxAyxfyxxfz,所所以以xyxfyxxfx),(),(lim0 AxxoxAx)(lim0,即即xzA，类类似似地地可可证证Byz 一般地，记一般地，记xxd，yyd，则函数，则函数),(y
29、xfz 的的全微分可写成全微分可写成 yyzxxzzddd.定定理理 3 3 (可可微微的的充充分分条条件件)若若),(yxfz 在在点点),(yx处处的的两两个个偏偏导导数数连连续续，则则),(yxfz 在在该该点点一一定定可可微微 全微分的概念也可以推广到三元或更多元的函全微分的概念也可以推广到三元或更多元的函数例如若三元函数数例如若三元函数),(zyxfu 具有连续偏导数，则具有连续偏导数，则其全微分的表达式为其全微分的表达式为 zzuyyuxxuudddd.例例 1 1 求求函函数数22yxz 在在点点(2 2，-1 1)处处，当当02.0 x，01.0y时时的的全全增增量量与与全全微
30、微分分 解解 由定义知，全增量由定义知，全增量 1624.0)1(2)01.01()02.02(2222z.函数函数22yxz 的两个偏导数的两个偏导数 22xyxz，yxyz22.因为它们都是连续的，所以全微分是存在的，因为它们都是连续的，所以全微分是存在的，于是所求在点于是所求在点(2(2，-1)1)处的全微分为处的全微分为 0.16(-0.01)(-8)02.04dz.例例 2 2 求求)sin(eyxzx全微分全微分 解解 因因为为)cos(e)sin(eyxyxxzxx e cos()xzxyy 所所以以yyzxxzzddd yyxxyxyxxxd)cos(ed)cos()sin(e
31、 解解设函数设函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微，则函数的全增处可微，则函数的全增量与全微分之差是一个比量与全微分之差是一个比 高阶的无穷小，因此当高阶的无穷小，因此当 x与与 y都较小时，全增量可以近似地用全微分代替，都较小时，全增量可以近似地用全微分代替，即即 yyxfxyxfzzyx),(),(d.又因为又因为),(),(yxfyyxxfz,所以有所以有 (,)(,)(,)(,)xyf xx yyf x yfx yxfx yy.二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用解解 圆柱体体积圆柱体体积,2hrV 这个铁罐所需材料的体是这个铁罐所需材料的体是 hrhhrr
32、V22)()(.因为因为rcm2.0，hcm4.0都比较小，所以可用全微分近都比较小，所以可用全微分近似代替全增量，即似代替全增量，即 2ddd2d dVVVVrhrh rrhrh )dd2(hrrhr 所以所以 )4.052.024(54.02,012,5hrhrV)cm(8.106343 故所需材料的体积大约是故所需材料的体积大约是8.106)cm(3 解解 设函数设函数),(yxfz yx，则要计算的数值就是函，则要计算的数值就是函数在数在,98.0 xxyy03.2的函数值的函数值)03.2,98.0(f 取取2,1yx，x=-0 0.0202，y=0=0.0303由公式由公式 yyx
33、fxyxfyxfyyxxfyx),(),(),(),(,得得)03.02,02.01()03.2,98.0(ff )03.0)(2,1()02.0)(2,1()2,1(yxfff,因为因为 2)2,1(,),(,1)2,1(1xyxfyxyxff,0)2,1(,ln),(yyyfxxyxf,所以所以 96.003.00)02.0(21)98.0(03.2.思思考考题题 1 1.偏偏导导数数、全全微微分分与与连连续续偏偏导导数数三三者者之之间间关关系系如如何何?2.2.举例说明如何利用微分形式不变性求全微举例说明如何利用微分形式不变性求全微分分 一、一、复合函数微分法复合函数微分法 二、二、隐函
