1、教学要求：教学要求：1、能利用空间向量表示空间的点、直线、平面等元、能利用空间向量表示空间的点、直线、平面等元素，建立立体图形与空间向量的联系。素，建立立体图形与空间向量的联系。2、了解直线的方向向量的意义，理解平面法向量的、了解直线的方向向量的意义，理解平面法向量的意义，能利用直线的方向向量与平面的法向量表示两意义，能利用直线的方向向量与平面的法向量表示两直线、两平面的平行、垂直及夹角问题。直线、两平面的平行、垂直及夹角问题。重点难点：重点难点：理解平面法向量的意义，能利用直线的方向向量与平理解平面法向量的意义，能利用直线的方向向量与平面的法向量表示两直线、两平面的平行、垂直及夹角面的法向量
2、表示两直线、两平面的平行、垂直及夹角问题。问题。-直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量3.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(一一)思考如何确定一个点在空间的位置如何确定一个点在空间的位置?在空间中给一个在空间中给一个定点定点A A和一个定方向和一个定方向(向量向量),),能确定一条直线在空能确定一条直线在空间的位置吗间的位置吗?给一个定点和两个定方向给一个定点和两个定方向(向量向量),),能能确定一个平面在空间的位置吗确定一个平面在空间的位置吗?给一个定点和一给一个定点和一个定方向个定方向(向量向量),),能确定一个平面在空间的位置吗能确定一个平面在空间的位置吗?
3、上一节上一节,我们把向量从平面推广到空间我们把向量从平面推广到空间,并并利用空间向量解决了一些立体几何问题利用空间向量解决了一些立体几何问题.本本节我们进一步学习立体几何中的向量方法节我们进一步学习立体几何中的向量方法.立体几何研究的基本对象是点、直线、立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形平面以及由它们组成的空间图形.为了用空为了用空间向量解决立体几何问题间向量解决立体几何问题,首先必须把点、首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来直线、平面的位置用向量表示出来.AP1、点的位置向量、点的位置向量 在空间中，我们取一定点在空间中，我们取一定点O作为作为基点，那么空
4、间中任意一点基点，那么空间中任意一点P的位置的位置就可以用向量就可以用向量OP来表示。我们把向量来表示。我们把向量OP称为点称为点P的位置向量。的位置向量。aABPABtAP 2、直线的方向向量、直线的方向向量这样这样,点点A和向量和向量 不仅可以不仅可以确定直线确定直线l的位置的位置,还可以具体还可以具体表示出表示出l上的任意一点上的任意一点.a 空间中任意一条直线空间中任意一条直线l的位置可以的位置可以由由l上一个定点上一个定点A以及一个定方向确定。以及一个定方向确定。obaPbyaxOP3、平面的法向量、平面的法向量这样这样,点点O与向量与向量不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位置的位
5、置,还可以具体表还可以具体表示出示出 内的任意一点内的任意一点,a b 空间中平面空间中平面的位置可以由的位置可以由内两内两条相交直线来确定。条相交直线来确定。法向量：法向量：如果表示向如果表示向量量a的有向线段所在直线垂的有向线段所在直线垂直于平面直于平面，则称这个向，则称这个向量垂直于平面量垂直于平面，记作，记作a，如果，如果a，那么向，那么向量量a叫做平面叫做平面的的法向量法向量la类似于直线的方向向量，还可以用平面的类似于直线的方向向量，还可以用平面的法向量表示空间中平面的位置法向量表示空间中平面的位置问题：法向量如何确定平面的位置？问题：法向量如何确定平面的位置？A给定一点给定一点A
6、和一个向量和一个向量a,那么，过点那么，过点A,以向以向量量a为法向量的平面是完全确定的。为法向量的平面是完全确定的。问题：如何求平面的法向量？问题：如何求平面的法向量？（1）设平面）设平面的法向量为的法向量为n=(x,y,z)（2）找（求）出平面）找（求）出平面内两个不共线向量内两个不共线向量的坐标的坐标a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)（3）解方程组）解方程组,并根据要求取并根据要求取x,y,z的值。的值。na=0 nb=0(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例：已知求平面的单位法向量。(2,2,1)0(4,5,3)0,1220,124530113(,1,1),
7、|2212 2(-33 3nxyznABnACxyzxyzxyzxzxyzynnABC 设平面的法向量为（，），则，（，），（，）即取，得求平面的单位法向量为，）因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂平行、垂直、夹角直、夹角等位置关系。等位置关系。4、法向量的运用、法向量的运用注意：注意：1、这里的线线平行包括线线重合，、这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面线面平行包括线在面
