1、计算机控制系统计算机控制系统计算机控制系统（第3版）董宁 陈振 编著电子工业出版社计算机控制系统计算机控制系统第6章数字控制器的离散设计方法计算机控制系统计算机控制系统第六章 数字控制器的离散设计方法主要内容：主要内容：v解析设计法；解析设计法；v根轨迹设计法；根轨迹设计法；v频率响应设计频率响应设计法法；v纯滞后控制技术纯滞后控制技术；v状态空间设计法状态空间设计法。计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 解析设计法设计数字控制系统的准则是：数字控制系统在典型的时间域输入信号的作用下（例如阶跃输入、速度输入、加速度输入等），经过有限个采样周期，输出信号的稳态误差为零，且在尽可能少的有
2、限个数目的采样周期，稳态误差为零。它的基本出发点是根据系统的性能指标要求，确定出闭环脉冲传递函数的形式，然后通过代数解法，求出数字控制器的传递函数。计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 计算机控制系统的框图如图所示，其中零阶保持器Gh(s)和连续对象G(s)组成的广义对象为系统的连续部分，D(z)为数字控制器。图 6-1计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法广义对象的脉冲传递函数为：（6-1）系统的闭环脉冲传递函数为：（6-2）误差E(z)的脉冲传递函数为：（6-3）1sT seG zG ssZ 1Y zD z G zzR zD z G z 111eE zR zY zzzR
3、zR zD z G z 计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 如果根据性能指标要求确定出系统的闭环特性(z)，那么数字控制器就可唯一确定。则数字控制器的脉冲传递函数为：（6-4）用上述代数的方法求控制器D(z)看起来很简单，但实际上做起来有很大困难。首先，如何把系统的性能指标转换为闭环特性(z)，其次，解出的控制器D(z)能否物理实现以及系统能否保证稳定。11ezzD zG zzG zz计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法0ssse kTy kTr kTkj计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 11qA zR zz 111qezzzF z 计算机控制系统计算机控制
4、系统6.1 解析设计法几种典型输入的最少拍设计：表 6-1计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 1111213679.011718.01679.311011101zzzzsszsssezGsTs计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 由于广义对象稳定，不含单位圆外零、极点，G(z)不含纯滞后，故查表6-1。对单位阶跃信号：第一步，确定闭环脉冲传递函数(z)和误差脉冲传递函数1-(z)第二步，求D(z)1zz 111zz计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法第三步，检验误差序列 由误差的变换函数可知，所设计的系统，当k1后，e(k)=0。就是说，一拍以后系统输出等于输入
5、信号。11111111718.013679.012717.013679.011718.01679.311zzzzzzzzzzzGzD 1111111zzzRzzE计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法对单位速度输入信号 212zzz 2111zz 111121111111718.0113679.015.015434.013679.011718.01679.35.01211zzzzzzzzzzzzzzGzD 121121111zzzzzRzzE计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 由误差的变换函数可知，按单位速度输入设计的系统，当k2后，即两拍以后e(k)=0。对于单位速度输入
6、信号同理，不在赘述。计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 任何物理可实现的系统其分子阶次小于或等于分母阶次。设被控对象的脉冲传递函数的通式为：（6-8）分析数字控制器D(z)的计算公式 G(z)中的延迟因子z-l将会使D(z)分子的阶次比分母高l阶，为避免这种情况发生，只有要求(z)将G(z)中的全部延迟因子抵消掉。111111lza zG zKb z zzzGzD11计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法即要求闭环脉冲传递函数的形式为：这样方可保证D(z)分子的阶次不高于分母的阶次，从而能物理实现。111lzzc z计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 如果被控对
7、象G(z)具有单位圆上或圆外的零极点，那么必然会发生D(z)的零点抵消G(z)不稳定的极点，D(z)的极点抵消G(z)不稳定的零点。将会导致实际系统的不稳定。如果(z)包括了G(z)在单位圆上及圆外的零点，1-(z)包括了G(z)在单位圆上及圆外的极点，就可以避免这种现象的产生。计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法4.最少拍系统的采样点间分析最少拍系统的采样点间分析以上最少拍系统的输出拉氏变换为：11hhhhhhhhD z Gs G sY sR zD z G G zD z G G zGs G sR zD z G G zG G zGs G szR zG G z 计算机控制系统计算机控制
