1、2.1 有限元法的解题思想 有限单元法的基本思想是将一个连续的求解域离散化，即将连续体划分为有限个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为结点，再把作用于各单元上的外载荷按照虚功原理进行载荷移置，即转化成单元的等效结点载荷【结构离散】；在单元体内假设近似解的模式，用有限个结点上的未知参数表征单元的特性【单元特性析】；然后用适当的方法，将各个单元的关系式组合成包含这些未知数的方程组【整体分析】，求解这个方程组，得出各结点的未知参数，利用插值函数求出近似解【求解】。构成有限元系统的3个基本要素是节点、单元和自由度。（1）节点（Node）：节
2、点是构成有限元系统的基本对象，也就是这个工程系统中的最基本点，它包含了坐标位置以及具有物理意义的自由度信息。（2）单元（Element）：单元是由节点与节点相连而成，是构成有限元系统的基础。一个有限元系统必须有至少一个以上的单元。单元与单元之间由各节点相互连接，在具有不同特性的材料和不同的具体结构当中，可选用不同种类的单元，单元中包含了物理对象的各种特性。因此单元的选择极为重要，决定求解效率和精度。（3）自由度(DOF,Degree of Freemdom）：包括系统的自由度和节点自由度。在分析中需要对整个系统的自由度进行适当的约束,系统中每个节点都有各自的节点坐标系和对应的节点自由度，不同单
3、元上的节点具有不同的自由度。2.2 有限元法的基本要素 结构离散化是有限单元法分析的基本前提，也是有限单元法解解题的重要步骤。2.3.1 结构离散化的主要任务是：（1）选择合适的单元类型，把结构分割成有限个单元；（2）把结构边界上的约束，用适当的结点约束来代替；（3）把作用在结构上的非结点载荷等效地移置为结点载荷；2.3.2 单元类型 单元是具有单元特性的，如单元结构、单元结点数、结点自由度数、单元刚度矩阵等，不同的单元有不同的单元特性。2.3 结构离散化设置不同单元类型的目的主要是用于求解不同工程问题，同时也兼顾求解精度。到目前为止，共设计开发了百余种单元，机械工程问题中设计的单元大致可以分
4、为：（1）自然离散问题单元；自然离散问题单元有杆单元、梁单元。对于杆系结构的离散化，通常采用自然离散的形式，即把结构的杆作为单元，称为杆单元。有限个杆单元之间，利用有限个结点相互铰接（桁架情况），以传递负荷。ijxyzji(a)杆单元(b)梁单元（2）平面问题单元；在弹性平面问题中，常用的单元有：3结点三角形单元、4结点矩形单元、6结点三角形单元、4结点任意四边形单元、8结点曲边四边形单元，如图所示（3）轴对称问题单元；对于轴对称问题，一般采用环单元。最常用的是3结点三角形环单元和4结点四边形环单元。同样，为模拟曲线边界及提高插值函数精度，还可以采用更多结点的环单元，如8结点四边形环单元。如图
5、23所示（4）空间问题单元 在空间问题中，采用的是空间单元，常用的有四面体单元和六面体单元。如4结点四面体单元、8结点六面体单元、20结点六面体单元，如图所示。2.3.3 用单元划分有限元网格应遵循的原则；。为使整个求解区域计算结果的精度大体一致，当划分单元时其大小尽量不要相差太悬殊；。为此，当划分单元：应充分利用结构的特点，如对称性、循环对称性等，从原结构中取出一部分进行分析；采用密不同的网格剖分，对应力变化急剧的区域可分细一些，应力变化平缓的区域可以分粗一些；对于大型复杂结构，可以采用分步计算的方法，即先用比较均匀的粗网格计算一次，然后根据计算结果，在局部区域再细分单元，进行第二次计算，或