8、内，面面平行包括面面重合。面重合。线线平行 l/ma/b a=kb线面平行 l/au au=0面面平行 /u/v u=kv设直线设直线l,m的方向向量分别是的方向向量分别是a,b，平面平面,的法向量分别是的法向量分别是u,v，则，则用向量运算处理平行关系用向量运算处理平行关系线面垂直 la/u a=ku线线垂直 lmab ab=0面面垂直 uv uv=0用向量运算处理垂直问题用向量运算处理垂直问题设直线设直线l,m的方向向量分别是的方向向量分别是a,b，平面平面,的法向量分别是的法向量分别是u,v，则，则例例1(1)设设 分别是直线分别是直线l1/l2的方向向量的方向向量,根据下列根据下列条件
9、判断条件判断 与与 的位置关系的位置关系:a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3)a=(5,0,2),b=(0,4,0)a=(-2,1,4),b=(6,3,3)a b 1l2l平行平行垂直垂直相交或异面相交或异面分析分析:直线方向向量与直线位置关系直线方向向量与直线位置关系,l1/l2a/b;l1 l2 a b据此可判断两直线的位置关系据此可判断两直线的位置关系例例1(2)设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据下列条件根据下列条件判断判断 与与 的位置关系的位置关系:u=(1,-1,2),v=(3,2,-1/2)u=(0,3,0),v=(0,-5,0)u=(2,-3,4),v=
10、(4,-2,1)u v 垂直垂直平行平行相交相交(不垂直不垂直)分析分析:平面法向量与两平面位置关系平面法向量与两平面位置关系,/u/v;u v据此可判断两平面的位置关系据此可判断两平面的位置关系例例1(3)设设 是平面是平面 的法向量的法向量,是直线是直线 的方向向的方向向量量,根据下列条件判断根据下列条件判断 与与 的位置关系的位置关系:u (2,2,1),(3,4,2)ua (0,2,3),(0,8,12)ua (4,1,5),(2,1,0)ua a ll 垂直垂直相交相交(斜交斜交)ll 或或 分析分析:直线方向向量与平面法向量关系和直直线方向向量与平面法向量关系和直线与平面位置关系线
11、与平面位置关系,据此可判断直线和平面的位置关系据此可判断直线和平面的位置关系la/u ;l/au au=0例例2 已知平面已知平面经过三点经过三点A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0),试求平面试求平面的一的一个法向量个法向量.解解:A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0)设平面设平面 的法向量是的法向量是依题意依题意,有有 ,即即 解得解得z=0且且x=2y,令令y=1,则则x=2平面平面 的一个法向量是的一个法向量是(1,2,4),(2,4,3)ABAC (,)nx y z 00n ABn AC 且且2402430 xyzxyz (2,1,0)n 例例3
12、一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直则该直线与此平面垂直.已知已知:直线直线m,n是平面是平面内的任意两条相交直线内的任意两条相交直线,且且lm,l n.求证求证:l 证明证明:设直线设直线l,m,n的方向向量分别为的方向向量分别为因为因为lm,l n,所以所以 同理同理因为因为m,n ,且且m,n相交相交,所以所以 内任一直线的方向向量内任一直线的方向向量 可以表示为可以表示为 因为因为所以所以 与与 内任一直线垂直内任一直线垂直.因此因此 ,a b c ,0aba b 0a c p ,pxbyc x yR ()()()0a pa
13、xbycx a by a c ll 小结小结1.直线的方向向量和平面的法向量是用空直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工间向量解决立体几何问题的两个重要工具具,是实现空间问题的向量方法的媒介是实现空间问题的向量方法的媒介.2.要熟练掌握用直线的方向向量和平面的要熟练掌握用直线的方向向量和平面的法向量来研究直线、平面之间关系的原法向量来研究直线、平面之间关系的原理与方法理与方法,特别是直线、平面的位置关系特别是直线、平面的位置关系与方向向量、法向量之间的联系与方向向量、法向量之间的联系.vP104 练习 1 2vP111 习题3.2 2 作业作业19、一个人的理想越
14、崇高，生活越纯洁。20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。21、理想是反映美的心灵的眼睛。22、人生最高之理想，在求达于真理。便有了文明。24、生当做人杰，死亦为鬼雄。25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。27、生活中没有理想的人，是可怜的。28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。31、理想是美好的，但没有意志，理想不过
