1、04解答题-江苏省连云港市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编一、 矩形的判定（共2小题）1（2021连云港）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）如果ABAE，求证：四边形ACED是矩形2（2019连云港）如图，在ABC中，ABAC将ABC沿着BC方向平移得到DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O（1）求证：OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由二、 四边形综合题（共3小题）3（2021连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动（1）ABC是边长
2、为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1求CF的长；（2）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4当点E到达点B时，点F、G、H与点B重
3、合则点H所经过的路径长为 ，点G所经过的路径长为 4（2019连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由问题探究：在“问题情境”的基础上（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F求AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将APN沿着AN翻折，点P落在点P处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求PS的最小值问题拓展：如图4，在边长为4的正方形AB
4、CD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边BC恰好经过点A，CN交AD于点F分别过点A、F作AGMN，FHMN，垂足分别为G、H若AG，请直接写出FH的长5（2018连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明（2）当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE的长（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、B
5、E相交于点D，请你探求ECD的面积S1与DBF的面积S2之间的数量关系并说明理由（4）如图2，当ECD的面积S1时，求AE的长三、 切线的判定与性质（共1小题）6（2021连云港）如图，RtABC中，ABC90，以点C为圆心，CB为半径作C，D为C上一点，连接AD、CD，ABAD，AC平分BAD（1）求证：AD是C的切线；（2）延长AD、BC相交于点E，若SEDC2SABC，求tanBAC的值四、 圆的综合题（共1小题）7（2020连云港）（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EFBC，分别交AB、CD于点E、F若BE2，PF6，AEP的面积为S1，CFP的面积为S2，则S
6、1+S2 ；（2）如图2，点P为ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2S1），求PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（3）如图3，点P为ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EFAD，HGAB，与各边分别相交于点E、F、G、H设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其中S2S1），求PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（4）如图4，点A、B、C、D把O四等分请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），设PB、PC、围成的封闭图形的面积为S1，PA、PD、围成的封闭
7、图形的面积为S2，PBD的面积为S3，PAC的面积为S4，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）五、 轴对称-最短路线问题（共1小题）8（2022连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DEAD，且BEDC（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值六、 几何变换综合题（共1小题）9（2022连云港）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放其中ACBDEB90，B30，BEAC3【问题
8、探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转（1）如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长（4）如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是 七、 解直角三角形的应用（共2小题）10（2021连云港）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示已知AB4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD0.4m海面与地面A
9、D平行且相距1.2m，即DH1.2m（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角BCH37，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角BAD22求点O到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角BAD53，此时鱼线被拉直，鱼线BO5.46m，点O恰好位于海面求点O到岸边DH的距离（参考数据：sin37cos53，cos37sin53，tan37，sin22，cos22，tan22）11（2020连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在水轮赋中写道：“水能利物，轮乃曲成”如图，半径为3m的筒车O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水
10、面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？（3）若接水槽MN所在直线是O的切线，且与直线AB交于点M，MO8m求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上（参考数据：cos43sin47，sin16cos74，sin22cos68）八、 解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）12（2018连云港）如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，ABC37，坝顶DC3m，背水坡AD的坡度i（即tanDAB）为1
