1、第三章 线性方程组习题课一、本章的主要内容回顾：一、本章的主要内容回顾：线性方程组线性方程组向量的线性关系向量的线性关系（一）向量及向量组的有关定义（一）向量及向量组的有关定义 =(a1,a2,an)定义定义1：n个数组成的有序数组称为个数组成的有序数组称为n维向量维向量Tnnbbbbbb),(2121 第1页，共33页。表表示示。线线性性，可可由由线线性性组组合合或或称称向向量量的的，是是向向量量组组成成立立，则则称称向向量量，使使关关系系式式如如果果存存在在一一组组数数，维维向向量量对对于于给给定定的的sssssskkkkn ,111111 定义定义2：第2页，共33页。.,0)(,)(0
2、,1111111线线性性无无关关，则则称称向向量量组组时时成成立立当当且且仅仅当当在在如如果果线线性性相相关关；，则则称称向向量量组组成成立立关关系系式式使使得得存存在在一一组组不不全全为为零零的的数数如如果果，对对于于向向量量组组ssssssskkaakkkk 定义定义3：线线性性表表示示可可由由向向量量组组则则称称向向量量组组线线性性表表示示，中中每每个个向向量量都都可可由由组组如如果果组组，设设有有两两个个向向量量组组)()()()()(,);(,:11BABABAts 定义定义4：第3页，共33页。定义定义5：如果向量组（如果向量组（A）可由向量组（）可由向量组（B）线性表）线性表示，
3、而向量组（示，而向量组（B）也可由向量组（）也可由向量组（A）线性表示，）线性表示，则称向量组（则称向量组（A）与向量组（）与向量组（B）等价等价 记作：记作：(A)(B).,1)(11111简简称称极极大大无无关关组组个个极极大大线线性性无无关关组组的的一一，为为向向量量组组，则则称称线线性性相相关关，个个向向量量构构成成的的部部分分组组均均的的添添加加进进去去，所所得得还还有有的的话话）中中任任取取一一个个的的其其余余向向量量（如如果果，如如果果再再从从组组，的的一一个个线线性性无无关关的的部部分分，是是向向量量组组，设设sjjssjjrrrsr 定义定义6：第4页，共33页。.32;0:
4、1).,(,11的的列列秩秩阵阵的的列列向向量量组组的的秩秩称称为为矩矩矩矩阵阵）的的行行秩秩；阵阵的的行行向向量量组组的的秩秩称称为为矩矩矩矩阵阵）零零向向量量组组的的秩秩为为规规定定）称称为为向向量量组组的的秩秩，记记为为量量的的个个数数的的极极大大无无关关组组所所含含向向，向向量量组组AAAArss 定义定义7：（二）向量线性关系的有关重要定理（二）向量线性关系的有关重要定理.)()(,:11111有相同的秩与矩阵矩阵线性表示，向量组可由列（行）量的列（行）向量，则向是同维，及向量组设定理nnnn第5页，共33页。nmnn向向量量的的个个数数小小于于的的秩秩阵阵为为列列向向量量的的矩矩，
5、以以线线性性相相关关，维维列列向向量量组组：定定理理 112 nrnrnnn)()(,111 当当线线性性无无关关，当当线线性性相相关关向向量量组组第6页，共33页。0),1(),(111111 nnnnnjjjaaaanjaann则则向向量量组组线线性性相相关关，维维向向量量组组个个设设：推推论论 组组必必线线性性相相关关向向量量的的维维数数时时，该该向向量量个个数数大大于于当当向向量量组组中中所所含含向向量量的的：推推论论2第7页，共33页。组组必必线线性性相相关关关关，则则整整个个向向量量（简简称称部部分分组组）线线性性相相向向量量组组如如果果向向量量组组中中有有一一部部分分：定定理理
6、3(部分相关 整体相关)一一部部分分组组都都线线性性无无关关的的向向量量组组任任何何的的等等价价命命题题：线线性性无无关关定定理理3(整体无关 部分无关)第8页，共33页。.,1),(1,1),()()1(2121也也线线性性无无关关维维的的新新的的向向量量组组个个）后后得得到到的的个个分分量量（添添加加量量上上线线性性无无关关，则则在在每每个个向向维维向向量量组组个个补补充充定定理理：设设miaaaaaknmkkmiaaanmkniniiniiiiniii .)(,:21维维向向量量组组也也线线性性相相关关得得到到的的后后个个分分量量则则每每个个向向量量去去掉掉线线性性相相关关，维维向向量量