34、数的微分法隐函数的微分法 三、三、偏导数的几何应用偏导数的几何应用 第四节第四节 多元复合函数微分法及多元复合函数微分法及 偏导数的几何应用偏导数的几何应用第四节第四节 多元复合函数微分法及多元复合函数微分法及偏导数的几何应用偏导数的几何应用 设 函 数设 函 数),(vufz，而，而vu,都 是都 是yx,的 函 数的 函 数),(yxu),(yxv，于是，于是),(),(yxyxfz是是 yx,的的函 数，称 函 数函 数，称 函 数),(),(yxyxfz为为),(vufz 与与),(yxu),(yxv的复合函数的复合函数 为了更清楚地表示这些变量为了更清楚地表示这些变量之间的关系，可用
35、图表示，见右图之间的关系，可用图表示，见右图,其中线段表示所连的两个变量有其中线段表示所连的两个变量有关系其中关系其中yx,是自变量，而是自变量，而 vu,是中间变量是中间变量 z u x y y 一、复合函数微分法一、复合函数微分法定理定理 1 设设),(yxu),(yxv在点在点),(yx处有偏处有偏导数，导数，),(vufz 在相应在相应,(u)v有连续偏导数，则复合函数有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz在点在点),(yx处有偏导数，且处有偏导数，且 xzuzxuvzxv,yzuzyuvzyv.证证 证第一个等式如下：证第一个等式如下：设自变量设自变量x有一个改变量有一个改
36、变量x，则，则vu,有改变量有改变量 ),(),(yxyxxu,),(),(yxyxxv.函数函数),(vufz 在相应点在相应点),(vu的全增量（它也是关于的全增量（它也是关于变量变量 x 的改变量）是的改变量）是ufz(),(),vufvvu已知已知),(vufz 在点在点),(vu有连续的偏导数，根据上节定理有连续的偏导数，根据上节定理 3 知，知，),(vufz 在点在点),(vu处可微，即处可微，即 )(),(),(ovvzuuzvufvvuufz.其中其中22)()(vu，上式两边同除以，上式两边同除以x，得，得 xzxuuzvzxvxo)(,当当0 x时，时，xuxu，xvxv
37、(因为因为 vu,在点在点),(yx的偏导数存在的偏导数存在)，而，而xvuoxoxo22)()()()()(,其中其中 2222()()uvuvxxx(0 x),于是于是 0)()()()(22xvuoxo(0 x),所以，当所以，当0 x时，时，0)(xo 因此，当因此，当0 x 时，时，式的两边取极限，即得式的两边取极限，即得 xzxuuzxvvz.同理可证同理可证 yzyuuzyvvz.例例 1 1 求函数求函数vuzcose，xyu，)ln(yxv的偏导的偏导数数xz，yz 解解 因因为为 uzvucosevcos，vz)sin(ecosvuvu,xuy，,xyuyxxv1，yxyv
38、1,所以所以 xzxuuzxvvzcos=euvyxvuvysincos )cos(ln(eyxxyyxyxxyyxy)sin(ln()cos(ln(.yzyuuzyvvz )cos(ln(eyxxyyxyxxyyxx)sin(ln()cos(ln(.x y u v w 定理定理 2 2 （隐函数存在定理）（隐函数存在定理）设函数设函数),(zyxF在在点点0P),(000zyx的某个邻域内连续且有连续的偏导数的某个邻域内连续且有连续的偏导数),(zyxFx，),(zyxFy，),(zyxFz，又，又0),(000zyxF，0),(000zyxFz，则存在惟一的函数，则存在惟一的函数),(yx
39、fz 在在),(00yx的某个邻域内是单值连续的，并满足方程的某个邻域内是单值连续的，并满足方程0),(zyxF，即即 0),(,(yxfyxF.而且而且),(000yxfz，同时，同时),(yxfz 在此邻域内有连在此邻域内有连续的偏导数续的偏导数 二、隐函数的微分法二、隐函数的微分法隐隐函函数数的的微微分分法法 解解 因为因为0)(,(xyxF,所以，此式两端对所以，此式两端对 x 求导得求导得 0ddxyyFxxxF,即即 0ddxyFFyx.所以所以),(),(ddyxFyxFxyyx此式称为一元隐函数的此式称为一元隐函数的求导公式求导公式 解解 因为因为0),(,(yxzyxF，所以
