1、第第7章章 信道编码信道编码知识要点知识要点 信道编码对系统性能的影响信道编码对系统性能的影响 线性分组码的概念、监督矩阵、生成矩阵线性分组码的概念、监督矩阵、生成矩阵 循环码的结构循环码的结构 生成多项式生成多项式第1页，共40页。7.1概述概述 7.1.1 信道编码的意义信道编码的意义1.波形编码波形编码将数字信号的波形进行一定的变换，使它们的相关程度最小。将数字信号的波形进行一定的变换，使它们的相关程度最小。衡量两个波形衡量两个波形s1(t)与与s2(t)之间相关程度的参数是相关系数之间相关程度的参数是相关系数Es和和Tb分别为码元能量和周期分别为码元能量和周期两个波形不相干两个波形不相
2、干两个波形正交两个波形正交bTsdttstsE02112)()(10112012第2页，共40页。二进制正交信号的表示二进制正交信号的表示 s1(t)t0Tb/2Tbs1(t)=u(t)s2(t)t0Tb/2Tbs2(t)=u(t-Tb/2)(a)波形波形(b)矢量矢量第3页，共40页。（1）1比特数据的编码比特数据的编码数据数据“1”和和“0”用用00和和01这两个正交码字表达，表示成这两个正交码字表达，表示成H1矩阵矩阵（2）2比特数据的编码比特数据的编码数据数据“00”、“01”、“10”和和“11”用用0000、0101、0011和和0110这四个正交码这四个正交码字表达，表示成矩阵字
3、表达，表示成矩阵H210001H111120110110010100000HHHHHs1(t)t0Ts2(t)t0Ts3(t)t0Ts4(t)t0T0 0 0 00 1 0 10 0 1 10 1 1 0数字信号数字信号“00”数字信号数字信号“01”数字信号数字信号“10”数字信号数字信号“11”第4页，共40页。（3）3比特数据的编码比特数据的编码（4）比特数据的编码）比特数据的编码 误码率误码率111011101001110010100000222231001011000111100010110101111000001100110110011001010101000000000HHHHH
4、1111kkkkkHHHHH0)12(nEerfcPske第5页，共40页。2.结构化序列结构化序列结构化序列是在信息序列中加入一些多余的码元，它们与信息码元之间有着某种结构化序列是在信息序列中加入一些多余的码元，它们与信息码元之间有着某种约束关系，利用这种关系就可以在接收端校验信息码元是否出错，甚至直接约束关系，利用这种关系就可以在接收端校验信息码元是否出错，甚至直接纠正错误。这样的多余码元称为冗余位或者监督码元。纠正错误。这样的多余码元称为冗余位或者监督码元。码的简单分类如下：码的简单分类如下：（1）如果监督元与信息元的函数关系是线性的，就称此码为线性码或者线性分）如果监督元与信息元的函数
5、关系是线性的，就称此码为线性码或者线性分组码，否则是非线性码。组码，否则是非线性码。（2）如果监督元不但与本码字的信息元有关，还与前面若干个码字有关，就称）如果监督元不但与本码字的信息元有关，还与前面若干个码字有关，就称此码为卷积码，否则是分组码。此码为卷积码，否则是分组码。（3）根据码的用途，可将它们分成检错码和纠错码。检错码只能检测错误；纠错码可以）根据码的用途，可将它们分成检错码和纠错码。检错码只能检测错误；纠错码可以纠正错误。纠正错误。信息元信息元k位位监督元监督元r位位码字码字n位位(n,k)第6页，共40页。码的几个定义如下：码的几个定义如下：（1）码长。码字总的位数。例如，码字）
6、码长。码字总的位数。例如，码字1101001，码长为，码长为7。（2）码重。码字中）码重。码字中“1”的个数。上例中，码重为的个数。上例中，码重为4。（3）码距。两个等长码字中，对应位具有不同码元的个数。如下图中，码）码距。两个等长码字中，对应位具有不同码元的个数。如下图中，码距为距为3。*码距也称为汉明（码距也称为汉明（Hamming）距离）距离d。由等长码字构成的集合中，存在两个码。由等长码字构成的集合中，存在两个码字，它们的码距为最小，称之为最小汉明距离字，它们的码距为最小，称之为最小汉明距离 dmin（4）编码效率）编码效率1 1 0 1 0 0 11 0 0 1 1 1 1C6 C5