7、组组若若推推论论knnkknm 第9页，共33页。个向量的线性组合。个向量的线性组合。余余中至少有一个向量是其中至少有一个向量是其，线性相关线性相关，向量组向量组：定理定理1,)2(,411 mmmm 。线线性性表表示示且且表表示示法法唯唯一一，向向量量组组一一定定可可由由线线性性无无关关，则则向向量量，而而线线性性相相关关，如如果果向向量量组组：定定理理mmm ,5111定理定理6：如果向量组（如果向量组（A）可由向量组（）可由向量组（B）线性表示，）线性表示，而向量组（而向量组（B）又可由向量组（）又可由向量组（C）线性表示，）线性表示，则向量组（则向量组（A）也可由向量组（）也可由向量组
8、（C）线性表示）线性表示 （传递性）（传递性）第10页，共33页。线线性性相相关关，则则向向量量组组如如果果线线性性表表示示，）可可由由向向量量组组向向量量组组（，及及，设设有有两两个个向向量量组组定定理理)()()(,)(,:711BtsABBAts 推论推论1：如果向量组（如果向量组（B）可由向量组（）可由向量组（A）线性表示；）线性表示；且向量组（且向量组（B）线性无关，则）线性无关，则ts。推论推论2：如果向量组（如果向量组（A）与）与（B）可互相线性表示）可互相线性表示,且且 向量组向量组(A)(B)都线性无关，则都线性无关，则ts。第11页，共33页。表表示示。线线性性，中中的的每
9、每一一个个向向量量都都可可由由，关关组组部部分分组组，则则它它是是极极大大无无的的线线性性无无关关，是是，如如果果定定理理rrjjssjj 1111:8rArArnmA的列（行）秩为的列（行）秩为矩阵，矩阵，为为定理定理 )(:9.:的的秩秩即即为为矩矩阵阵的的列列秩秩，的的行行秩秩等等于于矩矩阵阵矩矩阵阵推推论论AAA第12页，共33页。的极大无关组。的极大无关组。是向量组是向量组应的应的关组，则初等变换后相关组，则初等变换后相的极大无的极大无，是向量组是向量组如果如果结论：结论：sjjsjjrr ,1111向量组的秩及极大无关组的求法：将向量组合成矩阵，进行初等行变换得到阶梯阵，非零行的行
10、数为向量组的秩，主元所对应的列向量组为极大线性无关组。第13页，共33页。(三）三）线性方程组的消元法线性方程组的消元法 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111有无穷多解。有唯一解有解定理nArnArBArArBAX)()()()(1.3第14页，共33页。为未知数的个数。有非零解齐次线性方程组定理nnArAX,)(02.3:000221122221211212111有对齐次线性方程组nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa第15页，共33页。，则则方方程程组组有有无无穷穷多多解解如如则则方方程程组组有有唯唯一一解解
11、；如如且且，则则方方程程组组有有解解如如）（，则则方方程程组组无无解解；）如如（方方程程组组是是否否有有解解判判别别或或阶阶梯梯型型矩矩阵阵，根根据据增增广广矩矩阵阵为为用用初初等等变变换换化化方方程程组组的的解解线线性性方方程程组组的的步步骤骤：nArnBArArddddrrrr )(,)()(:,0201001111第16页，共33页。（四）（四）线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构1、齐次线性方程组解的结构、齐次线性方程组解的结构.,1,)3;,)2;,1111112121siRkvkvkvvRkkvvvvvvisss 也也是是它它的的解解则则其其线线性性组组合合都都是是线线性性方方
12、程程组组的的解解如如果果也也是是它它的的解解则则是是线线性性方方程程组组的的解解如如果果也也是是它它的的解解则则是是线线性性方方程程组组的的两两个个解解如如果果）它它的的解解有有如如下下性性质质：第17页，共33页。个基础解系个基础解系是齐次线性方程组的一是齐次线性方程组的一性无关组，则称性无关组，则称（集合）的一个极大线（集合）的一个极大线向量组向量组是齐次线性方程组的解是齐次线性方程组的解如果如果rrvvvvvv,2121定定义义定理定理1：设设A是是mn矩阵，如果矩阵，如果r(A)=rn,则齐次线性方程组则齐次线性方程组AX=0的的基础解系存在基础解系存在，且每个基础解系中，且每个基础解
