1、江苏省2022中考数学真题分类汇编-07 解答题 提升题知识点分类一一次函数综合题（共1小题）1（2022泰州）定义：对于一次函数y1ax+b、y2cx+d，我们称函数ym（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc0）为函数y1、y2的“组合函数”（1）若m3，n1，试判断函数y5x+2是否为函数y1x+1、y22x1的“组合函数”，并说明理由；（2）设函数y1xp2与y2x+3p的图象相交于点P若m+n1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；若p1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点
2、Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由二二次函数综合题（共6小题）2（2022连云港）已知二次函数yx2+（m2）x+m4，其中m2（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数yx2+（m2）x+m4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线yx2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求AOB面积的最大值3（2022扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC8
3、dm现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由4（2022泰州）如图，二次函数y1x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2（x0）的图象相交于点B（3，1）（1）求这两个函数的表达式；（2）当y1随x的增大而增大且y1y2时，直接写出x的取值范围；（3）平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图象相交于点E若ACE与BDE的面积相等，求点E的坐标5（20
4、22常州）已知二次函数yax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：x10123y430512（1）求二次函数yax2+bx+3的表达式；（2）将二次函数yax2+bx+3的图像向右平移k（k0）个单位，得到二次函数ymx2+nx+q的图像，使得当1x3时，y随x增大而增大；当4x5时，y随x增大而减小请写出一个符合条件的二次函数ymx2+nx+q的表达式y ，实数k的取值范围是 ；（3）A、B、C是二次函数yax2+bx+3的图像上互不重合的三点已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求ACB的度数6（2022苏州）如图，二次函数yx2+2m
5、x+2m+1（m是常数，且m0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F连接AC，BD（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求OBC的度数；（2）若ACOCBD，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数yx2+2mx+2m+1（m是常数，且m0）的图象上，始终存在一点P，使得ACP75，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围7（2022宿迁）如图，二次函数yx2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将ABC沿BC折叠后，点A落在
6、点A的位置，线段AC与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合（1）求二次函数的表达式；（2）求证：OCDABD；求的最小值；（3）当SOCD8SABD时，求直线AB与二次函数的交点横坐标三三角形综合题（共3小题）8（2022苏州）（1）如图1，在ABC中，ACB2B，CD平分ACB，交AB于点D，DEAC，交BC于点E若DE1，BD，求BC的长；试探究是否为定值如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由（2）如图2，CBG和BCF是ABC的2个外角，BCF2CBG，CD平分BCF，交AB的延长线于点D，DEAC，交CB的延长线于点E记ACD的面积为S1，CDE的面积为S2，BDE的面积为S3若
7、S1S3S22，求cosCBD的值9（2022扬州）如图1，在ABC中，BAC90，C60，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DEAD，交射线AB于点E（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由；点E在线段AB的延长线上且BEBD；点E在线段AB上且EBED（2）若AB6当时，求AE的长；直接写出运动过程中线段AE长度的最小值10（2022泰州）已知：ABC中，D为BC边上的一点（1）如图，过点D作DEAB交AC边于点E若AB5，BD9，DC6，求DE的长；（2）在图中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使DFAA；（保留作图痕迹，不要求
