1、2.2双曲线问题：我们知道，平面内与两定点的距离之和为常数(大于两个定点间的距离)的点的轨迹是椭圆。那么，平面内与两个定点的距离之差为非零常数(小于两个定点间的距离)的点的轨迹是什么呢?2.2.1双曲线的标准方程如图2-2-1-1，取一条拉链，先拉开一部分，将一支剪短，把长的一支的端点固定在F1处，短的一支的端点固定在F2处，把笔尖放在M处，笔尖随拉链的拉开或合上，就画出一条曲线，再把短的一支的端点固定在 F1处，把长的一支的端点固定在F2处，同样画出另一条曲线，这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支【想一想】类比椭圆方程的推导过程，应当怎样建立坐标系，推导双曲线的方程？ 图2-2
2、-1-1平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。图2-2-1-2如图2-2-1-2，取过焦点F1, F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y轴，建立平面直角坐标系。设M(x, y )是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c (c0)，那么F1,F2的坐标分别是(-c, 0)，(c，0). 又设点M与F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a (ca0)，则点M适合条件又因为 【想一想】类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程，你能说出，焦点在y轴上的双曲线的标准方程吗
3、?于是得方程 化简，得 由双曲线的定义可知2c2a0，即ca，所以0.设（b0），代入上式得 ,两边同时除以，得 (a0,b0) 因此，双曲线上任意一点的坐标都满足方程;反之，我们可以证明，如果点M(x, y) 的坐标满足方程，那么点M一定在双曲线上，因此，方程是双曲线的方程，通常把方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1（-c,0)，F2(c,0)，这里。 如图2-2-1-3，如果双曲线的焦点在y轴上，焦点是F1(0，-c)，F2(O，c)，则只要将方程中的x，y互换，就可以得到它的方程为 (a0,b0) 这个方程也是双曲线的标准方程. 例1.求双曲线 的焦点坐标
4、与焦距。解：由双曲线的标准方程可知，又因为，所以 从方程可以看出，焦点在x轴上，因此焦点是F1 (-5，0)，F2(5,0)，焦距为10。例2 已知两点F1 (-5，0)，F2(5,0)，求与它们的距离之差的绝对值是6的点的轨迹方程. 解：由双曲线定义可以知道，所求点的轨迹是双曲线，且该双曲线的焦点在x轴上，由题意可知 c=5, 2a=6，所以 因此，所求方程是： 即： 例3 已知双曲线的焦点在x轴上，a=2,并且双曲线经过点A()，求双曲线的标准方程.解：因为双曲线的焦点在x轴上，且a=2,因此可设双曲线的标准方程为又因为双曲线经过点A()，所以 解得 所以这个双曲线的标准方程为 练习2.2
5、.1A组1、 口答下列各题：1 双曲线的焦点在 轴上，焦点坐标是 ；2 双曲线的焦点在 轴上，焦点坐标是 。2、 写出适合下列条件的双曲线的标准方程：(1) a=2,焦点为F1 (-3，0)，F2 (3,0) ；(2) a=2,焦点为F1 (0，-3)，F2 (0，3).B组1.求下列双曲线的焦点坐标与焦距: (1) ； (2) ； (3) (4) 2.已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线经过点A(2，一5)，。求双曲线的标准方程.2.2.2双曲线的几何性质【想一想】类比椭圆几何性质的研究，你认为双曲线(a0,b0) 有哪些性质?如何研究这些性质?类比研究椭圆几何性质的方法，我们根据双曲线的标
6、准方程 (a0,b0)来研究它的几何性质.(1) 范围由标准方程可知，双曲线上的点的坐标( x, y )都满足不等式，所以xa或x-a .这说明双曲线在两条直线x=a,x=-a的外侧. (2)对称性 类比研究椭圆对称性的方法，容易得到，双曲线关于坐标轴和坐标原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，坐标原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 (3)顶点 在标准方程中，令y=0，得x=土a，因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0)，A2(a,0).因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点。令x=0，得y2=-b2，这个方程没有实数
7、根，说明双曲线和y轴没有交点，但我们也把B1(0，-b)，B2(0,b)画在y轴上，如图2-2-2-1所示。 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴,B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长图2-2-2-1 图2-2-2-2(4)渐近线【想一想】椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征?如图2-2-2-2，经过点A1,A2分别作y轴的平行线x=a,经过点B1，B2分别作x轴的平行线y=b，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是，从图13-11中可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐
8、接近但不相交。 我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。 (5)离心率 双曲线的焦距与实轴长之比,叫做双曲线的离心率，因为ca0,所以双曲线的离心率e1. 由等式 可得 ，因此e越大，也越大，即渐近线斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔。在方程中，如果,那么双曲线方程为,它的实轴和虚轴长都等于,这时，四条直线围成正方形，渐近线方程为,它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角。像这样实轴和虛轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。它的离心率为。例1. 求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程，并画出它的近似图形.解: 把
9、方程化为标准方程 由此可知，实半轴长，虚半轴长,因此所以两焦点的坐标是F1(-3，0)，F2(3,0)。 离心率。渐近线方程为。双曲线的图形如图2-2-2-3示。 图2-2-2-3例2. 已知双曲线的两个顶点的坐标是（0，-4），（0,4），离心率为，求双曲线的标准方程。解：由已知条件得 ，焦点在y轴上，因此 从而 因此双曲线的标准方程是 .练习2.2.2A组1、 说出下列双曲线的顶点坐标：1 ； ；2 ； 。2、 求下列双曲线的实轴、虚轴的长和离心率:1 ； 3、 求适合下列条件的双曲线的标准方程: 实轴长等于12，离心率，焦点在x轴上; (2)焦距等于10，离心率，焦点在y轴上. B组1、已知双曲线的焦距等于8，渐近线的斜率等于，求”a,b,e的值(其中a为实半轴长，b为虚半轴长，e为离心率). 2、中心在原点的等轴双曲线的一个焦点F1(-6,0)，求它的标准方程和渐近线方程.