8、系统6.1 解析设计法 ,hhG G z mY z mzR zG G z ,dhM z mG G z mzN z dhM zG G zzN z ,M z mY z mzR zM z 计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 当m取01之间的任何值，只要有零点，M(z)是消不掉的，所以：已不是有限项多项式，从而e(z,m)也不是有限项多项式。也就是说，在采样点之间，总是y(t)r(t)。采样点上稳态误差为零，而采样点之间，稳态误差不为零，形成波动现象。在实际系统中，这种波动不仅影响跟踪精度，而且浪费执行机构的驱动功率和增加机械磨损。为此，我们希望设计的系统，在典型输入信号作用下，经过有限个
9、采样周期后，不仅在采样点无偏差，而且在采样点之间也不存在偏差，这就是无纹波最少拍系统的设计。,M z mz mzM z 计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 6.1.2无纹波最少拍系统的设计无纹波最少拍系统的设计1.纹波的产生 对于在前面设计的单位阶跃信号作用下的最小拍系统，利用修正z变换求采样点之间的输出，取T=0.5，有：计算得出的y(t)的变换函数各值对应于t=0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，7.5，8.5s时的系统输出y(t)的值，画出响应曲线见图6-2a。8765432121219645.00496.19311.00961.18662.01804.1
10、7405.03615.12896.0718.0282.011486.02799.12896.0,zzzzzzzzzzzzzEzDTzGTzY计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法控制信号为：式中各系数对应了u(t)的值，其变换曲线见图6-2b 87654321110291.00406.005635.007847.01093.01522.02119.02951.02718.01718.013679.012718.01zzzzzzzzzzzzDzEzDzU计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法图6-2计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 可以看出，虽然该系统在一个采样周期
11、后，系统进入稳态，采样点时刻系统输出信号的误差为零。但控制器的控制信号u(t)却不停地在振荡，这种振荡的振幅虽然在逐渐衰减，但过渡过程迟迟不能结束，总围绕着一个平均值不停地在波动，正是由于这种波动造成了输出y(t)的长期波动。计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法2.无纹波条件 由于控制信号u(t)的变化引起输出的波动，因此只要使u(t)以最少的周期达到恒定（可以为零），即u(t)的过渡过程在有限拍结束，就可以使采样点间不波动。若要u(t)的过渡过程在有限拍结束，只要保证以u为输出的闭环传递函数为有限项，即要求为有限项 uU zzR z计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法由图
12、6-1可写出令式中，GN(z)被控对象脉冲传递函数的分子；GD(z)被控对象脉冲传递函数的分母。则有 1uU zD zzzR zD z G zG z zGzGzGDN DuNzz GzzG zGz计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 从上式可以看出，只要(z)包括了GN(z)，也即包括了G(z)的全部零点，则式(6-27)右端就能整除，从而保证了u(z)为有限项。通过上述分析，无纹波最少拍系统的设计除了满足有纹波最少拍系统的三个条件外，还应对(z)加更多的限制，即(z)应包括G(z)的全部零点。而这后一条又包含了前述物理可实现条件（(z)包含G(z)分子中的z-l）以及稳定性条件（(
13、z)包含不稳定零点）。因此，无纹波最少拍系统闭环脉冲传递函数(z)的选择可简化为表6-2.计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 表6-2闭环特性内容注释(z)对象全部零点1-(z)q=1；，q=2；，q=3；且 zGNqz11 zFzpii2111 ttr1 ttr 221ttr1ip计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 例例6-2 对例6-1所示系统，针对单位阶跃输入信号，设计无纹波最少拍数字控制器。解：第一步，例6-1的广义对象的脉冲传递函数为 第二步，确定闭环脉冲传递函数(z)和误差脉冲传递函数1-(z)。根据表6-3，选择 11113679.011718.01679
14、.3zzzzzG zFzzz111718.01 zFzz2111计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 式中，F1(z)和 F2(z)为同时满足(z)和1-(z)要求而必须加入的协调因子，取解得这样，最终可确定 azF1 121bzzF582.0a418.0b 11718.01582.0zzz 11418.0111zzz计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法第三步，求D(z)第四步，对设计结果进行验算 误差信号：即e(0)=1，e(Ts)=0.418，e(2Ts)=e(3Ts)=0由此可见，系统输出经两拍进入稳态，稳态误差为零。控制器输出：11418.01368.01158.0
