1、第九章第九章 控制网平差控制网平差 本章讲述条件平差与参数平差的原理及基本数学模型，两种方法计算结果是完全相同的。还介绍了高程网条件平差，三角网条件平差，附合导线条件平差。高程网参数平差，三角网参数平差，并给出了算例。1条件平差与参数平差原理 2条件差的步骤及相应数学模型；3能分别采用条件平差与参数平差解决高程控制网，平面控制网平差。知识点及学习要求难点在本章学习过程中，伴随有大量的公式推导与应用。特别是控制网条件方程与误差方程列立，法方程解算为本章的突破点。返回本章首页 9.1 9.1 条件平差数学模型和公式条件平差数学模型和公式 设某一平差问题中有个 误差独立的观测值，个函数独立的未知数（
2、必要观测数），多余观测数为nttn tnr记：观测值 nnLLLL211 相应权阵 nnnpppp00000021nnvvvV211平差值改正数 nnnnvLvLvLLLLL2211211平差值 1 1、条件平差的数学模型和公式、条件平差的数学模型和公式 1）平差值方程（）tnr000221122112211rLrLrLrbLbLbLbaLaLaLannnnnn（1）式中 、（=1、2、）为条件方程的系数；、为条件方程的常项数iaibirin0a0b0r2）改正数条件方程以 （=1、2、）代入(1)得纯量形式为：iiivLLin 000221122112211rnnbnnannwvrvrvrw
3、vbvbvbwvavava（2）式中 、为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即 022110221102211rLrLrLrwbLbLbLbwaLaLaLawnnnnnbnnarbaAor1nnvvvV211令 nnnnrrrrbbbaaaA212121rbarwwwW1矩阵形式为：011rrnrWVA（4）（3）awbwrw 3）改正数方程 上改正数条件方程式中 的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在 的无穷多组解中，取 =最小的一组解是唯一的，的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。为此，设 ，称为联系数向量，它的唯数与条件方程个数相等，按拉格朗日乘数法解条件极值问题时，要组成新的函数
4、：VVPVVTVrbarTkkkK1K)(2WAVKPVVTT将对 求一阶导数，并令其为零得：VAKPVVTT22AKPVTTKAPVT111rTrnnnnKAPV（5）上式称为改正数方程，其纯量形式为：)(1)(1)(12222211111rnbnannnrbiarbakrkbkapvkrkbkapvkrkbkapv（i=1,2,n）（6）4）法方程 将 代入 得 KAPVT10WAV01WKAAPT矩阵形式为：rnTnnnrrrAPAN1011rrrrWKN（7）上式称为联系数法方程，简称法方程。式中法方程系数距阵，为PrrPbrParPbrPbbPabParPabpaaN 因 故，是 阶
5、的对称方阵。NAAPAPAAAPNTTTTTTT111)()(Nr法方程的纯量形式为 000rrbabrbaarbawkprrkpbrkparwkpbrkpbbkpabwkparkpabkpaa （8）从法方程解出联系数K后，将 值代入改正数方程，求出改正数 值，再求平差值 ，这样就完成了按条件平差求平差值的工作。KVVLL2、条件平差法求平差值的步骤、条件平差法求平差值的步骤根据平差问题的具体情况，列出平差值条件方程式（1），并转化为改正出数的条件方程（2），条件方程的个数等于为多余观测的个数r；根据条件方程的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式（8）；法方程的个数等于多余观测的；解法方程，
6、求出联系数K,并代入法方程检验；将K代入改正数方程（6），求改正数 值；将V代入平差值方程 求平差值；将平差值 代入平差值方程，检验是否满足条件；精度评定。VLLLV2、精度评定1）单位权中误差 tnPVVTrpvv从中误差计算公式可知，为了计算 ，关键是计算 。下面将讨论 的计算方法。PVVTpvvPVVTPVV由 直接计算 iV2222211nnvPvPvPpvv由联系数 及常数项 计算KW)(rrbbaakWkWkWpvv直接在高斯杜力特表格中解算111111rWrprrrWWpbbWWpaaWWPVVrrbbaawT)()(0wwrWw2）平差值函数的权倒数设有平差值函数为 它的权函数