15、是瞬间即逝的彩虹。32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。37、理想的书籍是智慧的钥匙。人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。鲁 迅2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。席慕蓉3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。萧楚女4
16、 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。鲁 迅5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。巴 金6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。雷 锋7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。周恩来8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。吴玉章9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。毛泽东10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯
17、得少一点。犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。毛泽东38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。9君子欲讷于言而敏于行。君子欲讷于言而敏于行。论语 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。10二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。周易 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。11君子藏器于身，待时而动。君子藏器于身，待时而动。周易 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。12满招损，谦受益。满招损，谦受
18、益。尚书 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。13人不知而不愠，不亦君子乎？人不知而不愠，不亦君子乎？论语 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14言必信言必信，行必果。，行必果。论语 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。15毋意，毋必，毋固，毋我。毋意，毋必，毋固，毋我。论语 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。16三人行，必有我师焉
19、，择其善者而从之，其不善者而改之。三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。论语 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。17君子求诸己，小人求诸人。君子求诸己，小人求诸人。论语 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1天行健，君子以自强不息。天行健，君子以自强不息。周易 译：作为君子，应该有坚
20、强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。2勿以恶小而为之，勿以善小而不为。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。三国志刘备语 译：对任何一件事，不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。3见善如不及，见不善如探汤。见善如不及，见不善如探汤。论语 译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。4躬自厚而薄责于人，则远怨矣。躬自厚而薄责于人，则远怨矣。
21、论语 译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。5君子成人之美，不成人之恶。小人反是。君子成人之美，不成人之恶。小人反是。论语 译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。6见贤思齐焉，见不贤而内自省也。见贤思齐焉，见不贤而内自省也。论语 译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或