8、写作法）（3）如图，点F在AC边上，连接BF、DF若DFAA，FBC的面积等于CDAB，以FD为半径作F，试判断直线BC与F的位置关系，并说明理由四圆的综合题（共3小题）11（2022苏州）如图，AB是O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点EF是AB延长线上的一点，且CFEF（1）求证：CF为O的切线；（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG若CF4，BF2，求AG的长12（2022宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，
9、相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是ABC和CDE在RtABC中，tanBAC，在RtCDE中， ，所以tanBACtanDCE所以BACDCE因为ACP+DCEACB90，所以ACP+BAC90，所以APC90，即ABCD【拓展应用】（1）如图是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使，写出作法，并给出证明；（2）如图是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P使AM2APAB，写出作法，不用证明13（2022常州）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半
10、圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC（1）沿AC、BC剪下ABC，则ABC是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形小明的猜想是否正确？请说明理由五几何变换综合题（共1小题）14（2022连云港）【问题情境】在
11、一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放其中ACBDEB90，B30，BEAC3【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转（1）如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长（4）如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是 参考答案与试题解析一一次函数综合题（共1小题）1（2022泰州）定义：对于一次函数y1ax+
12、b、y2cx+d，我们称函数ym（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc0）为函数y1、y2的“组合函数”（1）若m3，n1，试判断函数y5x+2是否为函数y1x+1、y22x1的“组合函数”，并说明理由；（2）设函数y1xp2与y2x+3p的图象相交于点P若m+n1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；若p1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）函数y5x+2是函数y1x+1、y22x1的“组合
13、函数”，理由如下：3（x+1）+（2x1）3x+3+2x15x+2，y5x+23（x+1）+（2x1），函数y5x+2是函数y1x+1、y22x1的“组合函数”；（2）由得，P（2p+1，p1），y1、y2的“组合函数”为ym（xp2）+n（x+3p），x2p+1时，ym（2p+1p2）+n（2p1+3p）（p1）（m+n），点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，p1（p1）（m+n），（p1）（1mn）0，m+n1，1mn0，p10，p1；存在m时，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0），理由如下：由知，P（2p+1，p1），函数y1、y2
14、的“组合函数”ym（xp2）+n（x+3p）图象经过点P，p1m（2p+1p2）+n（2p1+3p），（p1）（1mn）0，p1，1mn0，有n1m，ym（xp2）+n（x+3p）m（xp2）+（1m）（x+3p）（2m1）x+3p（4p+2）m，令y0得（2m1）x+3p（4p+2）m0，变形整理得：（34m）p+（2m1）x2m0，当34m0，即m时，x0，x3，m时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）二二次函数综合题（共6小题）2（2022连云港）已知二次函数yx2+（m2）x+m4，其中m2（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）
15、求证：二次函数yx2+（m2）x+m4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线yx2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求AOB面积的最大值【解答】（1）解：把O（0，0）代入yx2+（m2）x+m4得：m40，解得m4，yx2+2x（x+1）21，函数图像的顶点A的坐标为（1，1）；（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得yx2+（m2）x+m4的顶点为（，），m2，2m0，0，（m4）2110，二次函数yx2+（m2）x+m4的顶点在第三象限；（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为yx2+bx+c，其顶点为（，），当x0时，B