15、11zzzzzGzD 1418.011zzRzzE 11058.0158.0368.01158.0zzzDzEzU计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法即u(0)=0.158，u(Ts)=-0.058，u(2Ts)=u(3Ts)=0由上式可见，u(kTs)也经两拍结束过渡过程，因为输入信号是单位阶跃，所以u(kTs)的稳态值为零。系统输出即y(0)=0，y(Ts)=0.528，y(2Ts)=y(3Ts)=1 由此可见，系统从第二拍开始跟踪上输入信号。采用扩展z变换计算采样点之间的输出响应，其响应曲线见图6-3，可见采样点之间不再存在纹波。1111230.58210.71810.582z
16、zY zz R zzzzz 计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 图6-3再采用扩展z变换计算例6-1中采样点之间的输出响应，其响应曲线见图6-4。计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 图6-4 比较两图，可看到：无纹波系统两拍后达到稳态，而有纹波系统一拍就能跟上输入，这说明为使系统输出无纹波，是以增加调节时间为代价的。计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 6.1.3最少拍系统的讨论 最少拍系统控制器的设计使得系统对某一类输入信号的响应为最少拍，但这种设计方法对其他类型的输入信号的适应性较差，甚至会引起大的超调和静差。因此，这种设计方法应对不同的输入信号使用不同的
17、数字控制器或闭环脉冲传递函数。但对于实际系统，它的输入往往是复杂的，有时甚至是随机的，因此最少拍系统对输入信号的敏感性限制了它的实际应用。下面我们介绍一种设计最少拍控制器的改进方法，其基本思想是以牺牲有限拍的性质为代价，换取系统对不同的输入类型皆能获得比较满意的控制效果。计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 1111zzz 111zzzz计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 为使系统稳定，的取值范围应满足。为使响应能单调衰减，通常取。的取值可以通过反复试凑来确定，也可根据某些优化准则，例如均方误差：的最小化来确定。02kkeJ计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法3
18、.极点位置的讨论 最少拍系统的闭环脉冲传递函数中含有多重极点，且都位于z平面的零点，z=0，这是由于设计中用D(z)的增益、极点和零点补偿了G(z)中的相应部分所致。从理论上可以证明，这一多重极点对系统参数变化的灵敏度可以达到无穷。因此，如果系统参数发生变化，或在计算机中存入的参数与设计参数略有差异，将使实际输出严重偏离期望状态。惯性因子法中由于惯性因子的加入，将使系统对参数变化的灵敏度降低。计算机控制系统计算机控制系统6.1 解析设计法 既然最少拍系统在特定输入信号作用下，只经过几个采样周期，系统稳态误差就为零，那么是否采样周期取得越短，系统的调节时间就可无限制地减少呢？回答是否定的。这是因
19、为实际系统中，能源的功率是有限制的，例如驱动对象的力矩电机转速不可能无限提高，它存在着饱和转速。采样时间越短，则控制器输出越大，这就立即会使系统工作于非线性饱和状态，从而使性能显著变坏。此外，系统的响应快，必然使运动部件具有较高的速度和加速度，它将承受过大的离心载荷和惯性载荷，如果超过强度极限就会遭到破坏。计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计方法 在连续控制系统中，用根轨迹法设计校正网络是一种很好的方法。这种方法是在已知控制系统开环传递函数的零、极点分布的情况下，通过改变校正网络的结构和参数，使整个系统的闭环特征根配置在希望的位置上。和连续系统一样，我们可采用z平面根轨迹法来设计数字
20、控制器。计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法 6.2.1 z平面的根轨迹 计算机控制系统的结构图如图6-10所示，图中，D(z)为数字控制器，G(z)为被控对象的脉冲传递函数，也即连续对象连同零阶保持器一起变换到z平面。1sT seG zZG ss计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法该系统的闭环脉冲传递函数为闭环系统的特征方程为 z平面根轨迹的定义和s平面一样，是指当系统某个参数（如开环增益）由零到无穷大变化时，上述闭环特征方程的根在z平面上移动的轨迹。1Y zD z G zzR zD z G z 10D z G z计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法 若连
21、续系统的开环传递函数为D(s)G(s)，则在s平面特征方程为 可以看出z平面和s平面特征方程的形式完全一致，由此得出，连续系统在复域s中绘制根轨迹的一切规则，均可不加改变地搬到复域z中来。两个平面上根轨迹有两个不同点：z平面上的稳定边界是单位圆而不是一条虚轴；z平面上n可以有负的值。10D s G s计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法 6.2.2 z平面极点位置与动态响应的关系 在连续系统中，已知系统传递函数极点位置，我们立即能估计出该极点所对应的瞬态响应情况，在离散系统中，掌握z平面上极点位置与动态响应的关系也十分重要。设离散系统闭环脉冲传递函数为当输入为单位阶跃信号，即r(k