11、：0.5，坝底AB14m（1）求坝高；（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE2DF，EFBF，求DF的长（参考数据：sin37，cos37，tan37）九、 解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）13（2022连云港）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角CAE45，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角CBE53，AB10m；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直
12、线上，FG1.5m，GD2m（1）求阿育王塔的高度CE；（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin530.799，cos530.602，tan531.327）十、 解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）14（2019连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53的方向上，位于哨所B南偏东37的方向上（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76的方向前去拦截，求缉私艇
13、的速度为多少时，恰好在D处成功拦截（结果保留根号）（参考数据：sin37cos53，cos37sin53，tan37，tan764）十一、 扇形统计图（共2小题）15（2022连云港）为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D跳绳为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表问卷情况统计表运动项目人数A乒乓球mB排球10C篮球80D跳绳70（1）本次调查的样本容量是 ，统计表中m ；（2）在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是 ；（3）若该校共
14、有2000名学生，请你估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数16（2018连云港）随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越高某社区为了了解家庭对于文化教育的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的文化教育年消费金额进行问卷调查，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）本次被调查的家庭有 户，表中 m ；（2）本次调查数据的中位数出现在 组扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角是 度；（3）这个社区有2500户家庭，请你估计家庭年文化教育消费10000元以上的家庭有多少户？组别家庭年文化教育消费金额x（元）户数Ax500036B5000x100
15、00mC10000x1500027D15000x2000015Ex2000030十二、 条形统计图（共3小题）17（2021连云港）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是 ；（3）这个小区有2500人，请你估计爱吃B种粽子的人数为 18（2020连云港）在世界环境日（6月5日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学生的成绩作为样本，按
16、“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表测试成绩统计表等级频数（人数）频率优秀30a良好b0.45合格240.20不合格120.10合计c1根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）表中a ，b ，c ；（2）补全条形统计图；（3）若该校有2400名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少人？19（2019连云港）为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，24小时（含2小时），46小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图（1
17、）本次调查共随机抽取了 名中学生，其中课外阅读时长“24小时”的有 人；（2）扇形统计图中，课外阅读时长“46小时”对应的圆心角度数为 ；（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数十三、 列表法与树状图法（共5小题）20（2022连云港）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 ；（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率
18、21（2021连云港）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是 ；（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率22（2020连云港）从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 ；（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在
19、“2”中选化学、生物的概率23（2019连云港）现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同现分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球（1）从A盒中摸出红球的概率为 ；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率24（2018连云港）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜假如甲，乙两队每局获胜的机会相同（1）若前四局双方战成2：2，那么甲队最终获胜的概率是 ；（2）现甲队在前两局比
20、赛中已取得2：0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？参考答案与试题解析一、 矩形的判定（共2小题）1（2021连云港）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）如果ABAE，求证：四边形ACED是矩形【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，且ADBC点C是BE的中点，BCCE，ADCE，ADCE，四边形ACED是平行四边形；（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABDC，ABAE，DCAE，四边形ACED是平行四边形，四边形ACED是矩形2（2019连云港）如图，在ABC中，ABAC将ABC沿着BC方向平移得到DEF，