16、（0，c），将（，）代入yx2得：2，c，B（0，c）在y轴的负半轴，c0，OBc，过点A作AHOB于H，如图：A（1，1），AH1，在AOB中，SAOBOBAH（）1b2b+1（b+1）2+，0，当b1时，此时c0，SAOB取最大值，最大值为，答：AOB面积的最大值是3（2022扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC8dm现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（
17、3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由【解答】解：（1）如图1，由题意得：A（4，0），B（4，0），C（0，8），设抛物线的解析式为：yax2+8，把B（4，0）代入得：016a+8，a，抛物线的解析式为：yx2+8，四边形EFGH是正方形，GHFG2OG，设H（t，t2+8）（t0），t2+82t，解得：t12+2，t222（舍），此正方形的面积FG2（2t）24t24（2+2）2（9632）dm2；（2）如图2，由（1）知：设H（t，t2+8）（t0），矩形EFGH的周长2FG+2GH4t+2（t2+8）t2+4t+16（t2）2+20，10，当t2时，矩形EFGH的周
18、长最大，且最大值是20dm；（3）若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：如图3，N为M上一点，也是抛物线上一点，过N作M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NPy轴于P，则MNOM3，NQMN，设N（m，m2+8），由勾股定理得：PM2+PN2MN2，m2+（m2+83）232，解得：m12，m22（舍），N（2，4），PM413，cosNMP，MQ3MN9，Q（0，12），设QN的解析式为：ykx+b，QN的解析式为：y2x+12，x2+82x+12，x22x+40，（2）2440，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，若切割成圆，能切得半径为3dm的圆4（2022泰州）如图
19、，二次函数y1x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2（x0）的图象相交于点B（3，1）（1）求这两个函数的表达式；（2）当y1随x的增大而增大且y1y2时，直接写出x的取值范围；（3）平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图象相交于点E若ACE与BDE的面积相等，求点E的坐标【解答】解：（1）二次函数y1x2+mx+1的图像与y轴相交于点A，与反比例函数y2（x0）的图像相交于点B（3，1），32+3m+11，1，解得m3，k3，二次函数的解析式为y1x23x+1，反比例函数的解析式为y2（x0）；（2）二次函数的解析式为y1x23x
20、+1，对称轴为直线x，由图象知，当y1随x的增大而增大且y1y2时，x3；（3）由题意作图如下：当x0时，y11，A（0，1），B（3，1），ACE的CE边上的高与BDE的DE边上的高相等，ACE与BDE的面积相等，CEDE，即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，当x时，y22，E（，2）5（2022常州）已知二次函数yax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：x10123y430512（1）求二次函数yax2+bx+3的表达式；（2）将二次函数yax2+bx+3的图像向右平移k（k0）个单位，得到二次函数ymx2+nx+q的图像，使得当1x3时，y随x增大而增大；当4x
21、5时，y随x增大而减小请写出一个符合条件的二次函数ymx2+nx+q的表达式yyx2+6x5（答案不唯一），实数k的取值范围是 4k5；（3）A、B、C是二次函数yax2+bx+3的图像上互不重合的三点已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求ACB的度数【解答】解：（1）将（1，4），（1，0）代入yax2+bx+3得：，解得，二次函数的表达式为yx22x+3；（2）如图：yx22x+3（x+1）2+4，将二次函数yx22x+3的图像向右平移k（k0）个单位得y（xk+1）2+4的图象，新图象的对称轴为直线xk1，当1x3时，y随x增大而增大；当4x5时，
22、y随x增大而减小，且抛物线开口向下，3k14，解得4k5，符合条件的二次函数ymx2+nx+q的表达式可以是y（x3）2+4x2+6x5，故答案为：yx2+6x5（答案不唯一），4k5；（3）当B在C左侧时，过B作BHAC于H，如图：点A、B的横坐标分别是m、m+1，yAm22m+3，yB（m+1）22（m+1）+3m24m，A（m，m22m+3），B（m+1，m2m），点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线x1，1，ACx轴，xC2m，C（2m，m22m+3），过B作BHAC于H，BH|m24m（m22m+3）|2m3|，CH|（2m）（m+1）|2m3|，BHCH，BH
23、C是等腰直角三角形，HCB45，即ACB45，当B在C右侧时，如图：同理可得BHC是等腰直角三角形，ACB180BCH135，综上所述，ACB的度数是45或1356（2022苏州）如图，二次函数yx2+2mx+2m+1（m是常数，且m0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F连接AC，BD（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求OBC的度数；（2）若ACOCBD，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数yx2+2mx+2m+1（m是常数，且m0）的图象上，始终存在一点P，使得ACP75，请结合函数的图