22、)=1(k)时，系统的输出响应为 0101miiniibzzznmazp 1NDzzY zz R zzz 计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法 111nNiiDizy zY zzzp 1(0,1,2,.)1nkNsiiiDY kTy pk计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法*,iiiip pp e*1*2coskkiiiiiiiikiisiy zy zY kZy py pzpzpypkT计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹
23、设计法*,iiiiy yy e计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法isT计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法 6.2.3系统性能指标与系统性能指标与z平面极点位置的关系平面极点位置的关系 以二阶无零点系统作为研究对象，我们根据系统的性能指标，找出s平面上希望极点允许的范围，然后根据的变换关系，将s平面希望极点映射到z平面来。下面给出s平面到z平面的映射，为了避免频率混叠，我们仅讨论在主频带内（即在-s/2 +s/2范围内）的映射。给定超调量指标，在s平面上是过原点的射线，映射到z平面则是螺旋线。见图6-5(a)。s平面上n为常数的极点位置以原点为圆心，半径为n的圆上，在
24、z平面上则可画出一族等n的曲线。当时域指标要求上升时间小于某个值时，就只要按式(6-10)找到该等n线，在配置z平面极点时，应位于该线的左边。计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法2.5nrt 3.5nsTTtRee计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法图6-5 s平面与z平面的映射关系计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法 6.2.4 设计举例设计举例 根轨迹设计法实质上是一种闭环极点的配置技术，即通过反复试凑设计控制器的结构和参数，使整个闭环系统的主导极点配置在希望
25、的位置上。应用根轨迹法设计的步骤如下：第一步：根据给定的时域指标，在z平面画出希望极点的允许范围；第二步：设计数字控制器D(z)；在连续系统中，模拟控制器最常采用的是相位超前或相位滞后的一阶网络，以及它们的组合，以一阶网络为例，它的传递函数为计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法当1，为超前网络；1时，为滞后网络。在离散系统中，数字控制器也可选择类似的形式式中，z0控制器D(z)的实零点；p0控制器D(z)的实极点；k0控制器D(z)的放大系数。11TsD sTs 000zzD zkzp计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法 若要求控制器不影响系统的稳定性能，则要求z平面上
26、，若D(z)的零点位于极点的左边，则为相位超前控制，若极点位于零点的右边，则是相位滞后控制。D(z)的结构选择必须要考虑物理可实现性，即分子的阶次必须小于分母的阶次，否则无法实现。同时也要注意不要试图用D(z)去抵消对象在单位圆外或单位圆上以及接近单位圆的零极点，否则会因不精确的抵消而产生不稳定的现象。1lim1zD z00011pkz计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法 第三步：检验系统的动态响应，如不满足指标要求，重新设计D(z)。例例6-3 某数字伺服系统中，被控对象的传递函数为：采样周期Ts=0.2s。试设计一数字控制器D(z)，使系统满足下列品质指标：对阶跃输入的超调量%
27、15%；上升时间tr0.55s；ts1s。12.010sssG计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法解：第一步：根据品质指标，确定希望闭环极点允许范围。由超调量指标要求，得由上升时间要求，得由调节时间要求，得 5.01001516.02.54.5nrt 5.05.3stTeR计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法 在图6-6等，等n图上，找到=0.5的螺旋线，及n=3/10 Ts=4.71的等n线（与所计算的n=4.5相近的等n线），并以原点为中心，以R=0.5为半径画圆，以上三条曲线构成的封闭曲线即为满足上述品质指标要求的z平面特征根允许范围，如图6-7所示。计算机控制系
28、统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法图6-7允许域及D(z)=K的根轨迹计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法第二步：设计数字控制器D(z)。求出被控对象的脉冲传递函数进行第一次试探，令D(z)=Kc，此时系统的开环传递函数为 画出闭环系统的根轨迹，由于根轨迹对称于实轴，所以只画出上半圆，如图6-7所示。从图上可以看出，选择D(z)=Kc时，系统的根轨迹在允许域之外，因而不能满足品质指标的要求。3678.017182.07355.012.0101zzzsssezGTs 3678.017182.07355.0zzzKzGzDc计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法进行第二次试
29、探，令 上式采用了零极点对消法消去对象在0.3678的极点，同时配置了一个新的偏左的极点p1=0，以使根轨迹左移，进入允许域，此时系统的开环传递函数为式中，K=Kc0.7355为根轨迹增益。其根轨迹见图6-8。110.3678cczzzD zKKzpz 0.71821zD z G zKz z计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法图6-8 第二次试探的根轨迹计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法 由图6-8可见，根轨迹移近了允许域。在允许域内的根轨迹上，取系统的一对闭环极点0.386j0.099，该点对应的根轨迹增益为K=0.223，由此推出控制器的增益为 第三步：检验闭环系