7、 C4 C3 C2 C1 C0码字码字A码字码字B*nkR 第7页，共40页。线性分组码的检错和纠错能力概述如下：线性分组码的检错和纠错能力概述如下：（1）检测）检测e个随机错误，则要求；个随机错误，则要求；（2）纠正）纠正t个随机错误，则要求；个随机错误，则要求；（3）纠正）纠正t个同时检测个同时检测 个随机错误，则要求个随机错误，则要求例例7.1.1 有两个许用码字（有两个许用码字（00）和（）和（11），它们的最小汉明距离），它们的最小汉明距离dmin=2。试分析其。试分析其检错和纠错能力。检错和纠错能力。解：解：由上述定理（由上述定理（1），这种码可以检测出），这种码可以检测出1个错。
8、当译码器收到（个错。当译码器收到（01）或者（）或者（10）时，虽然能够检测时，虽然能够检测1个错，但是却无法知道原始码字到底是（个错，但是却无法知道原始码字到底是（00）还是）还是（11），所以它无法进行纠错，这符合上述定理（），所以它无法进行纠错，这符合上述定理（2）1min ed12min td1minetd)(te 第8页，共40页。例例7.1.2 有两个许用码字（有两个许用码字（000）和（）和（111），它们的最小汉明距离），它们的最小汉明距离dmin=3。试分析其检错和纠错能力。试分析其检错和纠错能力。解：解：它可以纠正它可以纠正1个错误，检测个错误，检测2个错误。当接收码字是（
9、个错误。当接收码字是（001）、）、（010）或者（）或者（100）时，译为（）时，译为（000）；当接收码字是）；当接收码字是（011）、（）、（101）或者（）或者（110）时，译为（）时，译为（111）。当传送）。当传送出现出现2个错时，译码器能够发现错误，但却无法纠正错误，个错时，译码器能够发现错误，但却无法纠正错误，如发为（如发为（000），收为（），收为（101），译码器译为（），译码器译为（111）；当传）；当传送出现送出现3个错时，如发为（个错时，如发为（000），收为（），收为（111），译码器仍），译码器仍为（为（111），将造成漏检。），将造成漏检。第9页，共40页。7.
10、1.2 信道特性与差错控制方式信道特性与差错控制方式1.信道特性信道特性（1）随机信道。其中错码出现的位置是随机的，而且彼此之间统计独立。多数情况下是）随机信道。其中错码出现的位置是随机的，而且彼此之间统计独立。多数情况下是独立的单个数据出错，高斯白噪声信道即具有这种特性。独立的单个数据出错，高斯白噪声信道即具有这种特性。（2）突发信道。其中错码出现是成串的，大量的错误集中在很短的一段的）突发信道。其中错码出现是成串的，大量的错误集中在很短的一段的时间内，即出现错误位之间的相关性较强，但是这种错码出现的频率很时间内，即出现错误位之间的相关性较强，但是这种错码出现的频率很低。通常将第一错误位与最
11、后错误位的长度（中间可以有些正确位）称低。通常将第一错误位与最后错误位的长度（中间可以有些正确位）称为突发长度。脉冲干扰和衰落现象是产生突发错码的主要原因。为突发长度。脉冲干扰和衰落现象是产生突发错码的主要原因。（3）混合信道。既存在随机错码又存在突发错码的信道，称为混合信道。）混合信道。既存在随机错码又存在突发错码的信道，称为混合信道。短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子。短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子。第10页，共40页。2.差错控制方式差错控制方式（1）前向纠错）前向纠错FEC（Forward error correct）纠错编码经过信道传输后，接收端通过译码能够自