24、象，直接写出m的取值范围【解答】解：（1）当y0时，x2+2mx+2m+10，解方程，得x11，x22m+1，点A在点B的左侧，且m0，A（1，0），B（2m+1，0），当x0时，y2m+1，C（0，2m+1），OBOC2m+1，BOC90，OBC45；（2）如图1中，连接AEyx2+2mx+2m+1（xm）2+（m+1）2，D（m，（m+1）2），F（m，0），DF（m+1）2，OFm，BFm+1，A，B关于对称轴对称，AEBE，EABOBC45，ACOCBD，OCBOBC，ACO+OCBCBD+OBC，即ACEDBF，EFOC，tanACEm+1，m+1，m1或1，m0，m1；（3）如图，
25、设PC交x轴于点Q当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时CQACBA，即CQA45，ACQ75，CAO60，2m+1，m，0m7（2022宿迁）如图，二次函数yx2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将ABC沿BC折叠后，点A落在点A的位置，线段AC与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合（1）求二次函数的表达式；（2）求证：OCDABD；求的最小值；（3）当SOCD8SABD时，求直线AB与二次函数的交点横坐标【解答】（1）解：二次函数yx2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，二次函数的解析式
26、为：y（x0）（x4）x22x；（2）证明：如图1，由翻折得：OACA，由对称得：OCAC，AOCOAC，COAA，ADBODC，OCDABD；解：OCDABD，ABAB，的最小值就是的最小值，yx22x（x2）22，C（2，2），OC2，当CDOA时，CD最小，的值最小，当CD2时，的最小值为；（3）解：SOCD8SABD，SOCD：SABD8，OCDABD，（）28，2，OC2，ABAB1，BF211，如图2，连接AA，过点A作AGOA于G，延长CB交AA于H，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，由翻折得：AACH，AHBBFC90，ABHCBD，BCFBAH，tanBCFtanGAA，设AG
27、a，则AG2a，BG2a1，在RtAGB中，由勾股定理得：BG2+AG2AB2，a2+（2a1）212，a10（舍），a2，BG2a11，AGOQ，AGBQOB，即，OQ4，Q（0，4），设直线AB的解析式为：ykx+m，解得：，直线AB的解析式为：yx+4，x+4x22x，3x24x240，解得：x，直线AB与二次函数的交点横坐标是三三角形综合题（共3小题）8（2022苏州）（1）如图1，在ABC中，ACB2B，CD平分ACB，交AB于点D，DEAC，交BC于点E若DE1，BD，求BC的长；试探究是否为定值如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由（2）如图2，CBG和BCF是ABC的2个
28、外角，BCF2CBG，CD平分BCF，交AB的延长线于点D，DEAC，交CB的延长线于点E记ACD的面积为S1，CDE的面积为S2，BDE的面积为S3若S1S3S22，求cosCBD的值【解答】解：（1）CD平分ACB，ACDDCBACB，ACB2B，ACDDCBB，CDBD，DEAC，ACDEDC，EDCDCBB，CEDE1，CEDCDB，BC；DEAC，同可得，CEDE，1，是定值，定值为1；（2）DEAC，又S1S3S22，设BC9x，则CE16x，CD平分BCF，ECDFCDBCF，BCF2CBG，ECDFCDCBD，BDCD，DEAC，EDCFCD，EDCCBDECD，CEDE，DC
29、BECD，CDBCED，CD2CBCE144x2，CD12x，过点D作DHBC于点H，BDCD12x，BHBCx，cos9（2022扬州）如图1，在ABC中，BAC90，C60，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DEAD，交射线AB于点E（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由；点E在线段AB的延长线上且BEBD；点E在线段AB上且EBED（2）若AB6当时，求AE的长；直接写出运动过程中线段AE长度的最小值【解答】解：（1）AE2BE，理由如下：DEAD，AED+EAD90ADEBDE+BDA，BEBD，AEDBDE，EADBDA，ABB
30、D，BEBDAB，AE2BE；AE2EB，理由如下：如图：BAC90，C60，B30，EBED，EDBB30，AEDEDB+B60，DEAD，EDA90，EAD30，AE2ED，AE2EB；（2）过D作DFAB于F，如图：FADDAE，AFD90ADE，AFDADE，即，设DFm，则AF2m，在RtBDF中，BFDF3m，AB6，BF+AF6，即3m+2m6，m，AF，DF，AD，AFDADE，即，AE；作AE的中点G，连接DG，如图：ADE90，DG是斜边上的中线，AE2DG，DGAGEG，当AE最小时，DG最小，此时DGBC，B30，BG2DG，AE2DGBG，BEAG，AGEGBE，此时