30、统的品质指标。根据响应y(t)的数据（参见图6-9），计算出它的品质指标为：%=0，tr=0.7s，ts=0.9s0.2230.3030.73550.7355cKK 计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法图6-9 系统响应时的系统响应计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法 检验性能指标要求，上升时间tr未达到要求，这也说明了即使闭环极点选在域内，由于零点的影响以及各种近似处理，也可能达不到品质指标。分析根轨迹图6-8，可能是取得离等n线的边界太近了，重选闭环极点0.32j0.391，对应的根轨迹增益为K=0.357，由此推出控制器的增益为由此得控制器的参数为0.3570.4
31、8530.73550.7355cKK zzzD3678.04853.0计算机控制系统计算机控制系统6.2 根轨迹设计法计算系统的响应（参见图6-10），得到它的品质指标为：%=8%，tr=0.4s，ts=0.9s全部满足要求，设计完成。图6-10 系统响应计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法 6.3.1双线性变换和双线性变换和w平面平面 w变换将z平面变换到w平面。是一种双线性变换，它的形式有两种（1）或 (6-11)（2）或 （6-12）第二种形式与第一种形式的区别是加了一个变化常数2/Ts，其中Ts为采样周期。11zwz11wzw211szwT z1212ssT
32、wzTw计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法图6-10映射关系示意图计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法 由于s平面和w平面的稳定区域均为左半平面，因而可以得出这样的结论：s平面的一切稳定性判别方法均适用于w平面；s平面的综合、分析方法，如频率法，根轨迹法等均适用于w平面设计。这样，人们在s平面上积累的丰富设计经验又可用在w平面上进行离散系统的设计。
33、计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法 s平面，平面，w平面，平面，z平面中频率的关系：平面中频率的关系：s平面上的频率和z平面上的频率是线性相等关系。因此在s平面和z平面频率都用表示。w平面和z平面的频率关系当采样频率很高，而系统的角频率又处于低频段时，如时，可近似认为 即有2tan2ssTT 42ssT22tanssTT 计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法6.3.2 w平面设计步骤 上面已讲过，当数字控制系统变换到w平面后，s平面上的一切分析设计技术都可照搬过来。在连续系
34、统中，改善系统的性能指标可以采用串联超前网络、串联滞后网络和串联超前-滞后网络。超前控制可增加频带宽提高快速性，并且可使稳定裕量加大，增加平稳性。滞后控制则可增加稳态精度，提高稳定裕度，但截止频率下降，快速性降低。同时采用滞后和超前控制将能全面提高系统的控制性能。计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法 利用w变换技术在w平面上设计数字控制器的步骤可分六步进行：先求前面有保持器的被控对象在z平面上的传递函数G(z)，若给定的是零阶保持器，则 再由式(6-12)给出的双线性变换公式将G(z)变换成传递函数G(w)，即 sGseZzGssT1 wTwTzsszGwG2121
35、计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法 112zzTwswDzD计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法2tan2ssTT计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法 6.3.3设计设计举例举例例例6-5讨论下图中的数字控制系统。要求在w平面内设计一个数字控制器，以使系统相位裕量为50，增益裕量至少10dB（相应主导闭环极点的阻尼比约0.5），静态速度误差系数Kv2s-1。设采样周期Ts=0.2s。计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法解：首先，求解被控对象的脉冲传递函数G(z)，被控对象前面有零阶
36、保持器，下一步，将被控对象的脉冲传递函数G(z)变换成G(w)，81871.019356.001873.01111212.0zzzKssKZzssKseZzGswwwTwTzss1.011.012121计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法因而 设数字控制器的传递函数D(w)在低频段的增益为1，并有下列形式：则系统的开环传递函数为 1997.010116.3008187.01.011.0111.011.019356.01.011.0101873.0wwwwKwwwwwwKwG bwawwD11计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法要求的静态速
