1、贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉1二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 第二节第二节微积分的基本公式 第五五章 贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉2一、引例引例(Introduction)在变速直线运动中在变速直线运动中,已知位置函数已知位置函数)(ts与速度函数与速度函数)(tv之间有关系之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔物体在时间间隔,21TT内经过的路程为内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性这种积
2、分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.)()(的原函数是这里tvts贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉3 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续，并并且且设设x为为,ba上上的的一一点点，考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()(xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数)(xfy xbaoy)(xx贵有恒何必
3、三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉4)(xfy xbaoy)(xxhx,)(baCxf则变上限函数则变上限函数xattfxd)()(证证:,bahxx则有则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理定理1.若若.,)(上的一个原函数在是baxf,)(baCxf(微分形式微分形式)贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉5注注:1)定理定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导变限积分求导:bxttfxd)(dd
4、)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同时为同时为通过原函数计算定积分开辟了道路通过原函数计算定积分开辟了道路.)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉6)sin(2cosxex例例1.求求0limxtextd1cos22x解解:原式原式0limx00 x2e21例例2.确定常数确定常数 a,b,c 的值的值,使使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c.0 b00原式原式=)1ln(coslim20 xxaxcx
5、xax20coslim c 0,故故.1a又由221cos1xx,得得.21c贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉7 积分上限的函数是表示函数关系的一种积分上限的函数是表示函数关系的一种新的方法新的方法.用这种方法表示的函数在物理用这种方法表示的函数在物理,化化学学,统计学中有广泛的应用统计学中有广泛的应用.例如例如,以法国著名物理学家弗雷斯纳尔以法国著名物理学家弗雷斯纳尔(Augustin Fresnel,17881827)的名字命名的名字命名的弗雷斯纳尔函数：的弗雷斯纳尔函数：xdttxS022sin)(这个函数最初出现在光波衍射理论中，这个函数最初出现在光波衍射理论中
6、，现在它已经被应用于高速公路的设计现在它已经被应用于高速公路的设计Problem:Problem:研究函数研究函数S(x)S(x)性质：单调性，极性质：单调性，极值点，凹凸性，拐点，渐进线值点，凹凸性，拐点，渐进线贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉8证证 xdtttfdxd0)()(xxf xdttfdxd0)(),(xf 贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉9 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(,0)(xxf,0)(0 xdttf 2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,0)(
7、)(tftx,0)()(0 xdttftx).0(0)(xxF故故)(xF在在),0(内内为为单单调调增增加加函函数数.贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉10证证,1)(2)(0 dttfxxFx,0)(2)(xfxF,1)(xf)(xF在在1,0上上为为单单调调增增加加函函数数.,01)0(F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf,0 所所以以0)(xF即即原原方方程程在在1,0上上只只有有一一个个解解.令令贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉11ExercisesExercises:.114;)3(sin3;3sin2;11.122325
8、23102 xxtxxdttdxddxxdtddtttdxddtttdxd）（）（）（）（求求.1)(arctanlim2;coslim1.2202020 xdttxdttxxxx ）（）（求下列极限：求下列极限：贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉12回顾回顾:在变速直线运动中在变速直线运动中,已知位置函数已知位置函数)(ts与速度函数与速度函数)(tv之间有关系之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔物体在时间间隔,21TT内经过的路程为内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普
9、遍性普遍性.)()(的原函数是这里tvts贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉13三三、牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式(N-L Formula)上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba(积分形式积分形式)证证:根据定理根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故故CxxfxFxad)()(,ax 令,)(aFC 得因此因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得得)()(d)(aFbFxxfba记作)(xFab)(xFab定理定理2.函数函数,则则贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉14)()()
10、(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明微积分基本公式表明：baxF)(注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.N-L Formula贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉15微积分学的创立微积分学的创立：创作起始年代创作起始年代发表年代发表年代牛顿牛顿16651687莱布尼兹莱布尼兹16751684，1686 17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹分别在前世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹分别在前人大量工作的基础上先后发现了微分和积分的人大量工作的基础上先后发现了微分和积分的关系。他们的发
11、现标志着微积分学的最终创立关系。他们的发现标志着微积分学的最终创立。英国派代表人物：泰勒，马克劳林英国派代表人物：泰勒，马克劳林欧洲大陆派代表人物：伯努利兄弟欧洲大陆派代表人物：伯努利兄弟贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉16First published proof by Barrow(1670)First published proof by Barrow(1670)Isaac Barrow贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉17Discovered by Newton(1666,unpublished);Discovered by Newton(
12、1666,unpublished);and by Leibniz(1673)and by Leibniz(1673)Isaac NewtonGottfried Leibniz贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉18例例5.计算计算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213)1arctan(3arctan3127例例6.计算正弦曲线计算正弦曲线轴所围成上与在xxy,0sin的面积的面积.解解:0dsinxxAxcos0112)4(yoxxysin哇哇!:How easy it is!贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉19NOTATIONNO
13、TATION 例例6 6揭示了微积分基本定理的巨大威力当法国揭示了微积分基本定理的巨大威力当法国数学家数学家Gilles de RobervalGilles de Roberval在年首次获在年首次获得正弦和余弦曲线下方的面积，这个问题在当时得正弦和余弦曲线下方的面积，这个问题在当时是富有挑战性的，它需要非凡的智慧，但到是富有挑战性的，它需要非凡的智慧，但到年，当年，当BarrowBarrow发现了微积分基本发现了微积分基本定理并被定理并被NewtonNewton和和 LeibnizLeibniz深入研究后，这类问深入研究后，这类问题题became very easybecame very e
14、asy!(see Example!(see Example)评论评论：数学中每一步真正的进展都与更有力的工：数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法密切联系着，这些工具和方法具和更简单的方法密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的，复杂同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的，复杂的东西抛到一边的东西抛到一边贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉20例例7 7 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例8 8 设设 ,求求 .215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()
15、()(dxxfdxxfdxxf在在2,1上上规规定定当当1 x时时，5)(xf,102152dxxdx原原式式.6 xyo12贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉21例例9 9 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉22例例10下面计算是否有错？下面计算是否有错？.3413113113112xdxx解解：注意到注意到01)(2xxf由定积分性质知由定积分性质知.013
16、12dxxWhy?Why?贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉23例11.汽车以每小时汽车以每小时 36 km 的速度行驶的速度行驶,速停车速停车,2sm5a解解:设开始刹车时刻为设开始刹车时刻为,0t则此时刻汽车速度则此时刻汽车速度0v)(10sm)(sm3600100036刹车后汽车减速行驶刹车后汽车减速行驶,其速度为其速度为tavtv0)(t510当汽车停住时当汽车停住时,0)(tv即即,0510 t得得(s)2t故在这段时间内汽车所走的距离为故在这段时间内汽车所走的距离为20d)(ttvs20d)510(tt22510tt(m)1002)(36hmk刹车刹车,问从开
17、始刹问从开始刹到某处需要减到某处需要减设汽车以等加速度设汽车以等加速度车到停车走了多少距离车到停车走了多少距离?贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉24Conclusions,)()(,)(xfxFbaCxf且设则有则有1.微积分基本公式微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式2.变限积分求导公式变限积分求导公式 3.NL公式是计算定积分的基本公式公式是计算定积分的基本公式 贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒 与君共勉25EXERCISES:.)2(4;cos3;2;1.130211310 dxxxxdxdxxxdx）（）（）（）（求值：求值：)0(,2)(6),0()(.22 xxdtttfaaxfxa使下式成立使下式成立和常数和常数求函数求函数