7、式为：nLLLf,21nnLdLLdLLdLd)()()(2211nnLdfLdfLdf2211令则 nTffff,21TnLdLdLdLd,21LdfdT1111111rPrfrPrrrPrfPbfPbbPbfPafPaaPafPffPrPff这就是高斯约化表中 的计算公式，其规律与 计算规律完全相同。P1rWw返回本章首页9.2 9.2 水准网按条件平差算例水准网按条件平差算例在如图1所示水准网中,两点高程及各观测高差和路线长度列于（表1）中。ABABP1P2P3h1h7h5h6h3h4h2图1000.35AH000.36HH观测号观测高差(m)路线长度（km）观测号观测高差(m)路线长D
8、（km）已知高程（m）12341.3592.0090.3630.64011225670.6571.0001.650112表1试求：（）、及 点高程之最或然值；（）、点间平差后高差的中误差。1P2P3P1P2P解:列条件方程式,不符值以“mm”为单位。已知 ，故 ，其条件方程式为3,7tn437r01030707742643765521vvvvvvvvvvvv 列函数式。555vhxF 故 15f0764321ffffff组成法方程式。1）令每公里观测高差的权为1，按1/,将条件方程系数及其与权倒数之乘积填于（表2）中。iisp 2)由下表2数字计算法方程系数,并组成法方程式:522125102
9、1411013dcbakkkk1377+=0 表2 条件方程系数表观测号abcdsf11112-11003-1-1-14-110051-10116-110071-1001-1-11 0 01 1 1sp1papbpcpdpspfps观测号1111121-1132-2-2-242-22511-11161-11722-210-31 -1 -11 0 0p1papbpcpdpspfps续表 4）法方程式的解算。1）解算法方程式在（表3）中进行。2）计算之检核。pvvwkpvv467.35 wk由表3中解得 ，两者完全一致，证明表中解算无误。5）计算观测值改正数及平差值(见表4)6）计算 点高程最或然
10、值。47.35pvv321,PPP359.3611xHHAP012.3722xHHAP360.3543xHHBPm m m 表3 高斯-杜力特表格表4 改正数与平差值计算表7）精度评定。单位权（每公里观测高差）中误差0.3447.35mm 点间平差后高差中误差2.252.00.31FFPmmm返回本章首页9.3 9.3 附合导线按条件平差算例附合导线按条件平差算例1.1.附合导线的条件平差方程式附合导线的条件平差方程式如图1所示，符合在已知 ，之间的单一符合导线有 条 与 是已知方位角。),(AAyxA),(CCyxCnABCD设观测角为 、，测角中误差为 ，观测边长为 、，测边中误差为 （1
11、、2、）。121n1s2snssiin此导线共有 个观测值，有 个未知数，故 则 。因此，应列出三个条件方程，其中一个是坐标方位角条件，另两个是纵、横坐标条件。12 n1n)1(2nt3)1(2)12(nnrBA(1)C(n+1)Ds1s2sn23n12345n+1图1 1 1）坐标方位角条件坐标方位角条件 设观测角 的改正数为 （1、2、1），观测边 的改正数为 （1、2、）。由图1知iivinissivin180)1(11niniBACD011ainiv式中 方位角条件的不符值，按 a180)1(11niniCDBAa若导线的A 点B 与点重合，则形成一闭合导线，由此坐标方位角条件就成了多
12、边形的图形闭合条件。2 2）纵、横坐标条件纵、横坐标条件 设以 、表示（图1）中各导线边的纵坐标增量之平差值；、表示（图1）中各导线边的横坐标增量之平差值；由图可写出以坐标增量平差值表示的纵、横坐标条件。1 x2 xnx 1 y2yny yininAinACxininAinACvyyyyyvxxxxx111111（1）令 则)()(11ACinyACinxyyyxxx0011yyinxxinvv（2）)()()(211nxinxdxdxdv将上式代入式（2）得纵坐标条件式，且同理已可得横坐标的条件式即 0)(1sin0)(1cos1111yiiCnisiinixiiCnisiinivxxvvy
