1、11.已知函数已知函数 是微分方程是微分方程 的解的解,试求试求 的表达式的表达式()yxyfxy lnxyx2ln1lnxyx()xfy解：解：222222ln1()lnln11ln1 ln1()lnlnlnln()xyxfxxyxxxxfyxxxxxyfyx 1第1页，共65页。12.(1)12.(2)解解:x ydyedx22secsectantanlntanlntanlntantanyxdydxyxyxCyxC 解解:分离变量分离变量:两边积分两边积分yxe dye dxyxe dye dxln()yxxeeCyeC22sectansectan0 xydxyxdy2第2页，共65页。1
2、2.(3)解解:分离变量分离变量:两边积分得两边积分得22221122ydyxdxyxCxyC dyxdxy 3第3页，共65页。12.(4)(1+y2)dx=x(x+1)ydy 解解:221(1)1211()2 11ydydxyx xydydxyxx22221ln(1)lnln(1)ln2ln(1)2ln11()1yxxCCxyxxyCx4第4页，共65页。12.(5)dyyxdxxy2222,11lnln2lnyu yuxuxuxuuuuuxuxCyxCx 令 解：解：5第5页，共65页。12.(6)11lnln23113dxdxxxxxyexedxCyexedxCyx dxCxxyCxd
3、yyxdxx解：解：6第6页，共65页。12.(7)tansin2yyxxtantanlncoslncos sin2 sin2xdxxdxxxyexedxCyexedxC21cos 2sin coscoscos 2cos2coscosyxxxdxCxyxxCyxCx 解：解：7第7页，共65页。12.(8)11()ydydyyyyydxxyedyyxeye edyCxyeC 2yxdyydxy e dy解：解：8第8页，共65页。12.(9)2222(1)122(1)1yyyxyPxPPxx2令=21(1)(1)x yyxy112211222 2(1)(1)(2ln1)(1)(2ln1)dxd
4、xxxPexedxCPxxCyxxC解：解：9第9页，共65页。12.(10)2211012()2uxyuyu+=uududxuxCxyxC 令则11yxy 解：解：10第10页，共65页。12.(11)222 2()yyydydyyydxexeydydxxyedyxeye edyCxeyC(2)0yye dxxey dy解：解：11第11页，共65页。13.求下列一阶微分方程的特解求下列一阶微分方程的特解(1)222222221111ln(1)ln(1)ln221(1)515(1)yxdydxyxyxCyCxCyx220(1)(1)02xxydyxydxy解：解：12第12页，共65页。13
5、.(2)222ln2lnln44dydxyxyxCCyxCyx 220,1xxdyydxy解解:13第13页，共65页。13.(3)12xdyyxydxxy2222422,11lnln2ln(2ln4)yuyuxuxuxuuuuuxuxCyxCxCeyxx令 解：解：14第14页，共65页。13.(4)2 22dxxxxxyexe dxCexeeC020 xdyyxydx2222xCyxe 由初始条件:解：解：15第15页，共65页。13.(5)22222()ln(1)12222222cos11111cos(1)111sin111sin11xdxp x dxxxdyxyxdxxxeeexxyx
6、dxCxxxCCxyxx由初始条件20(1)2cos01xxyxyxy解：解：16第16页，共65页。13.(6)解解:22222232222222 22121xxxdxxxxxy yxyeyuuxueueee dyCyexCCeyx 令 2301xxyxyeyy17第17页，共65页。14.222222222222:2222(2)2:222xdxxdxxxxxxxyxxyyxyxyexedxCyexeCyeeCCexyCye 两边求导初始条件:当=0 时=020()()()xf xxtf t dtf x求解：解：18第18页，共65页。15.(2)解解:112122212arctan:arc