12、动发现并且纠正传输中出纠错编码经过信道传输后，接收端通过译码能够自动发现并且纠正传输中出现的错误。这种方法的特点是实时性较好，编码效率较低，对信道的适现的错误。这种方法的特点是实时性较好，编码效率较低，对信道的适应性较低，编译码设备较为复杂，但随着大规模集成电路技术的发展，应性较低，编译码设备较为复杂，但随着大规模集成电路技术的发展，设备成本越来越低。设备成本越来越低。（2）检错重发）检错重发ARQ（Automatic retransmission request）发送端发送能够检错的编码，接收端收到信号后自动检测，如果错误存在，则通知发发送端发送能够检错的编码，接收端收到信号后自动检测，如果
13、错误存在，则通知发送端重发。其特点是实时性较差，传送效率较低，检错能力与信道干扰变化无关，送端重发。其特点是实时性较差，传送效率较低，检错能力与信道干扰变化无关，设备较为简单。这种方式在突发错误时较为有效，主要在计算机数据通信中得到设备较为简单。这种方式在突发错误时较为有效，主要在计算机数据通信中得到应用。应用。（3）混合纠错）混合纠错HEC（Hybrid error correct）混合纠错是前向纠错和检错重发的结合。发送端发出的编码不仅能够检测错误，混合纠错是前向纠错和检错重发的结合。发送端发出的编码不仅能够检测错误，还具有一定的纠错能力。如果错误位在码的纠错能力之内，就自动纠正；如还具有
14、一定的纠错能力。如果错误位在码的纠错能力之内，就自动纠正；如果错误超出了码的纠错能力，则要求发送端重发。这种方式具有自动纠错和果错误超出了码的纠错能力，则要求发送端重发。这种方式具有自动纠错和检错重发的优点，可达到较低的误码率，在双向通信中得到广泛的应用。检错重发的优点，可达到较低的误码率，在双向通信中得到广泛的应用。第11页，共40页。差错控制方式差错控制方式 信源信源编码器编码器译码器译码器信宿信宿信道信道（a）FEC信源信源编码器编码器译码器译码器信宿信宿信道信道（b）ARQ缓存缓存与控制与控制缓存缓存与控制与控制信源信源ARQFEC信宿信宿信道信道（c）HECFECARQ判决信号判决信
15、号判决信号判决信号第12页，共40页。7.1.3 信道编码对系统性能的影响信道编码对系统性能的影响7.1.4 几种简单的信道编码方法几种简单的信道编码方法1.奇偶监督码奇偶监督码奇偶监督码是在原信息码后附加一个监督元。奇偶监督码是在原信息码后附加一个监督元。奇偶监督码分为偶校验和奇校验两种方式。奇偶监督码分为偶校验和奇校验两种方式。PeEb/n0(dB)10-210-410-6812未编码未编码已编码已编码ABC第13页，共40页。如果加上监督元如果加上监督元a0后，确保码组中后，确保码组中1的个数为偶数，这种方式称为偶校验码。设码长的个数为偶数，这种方式称为偶校验码。设码长为为n的码字的码字
16、 ，对偶校验码，有，对偶校验码，有 监督码可以通过下式获得监督码可以通过下式获得奇校验码的条件是奇校验码的条件是a0可以通过下式获得可以通过下式获得),(0121aaaann00121aaaann1210aaaann10121aaaann11210aaaann第14页，共40页。2.行列监督码行列监督码将要发送的若干码元信息排成一个方阵，方阵中的每一行为一个码字，码字将要发送的若干码元信息排成一个方阵，方阵中的每一行为一个码字，码字的最后一位是监督码元，对该行码元进行奇偶校验；方阵中的每一列最的最后一位是监督码元，对该行码元进行奇偶校验；方阵中的每一列最后一位也是监督码元，对该列中的码元进行奇
17、偶校验。后一位也是监督码元，对该列中的码元进行奇偶校验。行列监督码适合于检测突发错误。因为突发错误常常成串出现，随后有较长一段的无错区行列监督码适合于检测突发错误。因为突发错误常常成串出现，随后有较长一段的无错区间，所以在一行中可出现多个奇数或者偶数个错码。间，所以在一行中可出现多个奇数或者偶数个错码。012101212021222110111211ccccaaaaaaaaaaaannmmmnmnnnnn第15页，共40页。3.恒比码恒比码恒比码中恒比码中“1”的个数与的个数与“0”的个数之比保持恒定的比例。的个数之比保持恒定的比例。3:2恒比码恒比码4.群计数码群计数码群计数码是将信息码元分