13、yv（3）上式就是单一符合导线的纵、横坐标条件方程、为条件式的不符值，按 CCCinAyCCCinAxyyyyyxxxxx11式中、是由观测值计算的各导线点的近似坐标。1231211)()()(cosvyyyyyyvvnCsiinxinnncnCvyyvyyyyyy)()()()(23423 计算时一般 以秒为单位，、以cm为单位；若 、以m为单位，则 ，从而使全式单位统一。若单一导线的 与 点重合形成闭合导线，则纵、横坐标条件成为多边形各边的坐标增量闭合条件，以增量平差值表示为ivsivxyxy65.2062100206265 AC0011ininyx2.2.符合导线的精度评定符合导线的精度
14、评定1）单位权中误差单位权中误差：单一符合导线计算单位权中误差公式与边角网相同，按rvvPvvPrpvvsss 2）平差值的权函数式平差值的权函数式：为了平定平差值函数的精度，必须要列出权函数式。一般有下列三种函数式。边长平差值权函数式 由导线边 故其权函数式为 siiivsssiFsivv坐标平差值的权函数式 由（23页图1）得点坐标平差值的权函数式为iijjisiijiFyiiijjisiijiFxivyxvvvyyvv11111111sincos 坐标方位角平差值权函数式 由（23页图1）得单一符合导线的任一边的坐标方位角的计算式为1801ninBAiniiFvv13.3.附合导线按条件
15、平差算例附合导线按条件平差算例在下图2所示附合导线中A,B 为已知点，其坐标为 947.6556Ax735.4101Ay155.8748Bx647.6667Ay方位角 ，应用红外测距仪观测导线的转折角 和边长 列入下表1。试按条件平差法，求各观测值及平差后 边的边长相对中误差。4.130349 ABsA(1)B(5)s1s2s423123453s3图2表1 近似坐标计算解：（1）确定观测值的权。测角中误差 0.3 m边长中误差按仪器给定公式为26222)105()5.0()(iicssppmsmmi（cm）式中is以cm为单位。由上式算得 82.02sm96.01sm79.03sm92.04s
16、mcm cm cm cm 以角度观测的权为单位权，即0.3 m表2 条件方程及权函数式系数表续表则边长的权为76.92211smsmmp38.132sp42.143sp63.104sp边长权倒数为101.011sp074.012sp070.013sp091.014sp（2）计算条件方程式不符值。由表1得0.54.1303494.080349 ABABaw9.4155.8746204.8748BBxxxw9.2647.6667676.6667BByyyw（3）计算条件方程式系数及权函数式系数，列于上表2中。（4）组成法方程式并解算。根据上表2中系数组成法方程系数，然后填于下表3中相应行内。法方程
17、式的解算在下表3中进行。cm cm 表3 法方程式解算表（5）计算改正数和平差值。由法方程解算表解得的联系数k 和观测边加相应改正数，即得角度和边长平差值。计算见下表4。表4 观测值之平差值计算（6）计算边的精度。1）单位权中误差，按 59.23080.26 rpvv计算 边的中误差3s2）cm75.0064.095.2133sspm3s边长相对中误差164000112294275.033sms返回本章首页9-4 参数平差数学模型和公式1.参数平差数学模型（1）平差值方程 设平差问题中，有 个不等精度的独立观测 ，相应权为 （1，2,），并设需 个必要观测，用 表示选定的未知数，按题列出 个平
18、差值方程为nn1nLipit1tXnntnnnnnnttdxtxbxavlLdxtxbxavLLdxtxbxavLL21222212222112111111式1(2)误差方程令 则1式为iiixxx0ntnnnnttlxtxbxavlxtxbxavlxtxbxav2122221221121111其中 （1，2，,）iiiiiiiLdxtxbxal00201innnvvvV211ttxxxx211nnllll211nnntntbatbatbaB222111nnnpppP00000021则 2式的矩阵形式为lxBV若设式2式3（3）法方程式中有 个待定的改正数和 个未知数，共 个待定量，而方程只有
19、 个，所以有无穷多组解。为了寻求一组唯一的解，根据最小二乘原理按 的准则求，按数学上求函数自由极值的理论，即nnttnminPVVT022PBVxVPVxPVVTTT转置后得 110tnnnntTVPB代3式代入4式得法方程0）（lxBPBT0PlBxPBBTT式4式5令 PBBNTttPlBUTt15式可表示为 0 UxNPlBPBBUNxTT11）（其纯量形式为000212121ptlxpttxpbtxpatpblxpbtxpbbxpabpalxpatxpabxpaattt将上式算得的 代入式2求出改正数向量V，进而求出观测平差值。x式6式72、按间接平差法求平差值的计算步骤根据平差问题的