7、tanarctan11arctanln(1)2yxCyxdxC xCxyxxdxC xCxyxxxC xC 两边积分 再积分得211yx 19第19页，共65页。15.(3)y=y+x解解:令令 y=p(x)则则 p-p=x11212()()12xxxxxxxpexe dxCpexeeCypxC exyxC eC 20第20页，共65页。15.(4)x2y=(y)2+2xy 解解:令令 y=p(x),y=p 2211222222ln12112121dxxxpppxxpppupxxuuxxuex edxC 令 21第21页，共65页。22122211212211121()ln2xydxCxCxC
8、CydxCxCxCCxCC 2112212111CuxxCxxxCxppxxC 22第22页，共65页。15.(5)(y )2-y=0解解:令令 y=p(x),则则22112131212()41()41()12ppppdpdxppxCpxCyxCdxyxCC yp23第23页，共65页。15.(6)y =1+(y)2解解:令令 y=p(x),则则22111211arctantan()lncos()ppdpdxppxCpyxCyxCC yp24第24页，共65页。16.(1)y=sin2x y|x=0=0,y|x=0=0112121cos221sin241,2011sin242y=xCyxC x
9、CCCyxx解：解：25第25页，共65页。16.(2)y=e2x y|x=1=y|x=1=021212212222212141,214111424xxxy=eCyeC xCCeCeyee xe 解：解：26第26页，共65页。16.(3)(1+x2)y=2xy y|x=0=1,y|x=0=3解：解：22221213232(),2(1)2,1lnln(1)ln(1),3,3(1)3,1,31y=p xypdpxxpxpdxpxpxCpyCxCyxyxxCCyxx27第27页，共65页。16.(4)y=2yy y|x=0=1,y|x=0=221212222(),201,11arctan,tan(
10、),tan()44dpy=p yypdydppyppdypyyCCyydydxyyxCyxCCyx 解：解：28第28页，共65页。16.(5)y=e2y y|x=0=y|x=0=02221122222(),11221:,21111,ln(1),21yyyyyyyy=p yyppppepeCCpyedydxeueuyuyu 令原方程为 两边积分由初始条件则解：解：29第29页，共65页。2222222222221arctan11tan()0,1tan1tanseclncosyyyyyduxCuexCexCCexexexyx 30第30页，共65页。16.(6)y=1-y 2 y|x=0=y|x
11、=0=02221121222,11111lnln2111:1,110 xxxy=p ypdpppdxpppxCCeppeCpyeyxCCyx 令 原方程为 积分由初始条件解：解：31第31页，共65页。21.(1)y-2y-3y=0解解:特征方程特征方程 r2-2r-3=0 (r-3)(r+1)=0 特征根特征根 r=3,r=-1 方程的通解为方程的通解为:y=C1e3x+C2e-x21.(2)y-6y+9y=0解解:特征方程特征方程 r2-6r+9=0 (r-3)2=0 特征根特征根 r=3,方程的通解为方程的通解为:y=C1e3x+C2xe3x32第32页，共65页。21.(3)y-2y+
12、5y=0解解:特征方程特征方程:r2-2r+5=0 特征根特征根:r=12i 方程的通解为方程的通解为:y=ex(C1cos2x+C2sin2x)33第33页，共65页。21.(4)y+3y+2y=2ex解解:特征方程特征方程 r2+3r+2=(r+2)(r+1)=0,r1=-2,r2=-1 齐次方程通解齐次方程通解:Y=C1e-2x+C2 e-x 设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为:y*=Aex ,y*=Aex ,y*=Aex 代入方程中代入方程中:6Aex=2ex A=1/3,y*=1/3ex 方程通解方程通解:y=C1e-2x+C2e-x+1/3ex34第34页，共65页。21.(