40、此式两端对，所以此式两端对 x 求求导得导得 0 xzzFxF,所以所以 zFxFxz.同理可得同理可得 zFxFyz.更一般地，若已知由方程更一般地，若已知由方程,(21xxF0),uxn确定确定了了u是是,21xxnx,的函数，且的函数，且kxF(,2,1k),nuF存在存在且且0uF，则，则有有 kuxuFxFk(,2,1k)n.解一解一 因为因为e0zxyz确定了函数确定了函数),(yxzz，所，所以方程两边对以方程两边对 x 求导得求导得 e0zzzyzxyxx,所以所以 xzezyzxy.类似可得类似可得yzxyxzze 解解二二 令令),(zyxFxyzze 因因为为yzFx，x
41、zFy，xyFzz e,于于是是由由例例 2 得得 xzzxFFezyzxy,yzzyFFezxzxy.空间曲线的切线：空间曲线的切线：如果点如果点 0P),(000zyx，P),(zyx为曲线为曲线)(trr)(t上的两个点，则割线上的两个点，则割线PP0的极的极限限0PP 即称为该曲线在即称为该曲线在 0P点的切线点的切线 设空间曲线设空间曲线的参数方程为的参数方程为)(),(),(tzztyytxx t.1 1.空空间间曲曲线线的的切切线线及及法法平平面面 割线割线0P P的方向向量的方向向量 0000,P Pxxyyzz,割线割线0P P的方程为的方程为 000000XxYyZzxxy
42、yzz,三、偏导数的几何应用三、偏导数的几何应用各分母除以各分母除以0tt 得得 000000000ttzzzZttyyyYttxxxX,这里这里0t和和 t 分别是分别是0P点点 P和所对应的参数值若函数在和所对应的参数值若函数在点点0t的导数的导数)(0tx，)(0ty，)(0tz均不为零，则当均不为零，则当0tt 时，时，割线割线PP0的极限的极限(即曲线在点即曲线在点0P的切线的切线)方程为方程为 )()()(000000tzzZtyyYtxxX.式为曲线也就是曲线式为曲线也就是曲线)(trr 在点在点 0P处的切线方处的切线方程其方向向量程其方向向量)(),(),(000tztytx
43、也就是该曲线在点也就是该曲线在点0M)(),(),(000tztytx处的切向量处的切向量 曲线的法平面：通过切点曲线的法平面：通过切点0P垂直于切线的每一条直垂直于切线的每一条直线都叫做曲线在点线都叫做曲线在点0P处的法线，这些法线所在的平面称处的法线，这些法线所在的平面称为曲线在点为曲线在点0P处的法平面曲线在点处的法平面曲线在点0P处的切向量即处的切向量即为该点法平面的法向量因此，曲线在该点的法平面为该点法平面的法向量因此，曲线在该点的法平面方程为方程为 0)()()(000000zztzyytyxxtx.解解 曲 线曲 线 tztytx,sin,cos 的 向 量 形 式 为的 向 量
44、 形 式 为kjirtttsincos,其切向量为其切向量为 kjirtttcossin)(,又因为对应于曲线上的点又因为对应于曲线上的点)0,0,1(0M，所以，所以 kjir0)0(,因此，在点因此，在点(1，0，0)处的切线方程为处的切线方程为,1010,01zyx 即即 .,1zyx 在点在点(1，0，0)处的法平面方程为处的法平面方程为 0)0(1)0(1)1(0zyx,即即 0 zy.2 2.曲曲面面的的切切平平面面与与法法线线 曲面的切平面：曲面的切平面：通过曲面通过曲面上一点上一点),(0000zyxM，在曲面上可以作无穷多条曲线，若每条曲线在点在曲面上可以作无穷多条曲线，若每