18、组后，计算每个码组中群计数码是将信息码元分组后，计算每个码组中“1”的个数，然后在信息码元后面附的个数，然后在信息码元后面附加上该数目的二进制表示作为监督码元加上该数目的二进制表示作为监督码元 阿拉伯数字阿拉伯数字编码编码阿拉伯数字阿拉伯数字编码编码001101500111101011610101211001711100310110801110411010910011第16页，共40页。7.2线性分组码线性分组码7.2.1 线性分组码的编码线性分组码的编码1.线性分组码概念线性分组码概念 线性分组码（线性分组码（n,k），），n码字长度，码字长度，k信息元数。监督元数为信息元数。监督元数为r=
19、n-k。监督元是由某些。监督元是由某些信息元按照模信息元按照模2相加的运算得到的，即监督元与信息元是线性关系。相加的运算得到的，即监督元与信息元是线性关系。例例（7，3）分组码（）分组码（c6c5c4c3c2c1c0）,信息元（信息元（c6c5c4），监督元（），监督元（c3c2c1c0）,它它们之间关系为们之间关系为 4505614562463ccccccccccccc第17页，共40页。该（该（7，3）线性分组码码字）线性分组码码字 码字的最小距离码字的最小距离dmin=4，故它能检测，故它能检测3个错误并且纠正个错误并且纠正2个错误。个错误。信息元信息元码字码字0000000000001
20、0011101010010011101101110101001001110101101001111011010011111110100第18页，共40页。2.线性分组码的矩阵描述线性分组码的矩阵描述（1）监督矩阵）监督矩阵上述方程也可以表示为上述方程也可以表示为用矩阵表示为用矩阵表示为00000451562456346ccccccccccccc000010001100100011001011100011010123456cccccccTTOHC第19页，共40页。其中其中 监督矩阵监督矩阵H的一般形式见式的一般形式见式（2）生成矩阵）生成矩阵41000110010001100101110001
21、101IPHrIPH4505614562463445566ccccccccccccccccccc4560123456110011111101100010001cccccccccc第20页，共40页。上式可记为上式可记为 或者或者其中其中 生成矩阵生成矩阵456cccGCTTGcccC456TkPIG101110011100100111001第21页，共40页。7.2.2 线性分组码的译码线性分组码的译码送入信道码字送入信道码字译码器接收码字译码器接收码字信道干扰信道干扰所以有所以有译码器作运算译码器作运算 S校正子，校正子，S=0，传输无错误，传输无错误0121ccccCnn0121yyyyY
22、nn0121eeeeEnnECYTYHS TTTTTTTTTEHEHOEHHCEHCHHECYHS)(第22页，共40页。当通信双方确定了信道编码后，监督矩阵当通信双方确定了信道编码后，监督矩阵H和生成矩阵和生成矩阵G随之而定，接收端也随之而定，接收端也知道知道H和和G表达式。表达式。接收端收到接收码字接收端收到接收码字Y后，首先按照式后，首先按照式S=YHT计算伴随式，然后根据式计算伴随式，然后根据式S=EHT得得知错误图样，最后由式知错误图样，最后由式Y=C E将发送码字解出：将发送码字解出：例例7.2.1 已知（已知（7，4）的生成矩阵）的生成矩阵试求：（试求：（1）该码的所有码字；）该
23、码的所有码字；（2）监督矩阵）监督矩阵H；（3）接收码字为）接收码字为1101101时的伴随式，它是有效码字吗？时的伴随式，它是有效码字吗？（4）说明该码的纠错和检测能力。）说明该码的纠错和检测能力。EYCTPIG40111000110010010100101110001第23页，共40页。（1）对于（）对于（7，4）码，信息元个数为）码，信息元个数为4，所以码字可以由式，所以码字可以由式C=c6c5c4c3G求得。将信息元从求得。将信息元从0000到到1111取值代入上式，得到所有（取值代入上式，得到所有（7，4）码）码字：字：（2）由监督矩阵与生成矩阵的表达式，可以写出）由监督矩阵与生成矩