6、者采用子结构法；2.3.4 施加约束 任何结构都有其承载基础，承载基础是一个固定不动的实体，它不仅承受结构传来的载荷，而且约束了结构的方向位移。施加约束就是在将结构物理模型转化为有限元模型时对承载基础的表达，目的是防止结构有限元模型产生刚体位移。有限元中实施约束就是客观地对与承载基础的结点实施方向约束，并将其方向位移置为0或某个值，即所谓的约束边界条件。如下图21所示，对于结点1与2有，u1=v1=u2=v2=0 PP54231图21 施加约束2.3.5 非结点载荷等效移置 在有限元分析中,认为单元与单元之间仅通过结点相互联系。因此，在结构离散化过程中，如果外载荷不是直接作用在结点上，那么就需
7、要将非结点载荷向结点等效移置。也就是把作用在结构上的真实外载荷理想化为作用在结点上的集中载荷。这个过程称为非结点载荷向结点的移置。移置到结点后的载荷称为等效结点载荷。因此这里只需介绍单元载荷移置问题。单元载荷移置后的等效结点载荷的计算，原则上必须根据能量等效原则推导出的载荷移置公式来计算，即所谓载荷移置普遍公式化，这种方法适用于各种类型的单元。由于普遍公式化其表达公式与单元位移函数模式有关（也可说是与单元形函数有关），故在后面单元分析时再予以介绍。但当单元位移函数（或单元形函数）为线性函数时，如平面3结点三角形单元，载荷移置的普遍公式化就简化成一种最简单的移置方法，即所谓的直接法，当然这种方法
8、只适用于具有线性位移函数的单元。为了便于对这两种载荷移置方法进行对比分析，在后面单元分析时一并介绍 2.4 单元特性分析 在位移法有限元中，首先要针对所选定的单元类型选择一简单多项式函数近似表达单元内各位移分量的分布规律，并把单元内任意点的位移分量写成统一形式的结点位移插值函数形式，从而通过单元结点位移，表达出单元内任意点的位移、应变和应力。其次，利用虚功原理或变分原理建立单元结点力与结点位移之间的特性关系，称为单元有限元方程。该方程可用矩阵形式表示为：Fe=Kee 注：角标e表示单元element之意式中：F单元结点载荷列阵；K单元刚度矩阵；单元结点位移列阵单元刚度矩阵K反映了单元结点力与单
9、元结点位移之间的特性关系。不难看出，建立单元刚度矩阵K是单元分析的核心，也是单元分析的主要任务，事实上也是整个有限元分析中的关键性步骤。2.4.1 选择单元位移模式 在用有限元法进行结构分析中，就研究方法而言一般有三种。第一种是选择结点位移作为基本未知量，在选择适当的位移函数的基础上，进行单元的力学特性分析，进而建立单元的刚度矩阵和总体刚度矩阵，然后解方程组求出结点位移，再由结点位移求得应力，这种方法称为位移法；第二种是选择结点力作为基本未知量，解出结点力后，再计算结点位移和应力，这种方法称为力法；第三种是取一部分结点位移和一部分结点力作为基本位置，称为混合法。由于位移法比较简单，易于实现计算
10、自动化，所以大多采用位移法。当采用位移法时，物体和结构离散化之后，就可把单元中的一些物理量如位移、应变和应力等由结点位移来表示。对单元中位移的分布一般采用能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限法中我们将位移表示为坐标变量的简单函数，这种函数称为。它反映了单元的位移形态并决定着单元的力学特性。由于这种函数关系在解题前是未知的，而在单元分析时又必须用到，为此可以事先假定一个函数，人为规定位移分量为坐标的某种函数。所假定的：它在结点上的值应等于结点位移；它所采用的函数必须保证有限元解收敛于真实解。即当结构的单元划分得越来越精细时，近似的数值解将收敛于真实解。为保证选择的位移函数使有限元收敛于真实
11、解，位移函数必须满足以下4个条件(a)位移函数必须包含单元的常量应变：弹性体的应变可以分为与坐标无关的常量应变及随坐标变化的当量应变。当单元尺寸逐渐缩小时，单元的应变将趋于常量，因此在位移函数中必须包含有常量应变。(b)位移函数必须包含单元的刚体位移。所谓刚体位移是指弹性体不发生应变时的位移，这是弹性体可能发生的一种基本的位移。因此，单元的位移函数既要能够描述单元自身的应变，又要能够描述单元的刚体位移。(c)位移函数在单元内部必须是连续函数，即单元内部的连续性。(d)位移函数应使相邻单元间的位移协调，即单元边界的连续性。即在交界面上满足变形协调条件，变形后既不开裂，也不重叠，从而保证了整个结构