13、系中含含n-r个解向量个解向量.第18页，共33页。如果如果 为齐次线性方程组的基础解系，为齐次线性方程组的基础解系，则其任意线性组合则其任意线性组合称为称为齐次线性方程组（齐次线性方程组（1）的通解）的通解。rnvvv,21，rnrnvkvkvk 2211为常数）为常数），rnkkk,(21第19页，共33页。step1.系数矩阵经初等行变 换，化为阶梯形矩阵 Step2.用秩讨论方程组的解Step3.（无穷解时）（无穷解时）进一步将矩阵化为各行首非零元为1，所在列其余元素为零的矩阵Step4.选择自由未知量，基本未知量Step5.写出同解方程Step6.求出基础解系Step7.写出通解怎样
14、选择？怎样求？齐次线性方程组求解过程第20页，共33页。2、非齐次线性方程组解的结构、非齐次线性方程组解的结构;11111的一个解的一个解是是的一个解，则的一个解，则是其导出组是其导出组的一个解，的一个解，是是）如果）如果（bAxvuvbAxu .22121的解的解是其导出组是其导出组则则的两个解，的两个解，是是，）如果）如果（uubAxuu 性质性质.0211的的全全部部解解是是则则全全部部解解，是是的的一一个个解解，是是如如果果：定定理理bAxvuAxvbAxu 第21页，共33页。step1.增广矩阵经初等行变换，化为行阶梯形矩阵 Step2.用秩讨论方程组的解Step3.（无穷解时）（
15、无穷解时）进一步将矩阵化为各行首非零元为1，所在列其余元素为零的矩阵Step5.求出非齐次线性方程组的特解Step7.求出齐次线性方程组的通解Step8.写出非齐次线性方程组的通解怎样求？非齐次线性方程组求解过程Step4.写出非齐次线性方程组的同解方程组Step6.写出齐次线性方程组的同解方程组第22页，共33页。1、围绕向量组的线性相关性、围绕向量组的线性相关性（判别相关性或证明相关性）（判别相关性或证明相关性）向量组的相关性。，讨论该设例t35,131,011.1321第三章主要的问题类型：第三章主要的问题类型：第23页，共33页。也线性无关。证明线性无关，例321321321,.2的列
16、向量组线性无关。证明若且例BIABmnBAnnmmn,.3第24页，共33页。线性无关证明，是实数线性无关，已知例4,3,2,1,3,2,1,5,4,3,2,1,.41iittiiiiiiii第25页，共33页。2、围绕向量组秩及极大线性无关组、围绕向量组秩及极大线性无关组 （求秩及极大线性无关组，或有关秩的证明）求秩及极大线性无关组，或有关秩的证明）大线性无关组。求向量组的秩及一个极，设例,6512,0211,14703,21304211.554321第26页，共33页。的秩及极大线性无关组，求向量组例1121,111111.6321kknIArIArIAnA)()(.72，则阶方阵，如为例
17、第27页，共33页。向量组线性无关。，即该的秩为向量组线性无关，证明：维列向量组，的秩为设例lAAnlnnAllnm,)(,.811第28页，共33页。解解。方方程程组组的的基基础础解解系系及及通通求求例例 3314,62:93214321421xxxxxxxxxx3、线性方程组解的结构、线性方程组解的结构 求解齐次、非齐次线性方程组的通解或求解齐次、非齐次线性方程组的通解或基础解系；讨论解的存在性；利用解的结构的基础解系；讨论解的存在性；利用解的结构的相关知识的证明问题。相关知识的证明问题。第29页，共33页。有解并求通解。为何值时方程组：讨论例232132132122,22.10 xxxxxxxxx第30页，共33页。有无穷多解并求通解。为何值时方程组：讨论例223.11321321321xxxxxxxxx第31页，共33页。求方程组的全部解。，且满足，的三个解向量为方程组如果非齐次线性且设例;101110,321,1)(,.123132213213BAXArAm第32页，共33页。例13.设mn矩阵B的m个行向量是方程组AX=0 的一个基础解系，P是m阶可逆矩阵，证明：PB的m个行向量也是AX=0的基础解系作业：见附页作业：见附页第33页，共33页。