20、性质，选择 个独立量作为未知数；将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数。若函数为非线性要将其线性化，列出误差方程；由误差方程系数 和自由项 组成法方程，法方程个数等于未知数个数 ；解算法方程，求出未知数改正数 ，计算未知数；由误差方程计算V，求出观测量平差 。tBltxVLL3、精度评定（1）单位权中误差和 的计算同条件平差一样，间接平差单位权中误差公式为PVVTtnPVVTrpvvpvvPVVT的计算方法为或 由iv直接计算2222211nnvpvpvppvv由未知数改正数 及法方程常数项 及计算 xpll txptlxpblxpalpllpvv21在高斯杜力特表中解算 111111
21、tptltptttptlpblpbbpblpalpaapalpllpvv llplltpll（2）未知数函数的权倒数和中误差设某平差问题的未知数的函数为txxxf,21它的权函数式为 ttttxfxfxfxxfxxfxxf22112211tTffff21Ttxxxx21则上式的矩阵形式为 xfT根据权逆阵的传播律，得未知数的权倒数 111111012211tftptttffpbbffpaafPtt111111012211tptttftfpbbffpaaffPtt fft00则 的中误差为：Pm1（3）未知数的权逆阵和中误差 由法方程 0UxN 得 UNx1011011)()(PLBNPLBNl
22、LPBNPlBNTTTT由权逆阵的传播律得 TTLTXXPBNQPBNQ)()(111111111NNNNPBNBNPBNPQBNTLT即法方程系数距阵的逆阵就是知数向量的权逆阵，令 ttttttxxxxxxxxxxxxxxxxxxXXQQQQQQQQQNQ2122212121111因为法方程系数阵是一个对称方阵，故它的逆阵也为对称方阵未知数的权逆阵，通常又称为权系数阵，其对角线上的元素 为未知数的权倒数，非对角线上的元素 称为未知数 关于 的相关权倒数，而所有的元素又称为权系数。权系数的计算除了用矩阵求逆的方法以外，还可以用高斯约化法求权系数的方法。则任一未知数 的中误差为：iiQijQix
23、jxixiixiQm返回本章首页9.5 9.5 高程网参数平差及算例高程网参数平差及算例1、未知数个数的确定、未知数个数的确定在间接平差中，未知数个数就等于必要观测个数。2、未知数的选取、未知数的选取 在水准网中，即可以选取待定点高程作为未知数，也可选取高差作为未知数，但一般是选高程为未知数，例如在下图1中，就是选取待定点高程作为未知数的。3 3、算例、算例在下图1所示水准网，已知水准点A的高程为 m，为求B，C，D三点的高程，进行了水准测量，及观测高差及水准路线长度载于下表1中，试按间接平差法求定B、C、D三点高程的平差值。483.237AH水准路线观测高差 （m）路线长度 （km）15.8
24、353.523.7822.739.6404.047.3843.052.2722.5ihis表1图1解：按题意知必要观测数 t=3，选取B、C、D三点高程 、为参数 根据图示水准路线写出5个平差值方程1x2x3xAAAHxvLxxvLHxvLxxvLHxvL35532442332122111则误差方程为 )()()(53543243232212111hHxvhxxvhHxvhxxvhHxvAAA 将观测高差和已知点高程代入上式，即可计算误差方程的常数项，此时，这些常数项具有56个数字，这对后续计算是不利的。为了便于计算，选取参数的近似值503302101hHxhHxhHxAAA这样，后续计算求定
25、的只是未知数近似值改正数 、，它们的关系为1x2x3x303320221011xxxxxxxxx 将上二式代入误差方程，得 0140230353242321211xvxxvxvxxvxv取10km的观测高差为单位权观测，即按iiisscP10定权，得各观测值的权分别为9.21p7.32p5.23p3.34p0.45p，组成法方程为 02.463.73.309.383.3.5.97.301.857.36.63232121xxxxxxx解法方程，得 75.111x04.22x25.73xmm mm，mm，代人误差方程得 121v92v23v94v75vmm，mm，mm，mm，最后得平差值 330.