31、AEAB4，答：线段AE长度的最小值为4，法2：过A做AGBC于G，过E做EHBC于H，如图：ADE90，EDH90ADGDAG，EHDAGD90，AGEHDHDG，BAC90，C60，B30，AGAB3，EHBE（6AE），DHDG3EH，AE2AD2+DE2AG2+DG2+DH2+EH29+DG2+DH2+EH2，DG2+DH22DHDG，AE29+2DHDG+EH2，即AE29+6EH+EH2，AE2（3+EH）2，AE0，EH0，AE3+EH，EH（6AE），AE3+（6AE），AE4答：线段AE长度的最小值为4，10（2022泰州）已知：ABC中，D为BC边上的一点（1）如图，过点D
32、作DEAB交AC边于点E若AB5，BD9，DC6，求DE的长；（2）在图中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使DFAA；（保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图，点F在AC边上，连接BF、DF若DFAA，FBC的面积等于CDAB，以FD为半径作F，试判断直线BC与F的位置关系，并说明理由【解答】解：（1）如图中，DEAB，CDECBA，DE2；（2）如图中，点F即为所求（3）结论：直线BC与以FD为半径作F相切理由：作BRCF交FD的延长线于点R，连接CRAFBR，AAFR，四边形ABRF是等腰梯形，ABFR，CFBR，SCFBSCFRABCDFRCD，CDDF，直线BC与以FD为半径作
33、F相切四圆的综合题（共3小题）11（2022苏州）如图，AB是O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点EF是AB延长线上的一点，且CFEF（1）求证：CF为O的切线；（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG若CF4，BF2，求AG的长【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD.OCOD，OCDODC，FCFE，FCEFEC，OEDFEC，OEDFCE，AB是直径，D是的中点，DOE90，OED+ODC90，FCE+OCD90，即OCF90，OD是半径，CF是O的切线（2）解：过点G作GHAB于点H设OAODOCOBr，则OFr+2，在RtCOF中，42+r2（r+2）2，r3，GHAB，
34、GHB90，DOE90，GHBDOE，GHDO，G为BD的中点，BGBD，BHBO，GHOD，AHABBH6，AG12（2022宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是ABC和CDE在RtABC中，tanBAC，在RtCDE中，tanDCE，所以tanBACtanDCE所以BACDCE因为ACP+DCEACB90，所以ACP+BAC90，所以
35、APC90，即ABCD【拓展应用】（1）如图是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使，写出作法，并给出证明；（2）如图是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P使AM2APAB，写出作法，不用证明【解答】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是ABC和CDE在RtABC中，tanBAC，在RtCDE中，tanDCE，所以tanBACtanDCE所以BACDCE因为ACP+DCEACB90，所以ACP+BAC90，所以APC90，即ABCD故答案为：tanDCE；【拓展应用】（1）如图中，点P即为所求作法：取格点T，连接
36、AT交O于点P，点P即为所求；证明：由作图可知，OMAP，OM是半径，；（2）如图中，点P即为所求作法：取格点J，K，连接JK交AB于点P，点P即为所求13（2022常州）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC（1）沿AC、BC剪下ABC，则ABC是 直角三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）经过数次探索，小明猜想
37、，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形小明的猜想是否正确？请说明理由【解答】解：（1）AB是直径，直径所对的圆周角是直角，ABC是直角三角形，故答案为：直角；（2）如图，四边形EFHG或四边形EFGH即为所求（3）小明的猜想正确理由：如图2中，设CMCA，CNCB，取APBQ4，则，MNAB，MNPQ4，四边形MNQP是平行四边形，MPCO，PM4，MN4，四边形MNQP是菱形，边长为4，小明的猜想正确五几何变换综合题（共1小题）14（2022连云港）【问题情境】在一次数学兴趣小组
38、活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放其中ACBDEB90，B30，BEAC3【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转（1）如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长（4）如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是 【解答】解：（1）由题意得，BEFBED90，在RtBEF中，ABC30，BE3，BF2；（2）当点E在BC上方时，如图1，过点D作DHBC于H，在RtABC中，AC3，tanABC，BC3，在RtBED中，EBDABC30，BE3，DEBEtanDBE，SBCDCDBEBCDH，DH+1，当点E在BC下方时，如图2，在RtBCE中，BE3，BC3，根据勾股定理得，CE3，CDCEDE3，过点D作DMBC于M，SBDCBCDMCDBE，DM1，即点D到直线BC的距离为1；（3）如图31，连接CD，取CD的中