22、不足，就要冷静反省，看自己是不是也有他那样的缺点或不足。7己所不欲，勿施于人。己所不欲，勿施于人。论语 译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事），就不要把它强加到别人身上去。8当仁，不让于师。当仁，不让于师。论语 译：遇到应该做的好事，不能犹豫不决，即使老师在一旁，也应该抢着去做。后发展为成语“当仁不让”。18君子坦荡荡，小人长戚戚。君子坦荡荡，小人长戚戚。论语 译：君子心胸开朗，思想上坦率洁净，外貌动作也显得十分舒畅安定。小人心里欲念太多，心理负担很重，就常忧虑、担心，外貌、动作也显得忐忑不安，常是坐不定，1.书到用时方恨少，事非经过不知难。陈廷焯 译：知识总是在运用时才让人感到太不够了，许多事
23、情如果不亲身经历过就不知道它有多难。72、笨鸟先飞早入林，笨人勤学早成材。省世格言 译：飞得慢的鸟儿提早起飞就会比别的鸟儿早飞入树林，不够聪明的人只要勤奋努力，就可以比别人早成材。73.书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。增广贤文 译：勤奋是登上知识高峰的一条捷径，不怕吃苦才能在知识的海洋里自由遨游。74.学如逆水行舟，不进则退。增广贤文 译：学习要不断进取，不断努力，就像逆水行驶的小船，不努力向前，就只能向后退。75.吾生也有涯，而知也无涯。庄子 译：我的生命是有限的，而人类的知识是无限的。76.天下兴亡，匹夫有责。明顾炎武 译：国家的兴旺、衰败，每一个人都负有很大的责任。77.生于忧患，死于安
24、乐。孟子 译：逆境能使人的意志得到磨炼，使人更坚强。相反，时常满足于享受，会使人不求上进而逐渐落后。78.位卑未敢忘忧国。陆游病起书怀 译：虽然自己地位低微，但是从没忘掉忧国忧民的责任。79.人生自古谁无死，留取丹心照汉青。宋文天祥过零丁洋 译：自古以来，谁都难免会死的，那就把一片爱国的赤胆忠心留在史册上吧！80.先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。宋范仲淹岳阳楼记 译：为国家分忧时，比别人先，比别人急；享受幸福，快乐时，却让别人先，自己居后。知缘斋主人 81.小来思报国，不是爱封侯。小来思报国，不是爱封侯。唐岑参关人赴安西 译：从小就想着报效祖国，而不是想着要封侯当官。）82.有益国家之事虽死弗
25、避。有益国家之事虽死弗避。明吕坤呻吟语卷上 译：对国家有利的事情要勇敢地去做，就算有死亡的危险也不躲避译：风声、雨声、琅琅读书声，都进入我们的耳朵，所以，作为一个读书人，家事、国事，天下的事情，各种事情都应该关心，不能只是死读书。87.生当作人杰，死亦为鬼雄。生当作人杰，死亦为鬼雄。宋李清照夏日绝句 译：活着的时候要做英雄，死后也要当英雄。88.利于国者爱之，害于国者恶之。利于国者爱之，害于国者恶之。晏子春秋 译：对于国家有利的事就要热心地去做，对国家有害的事就要憎恶它，远离它。89.读书本意在元元。读书本意在元元。宋陆游 译：读书的目的应该是掌握了知识后为社会和大众服务，而不是为了自己的升官
26、发财。90.时穷节乃现，一一垂丹青。时穷节乃现，一一垂丹青。宋文天祥 译：历史上许多忠臣义士，在国家有难时，他们的节操就显现出来，一个个名垂史册。91.哀哀父母，生我劬劳。哀哀父母，生我劬劳。诗经 译：想起父母，做子女的是多么为他们感到心痛啊！他们生我育我，花费了多少辛勤的劳动啊！92.报国之心，死而后已。报国之心，死而后已。宋苏轼 译：报效祖国的志向到死都不会变。93.忧国忘家，捐躯济难，忠臣之志也。忧国忘家，捐躯济难，忠臣之志也。三国曹植求自诚表 译：忧虑国家大事忘记小家庭，为拯救国家危难而捐躯献身，这都是忠臣的志向。94.大丈夫处世，当扫除天下，安事一室乎？大丈夫处世，当扫除天下，安事一
27、室乎？汉陈蕃语 译：有志气的人活在世上，应当敢于跟各种不利于国家的行为作斗争，哪能只满足于处理好自己小家的小事呢？95.君子之交淡如水，小人之交甘若醴。君子之交淡如水，小人之交甘若醴。庄子 译：君子之间的交往，像水一样的平淡、纯净，这样的友谊才会持久；往小人之间的交像甜酒一样的又浓又稠，但不会长久。96.老吾老，以及人之老；幼吾幼，以及人之幼。老吾老，以及人之老；幼吾幼，以及人之幼。孟子 译：尊敬、爱戴别人的长辈，要像尊敬、爱戴自己长辈一样；爱护别人的儿女，也97.见侮而不斗，辱也。见侮而不斗，辱也。公孙龙子 译：当正义遭到侮辱、欺凌却不挺身而出，是一种耻辱的表现。98.天下皆知取之为取，而莫
28、知与之为取。天下皆知取之为取，而莫知与之为取。后汉书 译：人们都认为只有获取别人的东西才是收获，却不知道给予别人也是一种收获。99.人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。汉司马迁史记 译：人终究免不了一死，但死的价值不同，为了人民正义的事业而死就比泰山还重，而那些自私自利，损人利已的人之死就比鸿毛还轻。知缘斋主人 100.羊有跪乳之恩，鸦有反哺之义。羊有跪乳之恩，鸦有反哺之义。增广贤文 译：羊羔有跪下接受母乳的感恩举动，小乌鸦有衔食喂母鸦的情义，做子女的更要懂得孝顺父母 83.一寸山河一寸金。一寸山河一寸金。金左企弓语 译：祖国的每一寸山河比一寸黄金还要宝贵，是绝不能让给外人的。