13、5)y-4y+5y=e2xsinx 解解:r2-4r+5=0,r=2i Y=e2x(C1cosx+C2sinx)y*=xe2x(Acosx+Bsinx)y*=e2x(A+2Bx+Ax)cosx+(B-2Ax+Bx)sinx y*=e2x(2A+5Bx+B)cosx+(2B-5Ax-A)sinx 代入方程中代入方程中:e2x(2A+5Bx+B)cosx+(2B-5Ax-A)sinx -4e2x(A+2Bx+Ax)cosx+(B-2Ax+Bx)sinx +5xe2xAcosx+Bsinx=e2xsinx A=0,B=-1 y*=-xexsinx 方程通解方程通解:y=e2x(C1cosx+C2si
14、nx)-xexsinx35第35页，共65页。22.(1)y-3y+2y=0 y|x=0=y|x=0=1解解:特征方程为特征方程为 r2-3r+2r=0 特征根特征根 r=1,r=2 齐次方程通解为齐次方程通解为 y=C1ex+C2e2x y=C1ex+2C2e2x 由初始条件由初始条件:C1+C2=0 C1+2C2=1 解得解得:C1=1,C2=-1 方程通解为方程通解为:y=ex-e2x36第36页，共65页。22.(2)y-2y+y=0 y|x=0=0,y|x=0=1 解解:特征方程为特征方程为:r 2-2r+1=0 r1=r2=1,方程通解为方程通解为:y=ex(C1+C2x)y =e
15、x(C1+C2x+C2)由初始条件由初始条件:C1=0,C1+C2=1 解得解得:C1=0,C2=1 方程特解为方程特解为:y=xex37第37页，共65页。22.(3)y+25y=0 y|x=0=2,y|x=0=5解解:特征方程特征方程:r2+25=0 ,r=5i 方程通解方程通解:y=C1cos5x+C2sin5x y=-C1sin5x+5C2cos5x C1=2,5C2=5 方程通解方程通解:y=2cos5x+5sin5x38第38页，共65页。22.(4)y-3y+2y=5 y|x=0=1,y|x=0=2解解:特征方程特征方程 r2-3r+2=0 解得解得:r=1,r=2 齐次方程通解
16、齐次方程通解 Y=C1ex+C2e2x 设特解设特解 y*=A,代入方程中代入方程中:2A=5 y*=5/2 方程通解为方程通解为:y=C1ex+C2e2x+5/2 y=C1ex+2C2e2x 由初始条件由初始条件:C1+C2=-3/2 C1+2C2=2 解得解得:C1=7/2,C2=5 方程特解为方程特解为:y=7/2ex+5e2x+5/239第39页，共65页。22.(5)y-3y+2y=x2-2x解解:特征方程特征方程:r2-3r+2=0,r1=1,r2=2 齐次方程通解齐次方程通解:Y=C1ex+C2e2x 设非齐次方程一个特解为设非齐次方程一个特解为:y*=Ax2+Bx+C,y*=2
17、Ax+B,y*=2A 代入方程代入方程:2A-6Ax-3B+2Ax2+2Bx+2C=x2-2x 2A=1 A=1/2 -6A+2B=-2 B=1/2 2A-3B+2C=0 C=1/40013,42xxyy2111*224yxx40第40页，共65页。方程的通解为方程的通解为2212212111224122xxxxyC eC exxyC eC ex 22111224xxyeexx 由初始条件由初始条件:解得解得:C1=-1,C2=1 方程特解为方程特解为:1212114431222CCCC41第41页，共65页。23.00()()()()xxxf xetf t dtxf t dtf x求0:()
18、()()():()()xxxf xexf xf t dtxf xfxef x两边求导再求导12:sincos*,*,*1:2,21*2xxxxxxxyyeriY CxCxyAeyAeyAeAeeAye,特征根齐次方程通解为=设 则 代入方程解：解：42第42页，共65页。初始条件初始条件:方程特解为方程特解为12121:sincos21cossin2xxy CxCxey CxCxe方程通解为 =22110,()1,()1111,2211,22xf xfxCCCC时1=111sincos222xyxxe 43第43页，共65页。24.已知颅内压已知颅内压 p 与容积与容积 V 满足微分方程满足微
19、分方程:试求解此微分方程试求解此微分方程解解:()dpap bpdV()1 11()1lnln()ln1abVabVabVabVabVdpadVp bpdpaVCb pbppbpaVCbpCepCbeCpebpCbepCe44第44页，共65页。25.在呼吸过程中在呼吸过程中,CO2从静脉进入肺泡后排出从静脉进入肺泡后排出,肺中肺中 CO2 的压力的压力 p 符合微分方程的初值问题符合微分方程的初值问题,试试求解求解.解解:10(0)dpkpkpdtpp111110110ln()ln()ktktktdpkdtppppktCppCeppCepppppp e由初始条件:C=45第45页，共65页。