24、阵的表达式，可以写出码字码字码字码字c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0c6 c5 c4 c3 c2 c1 c00 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1 01 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 11 0 1 0 1 0 00 0 1 1 1 0 11 0 1 1 0 1 00 1 0 0 1 0 11 1 0 0 0 1 00 1 0 1 0 1 11 1 0 1 1 0 00 1 1 0 1 1 01 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 0 01 1 1 1 1 1 0100011101011010011011H第24页，共40页。（3
25、）译码器运算）译码器运算由于伴随式不为零，所以传输有错误，该码字不是有效码字。由于伴随式不为零，所以传输有错误，该码字不是有效码字。如按照表如按照表7.3所示（所示（7，4）伴随式与错误图样的对照关系）伴随式与错误图样的对照关系，可知对应的错误图样为，可知对应的错误图样为00000001,所以正确码字为所以正确码字为（4）由码字表可知，最小码距是）由码字表可知，最小码距是dmin=3，它可以检测，它可以检测2位错误，纠正位错误，纠正1位错误。位错误。0011000100010110111011111101101TYHS 110110000000011101101EYC第25页，共40页。7.2
26、.3 汉明码汉明码*最小码距为最小码距为dmin=3的线性分组码的线性分组码(n,k)=(2m-1,2m-1-m)称为汉明码，其中称为汉明码，其中m为任何不为任何不小于小于2的整数。的整数。*对应于对应于m=26的汉明码为（的汉明码为（3，1）、（）、（7，4）、（）、（15，11）、（）、（31，26）、）、（63，57）、（）、（127，120）。）。*汉明码是一类常用的线性分组码，它可以纠正单个错误。由于汉明码的编汉明码是一类常用的线性分组码，它可以纠正单个错误。由于汉明码的编译码简单，容易实现，因此应用广泛。通常用于译码简单，容易实现，因此应用广泛。通常用于FEC系统，而不用于系统，而
27、不用于ARQ和和HEC系统。其编码效率系统。其编码效率 1212mmmnkR第26页，共40页。7.2.4 交织码交织码*将线性分组码（将线性分组码（n,k）的）的m个码字排成一个个码字排成一个mn的码阵，该码阵称为的码阵，该码阵称为m深度为深度为的交错矩阵，也叫做交织码的一个码字，记做的交错矩阵，也叫做交织码的一个码字，记做(mn,nk)*交织码的传输次序是每列自上而下、按列自左向右交织码的传输次序是每列自上而下、按列自左向右。接收端的去交织则执行相接收端的去交织则执行相反的操作。反的操作。*交织码采用的目的在于纠正传输中比较长的突发错误。通过交织技术，将突发交织码采用的目的在于纠正传输中比
28、较长的突发错误。通过交织技术，将突发错误均匀地分散到各个行码中。交织技术是一种时间扩散技术，其作用是减错误均匀地分散到各个行码中。交织技术是一种时间扩散技术，其作用是减小信道错误的相关性，将长突发错误离散成短突发错误小信道错误的相关性，将长突发错误离散成短突发错误*经过交织后，每个（经过交织后，每个（n,k）码字的相邻码元之间相隔）码字的相邻码元之间相隔m-1个码元。如果一个个码元。如果一个（n,k）码可以纠正）码可以纠正t个错误，交织深度为个错误，交织深度为m时形成的时形成的(mn,mk)码就能够纠码就能够纠正所有长度不大于正所有长度不大于mt的单个突发错误，或者纠正的单个突发错误，或者纠正