21、其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O（1）求证：OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由【解答】（1）证明：ABAC，BACB，ABC平移得到DEF，ABDE，BDEC，ACBDEC，OEOC，即OEC为等腰三角形；（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，理由是：ABAC，E为BC的中点，AEBC，BEEC，ABC平移得到DEF，BEAD，BEAD，ADEC，ADEC，四边形AECD是平行四边形，AEBC，四边形AECD是矩形二、 四边形综合题（共3小题）3（2021连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动（
22、1）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1求CF的长；（2）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4当点E到达点B时，点F
23、、G、H与点B重合则点H所经过的路径长为，点G所经过的路径长为【解答】解：（1）如图，ABC和BEF是等边三角形，BABC，BEBF，ABCEBF60，ABE+CBECBF+CBE，ABECBF，ABECBF（SAS），CFAE1；（2）如图2，连接CF，由（1）ABECBF，CFAE，BCFBAE60，ABC60，BCFABC，CFAB，又点E在点C处时，CFAC，点E在A处时，点F与点C重合点F运动的路径长AC3（3）如图3，取BC的中点H，连接HN，BHBC，BHAB，CDAB，BDAB，BHBD，ABC和BMN是等边三角形，BMBN，ABCMBN60，DBM+MBHHBN+MBH，DB
24、MHBN，DBMHBN（SAS），HNDM，BHNBDM90，NHBC，又点M在C处时，HNCD，点M在D处时，点N与点H重合点N所经过的路径的长CD；（4）如图，连接AC，BD，相交于点O，取AB的中点M，BC的中点N，连接MF，NH，MFBMBNAB，点F的运动轨迹为以点M为圆心，BM长为半径的圆上；ABCFBH90，ABCFBCFBHFBC，即ABFCBH，MBFNBH（SAS），NHMFBMBN，点H在以点N为圆心，BN长为半径的圆上；当点E在B处时，点F，B，H重合，点G和点B重合；当点E在点C处时，点F和点O重合，点G与点C重合；连接CH，OG，由上证明可得，NHNBNC，BHC9
25、0，点C，G，H三点共线，AGC90，点O是AC的中点，OG是RtAGC斜边中线，点G在以点O为圆心，OB长为半径的圆上；点H所经过的路径长；点G所经过的路径长故答案为：，4（2019连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由问题探究：在“问题情境”的基础上（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F求AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将APN沿着A
26、N翻折，点P落在点P处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求PS的最小值问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边BC恰好经过点A，CN交AD于点F分别过点A、F作AGMN，FHMN，垂足分别为G、H若AG，请直接写出FH的长【解答】问题情境：解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MBEC；理由如下：四边形ABCD是正方形，ABEBCD90，ABBCCD，ABCD，过点B作BFMN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：四边形MBFN为平行四边形，NFMB，BFAE，BGE90，CBF+A
27、EB90，BAE+AEB90，CBFBAE，在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA），BECF，DN+NF+CFBE+EC，DN+MBEC；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q作HIAB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：四边形ABCD是正方形，四边形ABIH为矩形，HIAD，HIBC，HIABAD，BD是正方形ABCD的对角线，BDA45，DHQ是等腰直角三角形，HDHQ，AHQI，MN是AE的垂直平分线，AQQE，在RtAHQ和RtQIE中，RtAHQRtQIE（HL），AQHQEI，AQH+EQI90，AQE90，AQE是等腰直角三角形，EAQAEQ45，即AEF45；（2）连接
28、AC交BD于点O，如图3所示：则APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P与点D重合；设点P与点O重合时，则点P的落点为O，AOOD，AOD90，ODAADO45，当点P在线段BO上运动时，过点P作PGCD于点G，过点P作PHCD交CD延长线于点H，连接PC，点P在BD上，APPC，在APB和CPB中，APBCPB（SSS），BAPBCP，BCDMPA90，PCNAMP，ABCD，AMPPNC，PCNPNC，PCPN，APPN，PNA45，PNP90，PNH+PNG90，PNH+NPH90，PNG+NPG90，NPGPNH，PNGNPH，由翻折性质得：PNPN，在PGN和NHP
29、中，PGNNHP（ASA），PGNH，GNPH，BD是正方形ABCD的对角线，PDG45，易得PGGD，GNDH，DHPH，PDH45，故PDA45，点P在线段DO上运动；过点S作SKDO，垂足为K，点S为AD的中点，DS2，则PS的最小值为；问题拓展：解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：则EGAG，PHFH，AE5，在RtABE中，BE3，CEBCBE1，BECQ90，AEBQEC，ABEQCE，3，QEAE，AQAE+QE，AGMN，AGM90B，MAGEAB，AGMABE，即，解得：AM，由折叠的性质得：ABEB3，BB90，CBCD90，BM，AC1
30、，BAD90，BAMCFA，AFCMAB，解得：AF，DF4，AGMN，FHMN，AGFH，AQFP，DFPDAQ，即，解得：FP，FHFP5（2018连云港）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明（2）当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE的长（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求ECD的面积S1与DBF的面积S2之间