26、2431x121.2472x746.2393xm，m，847.51h791.32h638.93h375.74h263.25hm，m，m，m，mmmm 返回本章首页9.6 9.6 三角网参数平差及算例三角网参数平差及算例 1.1.未知数的选定未知数的选定 平面控制网参数平差总是选择未知点x,y的坐标为平差参数。2、测角网坐标平差误差方程列立、测角网坐标平差误差方程列立这里讨论测角网中选择待定点坐标为未知数时，误差方程列立及线性化问题。如下图1为某一测角网的任一角 为三个待定点，它们的近似坐标为 改正数为 ，则平差值分别为hkjLi,000000,;,;,hhkkjjyxyxyxhhkkjjyxy
27、xyx,;,;,jjjjjjyyyxxx00kkkkkkyyyxxx00hhhhhhyyyxxx00由图1可得 的平差值方程为iLjhjkiL令 jkjkjk0jhjhjh0误差方程为 ijhjkijhjkjhjkilLv)(00ijkiLl0式中：kjkjkkjkjkjjkjkjjkjkjkysxxsyysxxsy200200200200)()()()(hjhjhhjhjhjjhjhjjhjhjhysxxsyysxxsy200200200200)()()()(iL),(hhyxh),(kkyxk),(jjyxj图1或写为：kjkjkkjkjkjjkjkjjkjkjkysxsysxs00000
28、000cossincossin hjhjhhjhjhjjhjhjjhjhjhysxsysxs00000000cossincossin 讨论讨论：（1）若测站点 为已知点时，则 =0 有，得jjxjykjkjkkjkjkjkysxxsy200200)()(若照准点 为已知点，则有 =0，得kkxkyjjkjkjjkjkjkysxxsy200200)()(（3）若某边的两个端点均为已知点，则jxjykxky0 jk=0，（4）同一边的正反坐标方位角的改正数相等，它们与坐标改正数的关系也一样。即 kjjk 因为kjkjkkjkjkjjkjkjjkjkjkysxxsyysxxsy20020020020
29、0)()()()(jkjkjjkjkjkkjkjkkjkjkjysxxsyysxxsy200200200200)()()()(顾及 0000kjjkkjjkyyxx综上所述，对于角度观测的角网，采用间接平差，选择待定点的坐标为未知数时，列误差方程的步骤为：计算各待定点的近似坐标；由待定点的近似坐标和已知点坐标计算各边的近似坐标方位角和近似边长；计算各边的坐标方位角改正数，并计算其系数列出误差方程。据此，实际计算时，只要对每条待定边计算一个方向的坐标方位角改正数方程即可。3、测边网坐标平差误差方程列立如下图2为某一测边网中的任意一条边，为两个待定点，它们的近似坐标为 ，改正数为 则 ，的坐标平差
30、值为 jk0000,;,kkjjyxyxkkjjyxyx,;,jkjjjjjjyyyxxx00kkkkkkyyyxxx00kisj由右图2可写出 的平差值方程为is 22)()(jkjkiiiyyxxvss图2 按台劳公式展开，得kjikjijkijkijkjkiiyysxxsyysxxsyyxxvs0000200200)()(ikjkjkkjkjkjjkjkjjkjkilysyxsxysyxsxv00000000讨论讨论：（1）若 为已知点，则j0jjyxikjkjkkjkjkilysyxsxv0000)(ijkissl 若 为已知点，则 k0kkyxijjkjkjjkjkilysyxsxv