12、的位移连续。上述4个条件是有限元解收敛于真实解的充分条件。以这样的位移函数构成的单元称为协调元。在有限元法中，有些单元的位移函数只满足前3项条件，并不满足单元边界连续性要求，实践证明，它们的有限元解也可能收敛于真实解，因此前3项条件是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元中的位移模式一般采用以广义坐标为待定系数的有限项多项式作为近似函数。因为多项式的数学处理比较容易，尤其便于微分与积分运算。另外任意阶次的多项式可以近似地表示真实解。当然，只有无限次的多项式才与真实解相对应，但为了实用，通常只取有限次多项式来近似。如3结点三角形单元位移函数的广义坐标表示为：有限项多项式的选取得原则应考虑以下几点：
13、（1）广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等。如3结点三角形单元有6个自由度（结点位移），因此广义坐标个数应取6个，即两个方向的位移u,v各取三项多项式。yxyxvyxyxu654321),(),(线性函数。一点的位是坐标变量的结点三角形单元内任意很显然，3（2）选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。位移函数中的常数项和一次项分别反映了单元刚体位移和常应变的特性。当划分的单元数趋于无穷时，单元缩小趋于一点，此时单元应变应趋于常应变。（3）多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。一般来说对于单元每边具有两个端结点的应保证一次完全多项式；每边有3个结点的应取二次完全多
14、项式。若由于项数限制不能选取完全多项式时，选择的多项式应具有坐标的对称性，并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。2.4.2 分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、结点数目、位置及其含义，找出单元结点力和结点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要用到弹性力学的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。单元刚度矩阵的推导是单元力学分析的主要工作。单元刚度矩阵的导出方法可以采用：1）对于简单的构件（如质量弹簧系统、杆、梁等，可以利用材料力学或结构力学的已知结果，直接求出刚度矩阵的每一个元素，这种方法称为直接刚度法2）当用位移型有限元法进行结构分
15、析时，一般采用虚功原理法 或最小势能原理注：力型有限元法一般则采用余虚功原理或最小余能原理。对于非结构问题，如流场、温度场、电磁场等，一般均采用变分法来分析单元特性。单元组集的目的是为了实现总体分析。利用结构力的平衡条件把各个单元按原来的结构重新联接起来，形成整体的有限元方程，即整体刚度方程。2.5 单元组集)1.2(KR 结构结点位移列阵结构刚度矩阵；结构结点载荷列阵；式中：KR 根据方程组的具体特点选择合适的计算方法，解有限元方程(2.1)得出结构结点位移。进而通过各单元结点位移可求出单元内任意一点的位移、应变、应力。通过上述分析可以看出，有限元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元