31、的数量关系并说明理由（4）如图2，当ECD的面积S1时，求AE的长【解答】解：（1）结论：ABECBF理由：如图1中，ABC，BEF都是等边三角形，BABC，BEBF，ABCEBF，ABECBF，ABECBF（2）如图1中，作BHAE于HABECBF，SABESBCF，S四边形BECFSBEC+sBCFSBCE+SABESABC，S四边形ABFC，SABE，AEBHAEABsin60，AE（3）结论：S2S1理由：如图2中，ABC，BEF都是等边三角形，BABC，BEBF，ABCEBF，ABECBF，ABECBF，SABESBCF，SBCFSBCES2S1，S2S1SABESBCESABC（4
32、）由（3）可知：SBDFSECD，SECD，SBDF，ABECBF，AECF，BAEBCF60，ABCDCB，CFAB，则BDF的DF边上的高为，可得DF，设CEx，则2+xCD+DFCD+，CDx，CDAB，即，化简得：3x2x20，解得x1或（舍弃），CE1，AE3三、 切线的判定与性质（共1小题）6（2021连云港）如图，RtABC中，ABC90，以点C为圆心，CB为半径作C，D为C上一点，连接AD、CD，ABAD，AC平分BAD（1）求证：AD是C的切线；（2）延长AD、BC相交于点E，若SEDC2SABC，求tanBAC的值【解答】（1）证明：AC平分BAD，BACDAC又ABAD，
33、ACAC，BACDAC（SAS），ADCABC90，CDAD，即AD是C的切线；（2）解：由（1）可知，EDCABC90，又EE，EDCEBASEDC2SABC，且BACDAC，SEDC：SEBA1：2，DC：BA1：DCCB，CB：BA1：tanBAC四、 圆的综合题（共1小题）7（2020连云港）（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EFBC，分别交AB、CD于点E、F若BE2，PF6，AEP的面积为S1，CFP的面积为S2，则S1+S212；（2）如图2，点P为ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFC
34、G的面积为S2（其中S2S1），求PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（3）如图3，点P为ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EFAD，HGAB，与各边分别相交于点E、F、G、H设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其中S2S1），求PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（4）如图4，点A、B、C、D把O四等分请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），设PB、PC、围成的封闭图形的面积为S1，PA、PD、围成的封闭图形的面积为S2，PBD的面积为S3，PAC的面积为S4，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即
35、可）【解答】解：（1）如图1中，过点P作PMAD于M，交BC于N四边形ABCD是矩形，EFBC，四边形AEPM，四边形MPFD，四边形BNPE，四边形PNCF都是矩形，BEPNCF2，SPFCPFCF6，SAEPSAPM，SPEBSPBN，SPDMSPFD，SPCNSPCF，SABDSBCD，S矩形AEPMS矩形PNCF，S1S26，S1+S212，故答案为12（2）如图2中，连接PA，PC，在APB中，点E是AB的中点，可设SAPESPBEa，同理，SAPHSPDHb，SPDGSPGCc，SPFCSPBFd，S四边形AEPH+S四边形PFCGa+b+c+d，S四边形PEBF+S四边形PHDG
36、a+b+c+d，S四边形AEPH+S四边形PFCGS四边形PEBF+S四边形PHDGS1+S2，SABDS平行四边形ABCDS1+S2，SPBDSABD（S1+SPBE+SPHD）S1+S2（S1+a+S1a）S2S1（3）如图3中，由题意四边形EBGP，四边形HPFD都是平行四边形，S四边形EBGP2SEBP，S四边形HPFD2SHPD，SABDS平行四边形ABCD（S1+S2+2SEBP+2SHPD）（S1+S2）+SEBP+SHPD，SPBDSABD（S1+SEBP+SHPD）（S2S1）（4）如图41中，结论：S2S1S3+S4理由：设线段PB，线段PA，弧AB围成的封闭图形的面积为x
37、，线段PC，线段PD，弧CD的封闭图形的面积为y由题意：S1+x+S4S1+y+S3，xyS3S4，S1+S2+x+y2（S1+x+S4），S2S1xy+2S4S3+S4同法可证：图42中，有结论：S1SS3+S4图43中和图44中，有结论：|S1S2|S3S4|五、 轴对称-最短路线问题（共1小题）8（2022连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DEAD，且BEDC（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，
38、DEAD，DEBC，E在AD的延长线上，DEBC，四边形DBCE是平行四边形，BEDC，四边形DBCE是菱形；（2）解：作N关于BE的对称点N，过D作DHBC于H，如图：由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N在DE上，PM+PNPM+PN，当P、M、N共线时，PM+PNMNPM+PN，DEBC，MN的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在RtDBH中，DBC60，DB2，DHDBsinDBC2，PM+PN的最小值为六、 几何变换综合题（共1小题）9（2022连云港）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放其中ACB
39、DEB90，B30，BEAC3【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转（1）如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长（4）如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是 【解答】解：（1）由题意得，BEFBED90，在RtBEF中，ABC30，BE3，BF2；（2）当点E在BC上方时，如图1，过点D作DHBC于H，在RtABC中，AC3，tanA
40、BC，BC3，在RtBED中，EBDABC30，BE3，DEBEtanDBE，SBCDCDBEBCDH，DH+1，当点E在BC下方时，如图2，在RtBCE中，BE3，BC3，根据勾股定理得，CE3，CDCEDE3，过点D作DMBC于M，SBDCBCDMCDBE，DM1，即点D到直线BC的距离为1；（3）如图31，连接CD，取CD的中点G，取BC的中点O，连接GO，则OGAB，COGB30，BOE150，点G为CD的中点，点O为BC的中点，GOBD，点G是以点O为圆心，为半径的圆上，如图32，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150所对的圆弧，点G所经过的路径长为；（4）如图4，过点O作OKAB于K，点O为BC的中点，BC3，OB，OKOBsin30，由（3）知，点G是以点O为圆心，为半径的圆上，点G到直线AB的距离的最大值是+，故答案为：七、 解直角三角形的应用（共2小题）10（2021连云港）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示已知AB4.8m，鱼竿尾端A离
