1、第五章 计算机控制系统的状态空间设计方法第1页，共32页。5-3 状态观测器的设计)()()()()1(kCxkykBukAxkx程为考虑被控对象的状态方)()()()()1(kxCkykBukxAkx测系统人为构造一个相同的量)()()()()()()()()()()()()()()1(kxCkykKCxkBukxKCAkKykBukxKCAkykyKkBukxAkx环系统误差减小。适当应用误差反馈，闭)()()1()1()1(keKCAkxkxke误差系统为第2页，共32页。注意：观测器为系统提供控制状态，要求观测器的动态过程必须比系统快。能观测件：观测器能任意配置的条),(CAn21，观
2、测器期望极点为)()()(21nzzzzP则其期望特征方程为)()()()(d21nzzzzPKCAzIet满足观测器的特征多项式应)()()1()1()1(keKCAkxkxke误差系统为第3页，共32页。方法1：解联立方程求状态反馈增益向量 适用范围：被控对象阶次较低时采用。nnnnnnnnnPzPzzzzAAPAPIPAPAPBAABBL112111111)()()()(100方法2：通过能控标准型求解的一种常用算法，即Ackerman（阿 克曼）法。)()()det(21nzzzKCAzI要求)()()det(21nzzzBLAzI)(10011TTnTTTTTAPCACACK第4页，
3、共32页。配置到器，并将观测器的极点试设计系统的状态观测】已知三阶系统【例0)()()(120)()(112)()()(011120030)1()1()1(15321321321321kxkxkxkykukxkxkxkxkxkx解：首先验证系统是完全可观的351522511202rankCACACrank第5页，共32页。(1)()()()()03020000()1()1()11010 x kAKC x kBu kKy kx ku ky k 给定被控对象的状态观测器为3)()(TTAAP0100111200305152251120100)()(1003111TTnTTTTTAPCACACK01
4、0KnnnnnnnnnPzPzzzzAAPAPIPAPAPBAABBL112111111)()()()(100第6页，共32页。%MATLAB PROGRAM%A=0,3,0;0,2,1;1,1,0;B=2,1,1;C=0,2,1;N=3;ob=obsv(A,C);roam=rank(ob);if roam=N;disp(system is observable);elsedisp(system is not observable);end(2)设计观测器A1=A;B1=B;C1=C;P1=0,0,0;L=(acker(A1,C1,P1);AL=A-L*C第7页，共32页。5-3 具有状态观测
5、器的极点配置)()()()()1(kCxkykBukAxkx程为考虑被控对象的状态方)()()()()()()()()1(kKykBukxKCAkykyKkBukxAkx程为带状态观测器的状态方)()(kxLku)()(0)()()()1()1(kxkxCkykxkxBLKCAKCBLAkxkx得利用扩充向量的方法，第8页，共32页。2n维的闭环系统极点分成两部分,称为分离特性特征多项式det(zI-A+BL)的n个根1.观测器的特征多项式det(zI-A+KC)的n个根(1)(),()()()(1)0()x kABLBLx ke kx kx ke kAKCe k变换后得系统方程为其中0(1)
6、(1)(1)(1)(1)nnnIx kx kIIx kx kx k引入非奇异线性变换)()(0)()()()1()1(kxkxCkykxkxBLKCAKCBLAkxkx得利用扩充向量的方法，()()0zIABLzIAKC闭环系统极点观测器极点第9页，共32页。带观测器的闭环控制系统的设计分成两步：按闭环系统性能的要求，确定(A-BL)的极点设计状态观测器，使观测器的极点比闭环系 统的极点所对应的响应快一些。第10页，共32页。，观测器的极点为，点为极点控制器，使闭环极有观测器的状态反馈接测量，试设计它的具假定系统的状态不可直程描述为】设被控对象的状态方【例j0.1.900.86.0)(01)(