37、度误差系数Kv2s-1，所以解得增益K=2。1997.010116.30011wwwwKbwawwGwD 21997.010116.30011limlim00KwwwwKbwawwwGwwDKwwv计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法 上图所示为系统的Bode图。图中G(j)的幅值与相角曲线用虚线表示（注意位于右半w平面的零点 10有相位滞后）。从图上可以看出系统的相位裕量为30，增益裕量是15.5dB。除了要求系统Kv2s-1以外，技术指标还要求相位裕量为50及增益裕量至少为10dB。采用经典频率法设
38、计技术（具体过程简略），选择控制器的零点为0.997，再令控制器的极点在3.27，则控制器的传递函数为 27.31997.01wwwD计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法 5071.08187.0718.2111027.3111110997.01127.31997.011110112zzzzzzwwwDzDzzwzzTws计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法校正后系统的开环传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为 从上式我们可以看到闭环极点位于 5071.019356.01018.08187.019356.001873.025071.08187
39、.0718.2zzzzzzzzzGzD 3296.07026.03296.07026.09356.01018.09356.01018.05071.019356.01018.05071.019356.01018.0jzjzzzzzzzzzzRzC3296.07026.0jz计算机控制系统计算机控制系统6.3 频率响应设计法频率响应设计法同时注意到闭环脉冲传递函数有一个零点在z0.9356处，然而，由于它位于Z平面负实轴的0和1之间且靠近z1点，因此，这个零点对暂态和频率响应的影响是很小的。设计好的系统满足给定的性能指标要求：相位裕量为50，增益裕量至少10dB，静态速度误差系数Kv2s-1。计算
40、机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术 在实际应用中，有相当一部分被控对象具有较大的纯滞后特性，纯滞后环节常会引起系统产生超调或振荡，从而降低了系统的稳定性，延长了调节时间。下面介绍两种算法，对具有纯滞后特性的被控对象具有较好的控制作用。计算机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术计算机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术 1sD s G s esD s G s计算机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术 11sD sD sD s G se计算机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术 11sssD s G s eD s G sseD s G s eD s G
41、s计算机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术计算机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术2.具有纯滞后补偿的控制系统（1）Smith预估器 Smith预估器的输出可按图6-14计算，在此取PID控制器前一个采样时刻的输出u(k-1)作为预估器的输入。计算机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术sNT计算机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术 ykm km kN 001ssKGsG s eeT s计算机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术 0111ssKGsG seeT s 1e kr ky k计算机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术化为微分方程，可
42、写为相应的差分方程为整理得，01sM sKG sU s eT s 0sdm tTm tKu tTdt 011sm km kTm kKu kT 11m kam kbu k计算机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术 0111sNTssKeYsG seU s eT s 111ykaykb u ku kN计算机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术 21eke kyk 212212111212pidu ku ku ku kKeke kK ekKeke kek 计算机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术 11sKG seT s 1211sKG seT sT s计算机控制系统计算机控
43、制系统6.4 纯滞后控制技术 11sseT s 111111sssT TNT ssT TezY zeezZR zsT sez 111111111sssT TNT TT TNzD zG zzezG zezez计算机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术 111111111sssT sT TsNT TeKeeG zZKzsT sez 1111111111sssssT TT TT TT TT TNeezD zKeezez计算机控制系统计算机控制系统6.4 纯滞后控制技术 （6-20）其中将（6-20）带入（6-17）得 121112111211111sssNT ssT TT TK CC zze