20、26.药片的溶解浓度药片的溶解浓度 C(t),微溶药片在时刻微溶药片在时刻 t 的的 溶解速度与药片的表面积溶解速度与药片的表面积 A 及浓度差及浓度差 Cs-C 的乘的乘积成正比积成正比,求溶解浓度求溶解浓度 C(t).解解:据题义据题义11()0,ln()ln,()sssskAtkAtsssdCkA CCtCCdtdCkAdtCCCCkAtCCCC eC tCC e 46第46页，共65页。27.已知细菌的繁殖速率与当时的细菌数成正比已知细菌的繁殖速率与当时的细菌数成正比,若若初始细菌数为初始细菌数为N0,且细菌数为且细菌数为 2N0 的时间为的时间为 2小时小时,试试求细菌数为求细菌数为
21、 3N0 的时间的时间.解解:设设 t 时刻细菌数为时刻细菌数为 N(t)0200ln2200:()ln22,22ln333.17ln2ktktktNkNNCeN tN eNN ekNN et 解得由初始条件47第47页，共65页。28.室温室温 20 时时,一物体在一物体在 20 分钟内由分钟内由 100 冷冷却到却到 60,该物体从该物体从100 冷却到冷却到30,需需要经过要经过多少分钟多少分钟?解解:牛顿冷却定律指出牛顿冷却定律指出,物体的冷却速度与物体同外界物体的冷却速度与物体同外界的温度差成正比的温度差成正比.设设 t 时刻温度为时刻温度为 T(t),t=0,T=100;t=20,
22、T=60ln 220(20),20:2080kttdTk TTCedtTe由初始条件答答:T=30,t=60分分48第48页，共65页。29.已知曲线已知曲线 y=f(x)上任意一点上任意一点P,及过该点的法线与及过该点的法线与 x 轴的交点轴的交点Q,且且 P,Q 两点之间的距离为两点之间的距离为 1,求曲线方程求曲线方程.解解:设设 P 点坐标为点坐标为(x0,y0),切线方程为切线方程为 y-y0=y(x-x0)法线方程为法线方程为 y-y0=-1/y(x-x0)与与 x 轴交点轴交点:y=0,x1=x0+y y0 据题义据题义:222()1PQyyyP(x0,y0)Q(x1,0)222
23、()11yyyyyy 49第49页，共65页。222222,(1)111()()1(1)1.ydydxyyyxCyxCxCyyy 也是方程的解50第50页，共65页。30.一架质量为一架质量为 9000kg 的飞机在首都机场降落的飞机在首都机场降落,着地前已关闭引擎着地前已关闭引擎,着地时的水平速度为着地时的水平速度为700 km/h,所受到的总阻力与飞机的速度成正比所受到的总阻力与飞机的速度成正比 (k=6.0106)求飞机在地上滑行的最长距离求飞机在地上滑行的最长距离.解解:由牛顿第二定律由牛顿第二定律 F=ma63226 102 10900031110,0,700700ttd sdsmk
24、mVkVdtdtdsdsVC eC edtdttsvC 由初始条件51第51页，共65页。答答:飞机在地上滑行的最长距离为飞机在地上滑行的最长距离为1.05公理公理332 1032322 10337002 1021202121202021lim1.0520tttseCCses 52第52页，共65页。31.有一个有一个 30m30m12m 的车间的车间,其空气中含有其空气中含有1.12%的的 CO2.现用一台通风能力为第分钟现用一台通风能力为第分钟 1500m3 的鼓的鼓风机吹入只含有风机吹入只含有 0.04%的的 CO2 的新鲜空气的新鲜空气,同时以相同同时以相同的速度将混合均匀的空气排出的
25、速度将混合均匀的空气排出.求鼓风机开动求鼓风机开动 10 分钟后分钟后,车间中车间中 CO2 的比例下降到多少的比例下降到多少?解解:设设 t 分钟后分钟后车间中车间中 CO2 为为 x=x(t),t=0,x=10800 1.12%=120.961500 0.000415001080050.6,5360.636365ln(0.6)ln536dxxdtdxxxdtxxtC 53第53页，共65页。5365365103650.6365120.963616.236(0.6 16.2)53610,(0.6 16.2)33.4850.00310.31%ttxCeCCxetxe 由初始条件:0.6-33.