7、)(1.0005.0)(101.01)1(45kxkykukxkx解：系统完全能控。的。先验证系统是完全能控21.01.0015.0005.0rankrankrankcABBW系统是完全能观测的。阵验证系统的能观测性矩21101rank;rankrankoCACW第11页，共32页。2121llLkkK，设状态反馈阵)11.0005.0()2005.01.0(1.011.0005.01.0005.01det)det(211222121llzllzlzlllzBLAzI对于闭环极点48.04.1)8.0)(6.0(2zzzz相应的闭环特征多项式6.5821ll，解得第12页，共32页。)1.01
8、()2(11.01det)det(211221kkzkzzkkzKCAzI对于状态观测器82.08.1)1.09.0)(1.09.0(2zzjzjz相应的闭环特征多项式2.02.021kk，解得2.02.06.58KL即)(6.58)()(2.02.0)(1.0005.0)(12.01.08.0)()()()()1(kxkukykukxkKykBukxKCAkx控制器为第13页，共32页。5-4 降维状态观测器的设计)()()()()1(kCxkykBukAxkx程为考虑被控对象的状态方)()()()()1(kxCkykBukxAkx测系统人为构造一个相同的量由观测器估计可直接测量)()()(
9、)()(kxkxkxkxkxbaba)()()()1()1(2122211211kuBBkxkxAAAAkxkxbaba)()()()(kxkxkxIokybba第14页，共32页。)()()()1()()()()1(2212212111kuBkxAkxAkxkxAkuBkxAkxabbbaa)()()()(kxkxkxIokybba)()()()1()1(2122211211kuBBkxkxAAAAkxkxbaba)()()1()()()()()1()(1111222122kuBkxAkxkyACkuBkxAkBuAAkxkxaaab)1()()()()()()()1()()()()1(12
10、112112221211122122kKxkuKBBkxKAAkxKAAkxAkuBkxAkxKkuBkxAkxAkxaabbaaabb)()()()()1(kCxkykBukAxkx程为考虑被控对象的状态方第15页，共32页。0)det(1222 KAzI-A降阶观测器的特征方程)()()()1()1()1(12221222keKAAkxkxKAAkxkxkebbbb误差方程为降阶观测器的状态重构)(10022122112221222TTnTTTTTAPAAAAAK利用阿克曼公式)()()()1()()()()()()()()()1(1211122122121222122kxAkuBkxAk
11、xKkuBkxAkxAkxAkxAKkuBkxAkxAkxbaaabbbabb)()()()1()()()()1(2212212111kuBkxAkxAkxkxAkuBkxAkxabbbaa第16页，共32页。yzzyxyxfxyx)(L2CR3i1v2vrNi1C 混沌电路以蔡氏电路电路为例，其发现于1983年，结构简单，具有非常复杂的交叉与混沌特性ExExbabxxf)(21)(状态观测器方法应用第17页，共32页。初值分别为0,0.1,0.01和0,0.1,0.001第18页，共32页。(1)驱动响应同步方法）系统（）（系统32)(RyzzyxyDxfxyx将(1)分成两个子系统式(3)
12、-(4)得(4)yzzyxyzzeyyeeeeee,)5(3223322其中复制R系统，得xx 所以00521eezzyy，即，）可见从式（)(ts)(ts)t(sx xzyx,zy,x 第19页，共32页。（2）耦合方法)1()(yzzyxyxfxyx)2()()()()(zzzyzyyyzyxyxxxxfxyx 将发送端蔡氏电路状态耦合到接收端，得接收端蔡氏电路方程如下zzryyqxxprqrqrqpqpxfxfpqpzyx,)3()()(其中误差状态方程为第20页，共32页。则式（3）变为下列变参数线性系统(4)01110rqpzyxkrqp则得变量x耦合同步系统方程为0zy)5()()