31、000022)()(jkjkjkyyxxs（2）若 ，均为知点，则该边为固定边，不需要列误差方程。jkjjyx0kkyx（3）某边的误差方程，按 方向列立与按 方向列立结果完全相同。jkkj 若按 方向，则jkikjkjkkjkjkjjkjkjjkjkilysyxsxysyxsxv00000000 按 方向，则kjijkjkjjkjkjkkjkjkkjkjilysyxsxysyxsxv00000000顾及 kjjkkjjkyyxx4 4、三边网参数平差算例、三边网参数平差算例 同精度测得如右图3中的三个边长,其结果为363.3871L065.3062L862.3543Lm m m 已知点A，B
32、，C 的起算数据列于下表1。试列出误差方程并求平差值。表1图3解:（1）本题,选择待定点的坐标和为未知数,其近似值和由已知点、和观测边、交会计算而得。图4中，设为三角形底边上的高，为在上的投影。得2tDDxDy0Dx0DyAB1L2LhABDABl1LAB502.348222221ABLABLl105.169221lLh9930882.0cosABxxABAB1173758.0sinAByyABAB 按此,计算待定点的近似坐标259.2326sincos0ABABADhalxx184.5330cossin0ABABADhlyym m m m 图4（2）根据近似坐标和已知点坐标计算误差方程的系数
33、和常数项，计算数值列在表2中。表2 由表2的最后三列数值,按式写出误差方程231.0009453.03262.06465.07629.03279.09447.0XV（3）求平差值 根据误差方程组成法方程02183.00753.04192.11249.01249.05808.1X解算法方程,得m,m。待定点坐标平差值为036.0Dx151.0Dym033.5330m295.232600DDDDDDyyyxxx将 代入误差方程计算观测值的改正数并从而求得平差值X077.0070.0083.0V785.354995.305280.387L（m），返回本章首页习习 题题1、在图1的水准网中，观测高差及
34、路线长度见下表：已知A、B点高程为：=50.000m,=40.000m,试用条件平差法求 AHBH(1)、各观测高差的平差值；(2)、平差后到点间高差的中误差。1P2P图12、有闭合导线如下图2，观测4条边长和5个左转折角，已知测角中误差 ，边长中误差 mm,计算（以m为单位），起算数据为：1 misiSm2.0iS045.2272BAXX330.5071BAYY9040224 AT904044 BT观测值如下：试按条件平差:(1)、列条件方程和法方程；(2)、求改正数和平差值；(3)、求导线点2、3、4的坐标平差值。S4S3S2S1TATBAB12345图23、在下图3的水准网中，为已知点，
35、m，观测各点间的高差为：000.10AH015.11h570.122h161.63h563.114h414.65hm、m、m、m、设，试按间接平差法求：IQ（）待定点、的高程平差值；1P2P3P（）平差后至点间高差平差值及中误差。1P3Ph2h4P1h1AP2h3h5P3图3 4、如图4的测角网中，为已知三角点，点为待定点，起算数据如下表：起 算 数 据试用坐标平差法求待定点的坐标值及其点位中误差。ABC243 781569图4 5、在图5中测边网中，点为已知点，点为待定点。已知点坐标为，同精度测得边长观测值为：BA,DC,)m0,m0(A)m0,m335.22141(B062.279081s592.200442s034.365773s046.204804s438.294025s335.191870Cx887.202650Cy386.100680Dx434.173320Dy试按间接平差求点坐标平差值及其协因数阵。DC,设待定点的近似坐标为：图5返回本章首页