29、t个长度小于个长度小于m的突发错的突发错误。显然，若要纠正较长的错误，可以通过增加交织深度误。显然，若要纠正较长的错误，可以通过增加交织深度m来实现。来实现。0,1,2,1,0,11,12,11,10,21,22,21,20,11,12,11,1mmnmnmmmnmnmnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa第27页，共40页。7.3循环码循环码7.3.1 循环码的特点和码多项式循环码的特点和码多项式*当许用码字经过循环移动一位（无论向右还是向左）后，得到的码字仍然是许用码字中当许用码字经过循环移动一位（无论向右还是向左）后，得到的码字仍然是许用码字中的一个。的一个。例例（7，3）循环码）循环
30、码 编编 号号码码 字字c6 c5 c4 c3 c2 c1 c010 0 0 0 0 0 020 0 1 1 1 0 130 1 0 0 1 1 140 1 1 1 0 1 051 0 0 1 1 1 061 0 1 0 0 1 171 1 0 1 0 0 181 1 1 0 1 0 0 第28页，共40页。码多项式码多项式 例如表例如表7.4中的码字中的码字1010011，可以表示为，可以表示为7.3.2 生成多项式生成多项式*在循环码在循环码(n,k)中，除了全零码字之外，再也没有连续中，除了全零码字之外，再也没有连续k位均为位均为0的码字，即连的码字，即连0的长度不超过的长度不超过k-1
31、*设前位均为设前位均为0的码字对应的多项式为的码字对应的多项式为g(x)，那么，那么g(x)的次数应该是的次数应该是n-k*g(x)在循环码中的其他所有码多项式中次数是最低的在循环码中的其他所有码多项式中次数是最低的 012211)(cxcxcxcxcnnnn1100101)(234566xxxxxxxc146xxx第29页，共40页。生成多项式生成多项式*g(x)和码长和码长n一旦确定，整个循环码就确定了一旦确定，整个循环码就确定了 循环码的码多项式循环码的码多项式其中信息元多项式其中信息元多项式*说明说明g(x)是是xn+1因子因子 将码字左移一位后仍是码字，它的表达式是将码字左移一位后仍
32、是码字，它的表达式是 xc(x)除以除以(xn+1)即即0111)(gxgxgxgxgknknknkn)()()(xgxmxc012211)(mxmxmxmxmkkkk102312)1()(nnnnncxcxcxcxc)()1()()1(10121xcxcxcxcxcxcxnnnnnn第30页，共40页。上式也可以用竖式表示为上式也可以用竖式表示为 余式余式码多项式，遵循模码多项式，遵循模2运算规则运算规则（如（如xn+xn=0,x3+1=x3-1）码字移位码字移位i位，相应的码多项式位，相应的码多项式c(i)(x)是是xic(x)除以除以(xn+1)后的余式后的余式，即，即 q(x)是是xi
33、c(x)除以除以(xn+1)得到的商式得到的商式g(x)乘以乘以xk，得，得11101211nnnnnnnnnccxcxcxcxcx1012nnncxcxc)()1)()()(xcxxqxcxini)()1)()()(xgxxqxgxknk第31页，共40页。由于由于xkg(x)的次数为的次数为n，故上式中，故上式中q(x)=1。而。而g(k)(x)是是g(x)循环左移循环左移k次所得，所次所得，所以它是以它是g(x)的倍式，设的倍式，设 g(k)(x)=u(x)g(x)，所以，所以 g(x)是是xn+1的一个因子的一个因子如果取如果取g(x)=x+1，构成的最简单循环码，构成的最简单循环码(
34、n,n-1)；如果取如果取g(x)=xn-1+xn-2+x+1，构成的循环码只有两个码字，全，构成的循环码只有两个码字，全0和全和全1 x7+1的因式分解的因式分解 )()()()(1xgxfxgxuxxkn)1)(1)(1(13237xxxxxx第32页，共40页。例题例题7.3.1 当信息元为时，求（当信息元为时，求（7，4）循环码的输出码字。）循环码的输出码字。解：由题知，解：由题知，n=7，k=4，故生成多项式，故生成多项式g(x)次数应该是次数应该是n-k=3。可以查得对应的两个。可以查得对应的两个生成多项式生成多项式信息元多项式信息元多项式两个对应的码多项式两个对应的码多项式 对应