13、(yzzyxyxxxfxyxx若仅取x作为耦合参量，此时误差方程为)6(001110rqpkrqpx第21页，共32页。选取Lyapunov函数,0,(,)0 xakbkV e t由于因此若则.,)1()(zzryyqxxprqrrqpqqpkpzyx其中由于误差系统方程为222),(rqpteV22222)(2)(2242)22()(2)(2)(2222),(qppkqpqppkqrrqpqqpkpr rqqppteVxxx稳定性理论可得证。利用因此由上式可知则如LyapunovVrqpV.0,0,0,0第22页，共32页。(3)状态观测器方法)1(23)25(3212)(121(1xxxx
14、mxxxxxfxxx将式(1)写成下列形式)2()(000001101321321xfxxxxxx根据状态观测器方法设计同步系统)(00)(100321001110321YYxfxxxxxx)(),(11xfxKYxfKxY其中第23页，共32页。32113121132100000110eeekkkeee则误差方程为为误差。为待定系数；其中eeeekkkK32113121168.0,27.1,78.14,00.10ba选择)(ts)(ts)(tsx xzyx,zyx,x 第24页，共32页。第25页，共32页。n5-5 二次型最优设计方法二次型性能指标的概念线性二次型最优调节问题的求解举例说明
15、第26页，共32页。n(1)二次型性能指标的概念)()()()1(kCxykBukAxkxNkTTTkRukukxNxQkxNxNSxNxJ0)()()()()()()()(21设被控系统为二次型性能指标为第二项相当于偏差平方积分指标，定量描述整个控制过程的实际控制效果，其值越小控制性能越好。第三项是整个控制过程控制量的加权平方和，可以定量的描述整个控制过程中消耗的能量，反映控制的代价。其值越小，控制代价越小，便于物理实现。按二次型性能指标设计计算机控制系统，就是设计一个数字控制器，产生控制信号序列，使给定系统从初始状态X(0)转移到最终状态x(N),满足评价函数为最小。NkTTkRukukQ
16、xkxJ0)()()()(常用形式：第27页，共32页。n(2)线性二次型最优调节问题的求解用哈密顿雅可比方法来解。选取哈密顿函数为NkTTTkxkBukAxkkRukukQxkxH0)1()()()1()()(21)()(21求H的偏导数1，2，1，00)1()()()(1，2，1，00)1()()(1，2，1，0,0)()1()()(NkkxkBukAxkHNkkBkRukuHNkkkAkQxkxHTT第28页，共32页。)1()()()()1()1()()1()()(11kBGRkAxkBukAxkxkBRkukAkQxkTTT（黎卡提变换）设RiccatikxkPk)()()()1()
17、1()()1()1()1()()()(1kxkPBGRkAxkxkxkPAkQxkxkPTTAkPBBRkPAQkPTT11)1(1)1()()()()()1()()()()()()()()()1(11111kxQkPABRkBRkukQxkxkPAkQxkAkTTTTT计算控制向量0)(N终值条件第29页，共32页。设计过程小结1.确定控制问题的性能指标和权矩阵)0()()()1(xkBukAxkx初始状态为NkTTkRukukQxkxJ0)()()()(设被控系统为二次型性能指标为00RQRQ，满足和对称的权矩阵。转移到最终状态使系统从初始状态确定多少个采样周期内)(0)Nxx第30页，共
18、32页。2.由递推公式确定控制信号序列满足序列为最小的最佳控制信号使二次型性能指标函数)1()1(0)Nuuu)()()()(11kxQkPABRkuTTAkPBBRkPAQkPTT11)1(1)1()(3.递推计算第31页，共32页。，试计算最优反馈增益函数为，取二次型性能指标方程为【例】设一阶系统状态30223)()()()(2)1(kkukxJkukxkx41112NRQBA，为能指标函数的参数分别解：系统及其二次型性0(4)(PNP黎卡提方程终值为)()()()(11kxQkPABRkuTT根据0)2()()()3(11xQkPABRuTTAkPBBRkPAQkPTT11)1(1)1()(根据1)1(1)1()3(11AkPBBRkPAQPTT)0(6.1)0(2.4)0()1(5.1)1(4)1()2()2(3)2(xuPxuPxuP，)0(2.4)0(56.3)1(25.3)2(2)3()()(2222230223xxxxxkukxJk第32页，共32页。