44、KeG zZsT sT sezez121221112211121221111sssssT TT TTTTT TT TCTeT eTTCeTeT eTT 12111111211111sssssT TT TT TT TT TNeezezD zK CC zezez计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法 控制工程中采用状态空间方法主要优点在于它能适用于多输入多输出系统，非线性系统，时变系统，因此本节主要介绍状态空间的最短时间控制系统设计，主要介绍单输入单输出系统、考虑了非线性特性的最短时间控制系统以及多输入-多输出系统。计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法 6.5.1单输入单
45、输入-单输出的二阶系统单输出的二阶系统图6-15计算机控制系统 研究图6-15所示的计算机控制系统，图中被控对象是一个单输入单输出二阶系统，设采样周期Ts=1s。计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法 图6-16 状态变量选取 按图6-16选取状态变量，很容易获得被控对象的状态方程和输出方程：计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法1121211221210110001hhxxuxxyxxxuxxxyx ()()()()()x tFx tGu ty tCx t计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法0()()()()()()()(0)x tFx tGu ty t
46、Cx tDu tx tx计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法00()()()(0)()tF t tF ttx texeGud(1)(1)(1)()()sssskTFkTFTssskTx kTex kTeGu kT d计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法(1)(1)0sssskTTFkTFtkTeGde Gdt 0(1)()()()ssTFTFtsssxkTex kTe Gdt u kT(1)()()()()()()()ssx kA T x kB T u ky kCx kDu k计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法式中：A(Ts)为系统的状态转移矩阵，B
47、(Ts)为驱动矩阵。对于前面给定的二阶系统0()()ssFTsTFtsA TeB Te Gdt101100FG 11110100()()()01011sssTFTsTseA TeLSIFLse000110()01111sssssTttTTTFtsTttseeeB Te GdtdtdtTeee 计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法 采样周期Ts=1s，带有零阶保持器的连续系统离散化后的状态空间表达式为：系统设计的任务是：确定计算机的z传递函数D(z)，对于被控对象任意的初始状态x(0)，使输出y(t)以最少的N步跟踪上参考输入r(t)。1111201(1)()()11()()eex
48、 kx ku keey kx k计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法1111112212(1)(0)01(0)(1)(0)11(0)0.36800.632(0)(0)0.63210.368xxeeuxxeexux计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法根据跟踪条件，一步满足跟踪条件：从方程中可见，我们无法找到u(0)同时满足上面两个方程，也就是说一步控制无法满足两个跟踪条件。为此只能满足位置跟踪条件，速度条件满足不了，所以一步跟踪设计的系统是有纹波系统。（2）N=2（快速无纹波系统）（快速无纹波系统）取N=2，则提供了两个控制参数u(0)、u(1)，可以控制两个状态变量
49、x1、x2，这样既可满足位置条件，又可以满足速度条件，因此可获得快速无纹波系统。12(1)00.632(0)(1)10.368xux 计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法11111122111111111112(2)(1)01(1)(2)(1)11(0)00011(0)(1)(0)111111xxeeuxxeexeeeeeuuxeeeee11111212(2)0(1)1(0)(1)(2)11xeeeuuxeee 计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法(0)1.582(1)0.582uu0(2)1x 计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法计算机控制系统计算机
50、控制系统6.5 空间状态设计法(0)1.582(1)0.582uu计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法1112(1)0.6321(0)(1)0.368xeuxe0.632(1)0.368x计算机控制系统计算机控制系统6.5 空间状态设计法最后可得解之得1211111111111221212121(3)0(3)1(1)00011(1)(0)(1)1111110.63201(1)0.368111xxxeeeeeuuxeeeeeeeeeueeee (2)u0.2330.632(1)0.0860.7670.368(2)0.086uu(1)0.215(2)0.215uu计算机控制系统计算机