45、条曲线在点),(0000zyxM处都有一条切线，且可证明这些切线都在处都有一条切线，且可证明这些切线都在同一平面上，称该平面为曲面同一平面上，称该平面为曲面在点在点),(0000zyxM处的处的切平面切平面 曲曲面面的的切切平平面面方方程程:设曲面设曲面的方程为的方程为0),(zyxF,),(0000zyxM是是曲面曲面上的一点，曲线上的一点，曲线 L是曲面是曲面上通过点上通过点 0M的一条的一条曲线假设曲线曲线假设曲线 L的参数方程为的参数方程为 ).(),(),(tzztyytxx 且设且设0tt 对应于点对应于点),(0000zyxM，并设曲线，并设曲线 L在点在点 0M处的切向量处的切
46、向量 )(),(),(000tztytxs,不为零向量由于曲线不为零向量由于曲线 L在曲面在曲面上，所以，有上，所以，有 0)(),(),(tztytxF,上式两边对上式两边对 t求导，得求导，得0dd0tttF,即即 )(),(0000txzyxFx)(),(0000tyzyxFy0)(),(0000tzzyxFz,将上式写成向量的点积形式为将上式写成向量的点积形式为 ),(000zyxFx，),(000zyxFy，),(000zyxFz0s.这说明向量这说明向量 n=),(000zyxFx，),(000zyxFy，),(000zyxFz 是与曲面是与曲面上过点上过点),(0000zyxM的
47、曲线的曲线 L 的切线垂直的向的切线垂直的向量量.由于由于L为曲面为曲面上过点上过点),(0000zyxM的任一条曲的任一条曲线所以，向量线所以，向量 n 与曲面与曲面上过点上过点0M的所有曲线的切线的所有曲线的切线均垂直 这说明均垂直 这说明 n 为曲面为曲面在点在点0M处的切平面的法向量处的切平面的法向量(见下图见下图)以后把以后把 n=),(000zyxFx，),(000zyxFy，),(000zyxFz 称为曲面称为曲面：),(zyxF在点在点),(0000zyxM处的法向量处的法向量 L O x y z 0 M n 根据以上讨论，曲面根据以上讨论，曲面在点在点 0M处的切平面，就是处
48、的切平面，就是过点过点0M且与法向量且与法向量 n 垂直的平面因此，切平面方程为垂直的平面因此，切平面方程为)(,(0000 xxzyxFx)(,(0000yyzyxFy 0)(,(0000zzzyxFz.曲面的法线：过点曲面的法线：过点),(0000zyxM与切平面垂直的直线与切平面垂直的直线称为曲面称为曲面在点在点0M处的法线处的法线.曲面的曲面的法线方程：法线方程：),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz.解解 令令),(zyxF14222zyx，则，则 xFx2，yFy2，zFz2,于是，该球面在点于是，该球面在点)3,2,1(处的法向量为处
49、的法向量为 6,4,22,2,2)3,2,1(zyxn,所以在点所以在点)3,2,1(处，此球面的切平面方程为处，此球面的切平面方程为 0)3(6)2(4)1(2zyx,即即 01432zyx.法线方程为法线方程为 634221zyx,即即 332211zyx.思考题思考题 1在求复合函数的偏导数时，需要注意什么？求由在求复合函数的偏导数时，需要注意什么？求由可 微 函 数可 微 函 数),(uxfz，),(yxu而 得 的 复 合 函 数而 得 的 复 合 函 数),(,(yxxfz的偏导数，并说明其符号的含义的偏导数，并说明其符号的含义 2求隐函数偏导数常用方法有几种求隐函数偏导数常用方法
50、有几种?举例说明举例说明 一、一、多元函数的极值多元函数的极值 二、二、二元函数的最大值与最小值二元函数的最大值与最小值 三、三、条件极值条件极值 第五节第五节 多元函数的极值多元函数的极值第第五五节节 多多元元函函数数的的极极值值 定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(000yxP的某个邻域的某个邻域内有定义，如果对于此邻域内任何异于内有定义，如果对于此邻域内任何异于),(000yxP的点的点),(0yxP，都有，都有),(yxf),(00yxf(或或),(yxf),(00yxf成成立，则称函数立，则称函数),(yxf在点在点),(00yxP取得极大值取得极大值(或极小值或极小