35、的码字分别是对应的码字分别是1)(231xxxg1)(32xxxgxxxm3)(xxxxxxxxxgxmxc2363311)1)()()()(xxxxxxxxxgxmxc45623322)1)()()()(10011101C11100102C第33页，共40页。按照信息元按照信息元m(x)和生成多项式和生成多项式g(x)直接求出的码组不是系统码。在上例中，求得直接求出的码组不是系统码。在上例中，求得的码组前的码组前4位不是位不是1010。系统码要求码字最左边。系统码要求码字最左边k位是信息元，随后的位是信息元，随后的n-k为为监督元，此时码多项式可以用监督元，此时码多项式可以用xn-k乘以乘以
36、m(x)，再加上监督元多项式，再加上监督元多项式r(x)，即，即 由于由于上式除以上式除以g(x)，得，得)()()(xrxmxxckn01110112211rxrxrxmxmxmxmknknknknnknk)()()()()(xgxqxrxmxxckn)()()()()(xqxgxrxgxmxkn)()()()()(xgxrxqxgxmxkn第34页，共40页。例题例题7.3.2 试编（试编（7，3）循环码，设）循环码，设g(x)=(x+1)(x3+x+1)=x4+x3+x2+1，已知信息元，已知信息元为为100 解：解：信息元多项式信息元多项式 m(x)=x2 ，所以余式为，所以余式为码多
37、项式码多项式相应的码字为相应的码字为 6237)(xxxxmxkn1)(1)()(2342322346xxxxxxxxxxxxxgxmxknxxx23xxxxxrxmxxckn236)()()(1001110C第35页，共40页。7.3.3 生成矩阵和监督矩阵生成矩阵和监督矩阵1.生成矩阵生成矩阵即即待编码的信息元用行矩阵表示为待编码的信息元用行矩阵表示为)()()()(21xgxxgxgxxgxGkk100001000010000112121212ggggggggggggGknknknkn0121mmmmMkk第36页，共40页。非系统循环码的编码输出为非系统循环码的编码输出为Xn-k-i(
38、i=0,1,k-1)除以生成多项式除以生成多项式g(x)，得，得 Xn-k+i+bi(x)是是g(x)倍数，即倍数，即Xn-k+i+bi(x)是码多项式，所以系统生成矩阵是码多项式，所以系统生成矩阵MGC)()()(xbxgxaxiiikn0,1,11,)(iiknkniibxbxbxb0,01,01,00,21,21,20,11,11,1100010001bbbbbbbbbGknkkknkkkknk第37页，共40页。2.监督矩阵监督矩阵为了便于对循环码的编译码，通常还定义监督多项式：为了便于对循环码的编译码，通常还定义监督多项式：其逆多项式为其逆多项式为监督矩阵为监督矩阵为 或者或者可以证
39、明可以证明1)(1)(111xhxhxxgxxhkkkn1)(111xhxhxxhkkk)()()()(21xhxxhxhxxhxHknkn100010010,00,20,11,01,21,11,01,21,1bbbbbbbbbHkkkkknknkknkOGHT第38页，共40页。例题例题7.3.3 已知（已知（7，4）循环码的生成多项式为）循环码的生成多项式为g(x)=x3+x+1，求生成矩阵和，求生成矩阵和监督矩阵。监督矩阵。解：解：该题中该题中n=7，k4,xn-k-i(i=0,1,k-1)可表示为可表示为相应地有相应地有)1()()1()1(33xxgxxxxxxxxgxxxxxxx234)()1()1(1)()1(1)1()1(22232325xxxgxxxxxxxxxx1)()1(236xxgxxx1)(0 xxbxxxb21)(1)(22xxxb1)(23 xxb第39页，共40页。由由bi(x)系数得到的生成矩阵和监督矩阵分别为系数得到的生成矩阵和监督矩阵分别为1101000011010011100101010001G100101101011100010111H第40页，共40页。