26、48比例为10800答答:10 分钟后分钟后 CO2 的比例为的比例为 0.31%.54第54页，共65页。32.某鱼塘最初放养了十万尾鱼某鱼塘最初放养了十万尾鱼,若每天鱼繁殖增加若每天鱼繁殖增加的数量约为的数量约为10%,而每天约捕捞而每天约捕捞 220 t 尾鱼尾鱼,试建立鱼数量的增长模型试建立鱼数量的增长模型,并求第并求第 30 天鱼的数天鱼的数量和这量和这 30 天鱼场共捕捞了多少鱼天鱼场共捕捞了多少鱼?解解:在第在第 t 天有天有 x(t)尾鱼尾鱼 0.10.10.10.10.10.10.10.10.1220,0.12202201220 2200.10.01(220022000)tt
27、ttttttdxdxxtxtdtdtxetedtCxeteeCxeteeC 55第55页，共65页。0.10.132200220000,10000,780002200220007800030,6600022000780001654671.8ttxtCetxCxtetxe答答:30 天后天后,鱼的数量为鱼的数量为 1654672 尾尾.共捕共捕 99000尾尾.3023000220220110 900990002ttdt 56第56页，共65页。33.昆虫培养室处处有充足的食物昆虫培养室处处有充足的食物,昆虫的增长率昆虫的增长率 与昆虫数成正比与昆虫数成正比,比例系数为比例系数为 r1.培养室边
28、缘培养室边缘 部分温度很低部分温度很低,最外层的昆虫将冻死最外层的昆虫将冻死,死亡率与昆死亡率与昆虫数的平方根成正比虫数的平方根成正比,比例系数为比例系数为 r2.假设开始时假设开始时的昆虫数为的昆虫数为 N0,求在时刻求在时刻 t 的昆虫数的昆虫数 N.解解:11121212222,2,2rrttdNrNrNdtdNrNrNuNururrueedtC 令 57第57页，共65页。11112221221201222011()rrttrtrtrNeeCrrNCerrCNrrrNNerr答答:时刻时刻 t 的昆虫数的昆虫数 1222011()rtrrNNerr58第58页，共65页。34.在化学反
29、应在化学反应 2NO2N2O4的过程中的过程中,反应速度反应速度 与与 NO2 浓度的平方成正比浓度的平方成正比,比例系数为比例系数为 k.若若 NO2 的初始浓度为的初始浓度为 C0,求求:NO2 的浓度随时间而变的规律的浓度随时间而变的规律;NO2 的半衰期的半衰期.解解:(1)设设 t 时刻时刻 NO2 的浓度为的浓度为 C(t)20210,1dCkCtCCdtdCkdtCktCC 59第59页，共65页。半衰期半衰期1001,11CCktCC00021(2)1ktCCtkC60第60页，共65页。35.已知已知CH3CHO的分解反应的分解反应CH3CHOCH4+CO 满足微分方程满足微
30、分方程 若若 t=0 时时 CH3CHO=0.01,求求 CH3CHO 的浓度的浓度 y(t)随时间随时间 t 变化规律变化规律.解解:CH4 的浓度变化的浓度变化3322122212()21:10(10)2dykyydykdtdtyktCyktCCykt 由初始条件3243CH CH CHOdkdt43CH CH CHOdddtdt61第61页，共65页。36.已知一氧化氮的反应已知一氧化氮的反应 2NO+O2NO2 满足微分方程满足微分方程 若若 t=0 时时 NO2=0,NO=2a,O2=a,求求 NO2 的浓的浓度度 y(t)随时间随时间 t 变化规律变化规律.解解:102310121
31、010211022210()()()101()10(2 10)211:(2 10)22dyayayaydydtdtayt Cayt CCyataa 由初始条件10222NO 10 NO O ddt62第62页，共65页。37.某药片刚制成时某药片刚制成时,每片含有效成分每片含有效成分 400 单位单位,存放存放两个月后测得有效成分的含量为两个月后测得有效成分的含量为 380 单位单位.已知药片已知药片的分解是一级过程的分解是一级过程,求求:存放三个月后有效成分的含量为多少存放三个月后有效成分的含量为多少?如果药片中有效成分的含量低于如果药片中有效成分的含量低于 300 单位时单位时,药药片无效
32、片无效,此药片的有效期是几个月此药片的有效期是几个月?解解:02,4001192,380,380400,ln2203,370.38300,11.22ktktkdxkxxx eedttxektxxt63第63页，共65页。38.某药的体内过程可以用一室模型描述某药的体内过程可以用一室模型描述,其消除速率常其消除速率常 数为数为 k.以静脉注射的方式给予剂量为以静脉注射的方式给予剂量为 x0 的药后的药后,经过经过时间时间 T0,再次以静脉注射的方式给予同剂量的药再次以静脉注射的方式给予同剂量的药.求第求第二次注射后二次注射后,体内药量的变规律体内药量的变规律.如果每间隔时间如果每间隔时间 T0
33、后后,就用静脉注射的方式给予同剂量的药就用静脉注射的方式给予同剂量的药,求第求第 n 次注次注射后射后,体内药量的变化规律体内药量的变化规律.解解:设第一次给药后的体内药量为设第一次给药后的体内药量为 x100011101002220002200,0,0,0,(1),(1)0ktkTkTkTktktdxkxtxxdtxx etTdxkxtxxx exedtxCexxeetT 64第64页，共65页。第第 3 次给药后的体内药量为次给药后的体内药量为 x3000000233302300(2)(1)00,0,()()0:()0kTkTkTkTktnkTnkTktndxkxtxx eedtxx eeetTnxx eeetT 第 次给药后的药量为000220200022000,(1),(1)2kTkTkTktktdxkxtT xxx exedtxCexxeeTtT 若65第65页，共65页。