16、分析，合则是为了对整体结构进行综合分析。只有通过整体有限元方程才能求解出全部结点位移。2.6 解结构有限元方程，求解未知结点位移 由于有限元法用于杆系，具有十分清晰的物理意义，所以，为了便于说明有限元解题的基本思路与过程，又能说明刚度矩阵的概念，本例以杆系结构作为分析实例。图31所示的平面桁架结构(1)结构离散作用在结点上的外力及桁架内各杆的位移都在平面内。当用有限元法分析杆系结构时，需要将复杂的结构离散化，通常采用自然离散的形式，也即把结构的杆作为单元，称为杆单元。有限个杆单元之间，利用有限个结点相互铰接（桁架结构的杆件只承受轴向力），以传递负荷。P4xP4yxyo1234图31平面桁架结构
17、2.7 有限元解题过程演示实例(2)单元的特性进行分析 即建立单元有限元方程从图31中，任取一个杆单元表示为图32，令其结点为i、j,所示。图安置了固定铰支座。如处，在结点水平位移的连杆铰支座生处安置了一个只允许产于在结点时，这相当当表达式为：单元结点力列阵的矩阵阵表示单元结点位移列阵用矩330,1FjivuvuFFFFvuvujjiiTjyjxiyixeTjjiieFjx ujVjFjyFix uiViFiyij图22 杆单元ijKjx,ixKjy,ixKix,ixKiy,ixui=1xy图23刚度系数的物理概念其它依次类推。形的力为变方向所产生的抵抗时，各结点沿其它方向的位移为同样方法，当
18、和分向。表明所产生力的结点号个下标方向，第在单位位移的结点号和个下标说明存第式中：刚度元素符号的变形的力（刚度）为抵抗两个方向所产生的二结点的这时在iyjyjyiyjxjxiyiyiyiyixixiiixjyjyixjxjxixiyiyixixixiKFKFKFKFvyxvKFKFKFKFuyxji,0,112,。表示为一个单元的参数标称为单元刚度矩阵，上式中于是有，替换成并把刚度元素的下标将上式写成矩阵形式，性叠加，即产生的结点力分量的线分量为各个位移分量所，则各结点力存在，在线弹性范围内当各结点位移分量同时eKKFvuvuKKKKKKKKKKKKKKKKFFFFjyjxiyixVKuKvK
19、uKFVKuKvKuKFVKuKvKuKFVKuKvKuKFeeeejjiijyjxiyixjjyjyjjxjyiiyjyiixjyjyjjyjxijxjxiiyjxiixjxjxjjyiyjjxiyiiyiyiixiyiyjjyixjjxixiiyixiixixix4321,44434241343332312423222114131211,杆单元的刚度矩阵可简单求出。由于桁架结构的杆件只承受轴向力Fa和轴向位移a，22222222cossincossincoscos()cos()cos sin ajjiijxaajijiiijjuvuvFFKK uuvvuCCSCCSvCSSCSSKuCCS
20、CCSvCSSCSS ixiyjxjy用同样的方法可求得节点力与节点位移的关系。列成矩阵的形式：FFFF 2222222KKEAEALCcos,sinKeSCCSCCSCSSCSSKCCSCCSCSSCSS公式中，为杆件的轴向刚度系数（相当于弹簧系数），由材料力学知：/L其中：为弹性模量，为杆件横截面积，为杆长，代表代表 由上述分析可见，单元刚度矩阵的物理意义就是单元抵抗变形的能力，与单向弹簧拉伸刚度不同的是当存在一个单位位移时，杆单元所产生的结点力不是1个，而是4个结点力分量。任何1个结点力分量都是由4个结点位移分量变化所产生的综合结果。可以看出，单元刚度矩阵是实方阵（实际上刚度矩阵是对称方
21、阵），阶数单元结点数单个结点的自由度数。如杆单元的单元刚度矩阵阶数224，平面三角形单元的单元刚度矩阵阶数236。(3)结构有限元方程的建立 将杆单元组成结构，列出整体刚度方程，即按单元建立平面桁架各结点上内力和外力的平衡方程。把图22所示的桁架结构自然离散成如图34所示各个单元，并将各单元结点力均注在图上。根据变形协调条件，即在相互联接的公共结点处，各单元的结点位移必须相等，如4号公共结点，同时属于、单元，其位移u4=u4=u4=u4，v4=v4=v4=v4F4yF4xF1yF1xF1yF1xF2yF2xF2yF2xF3xF3yF3yF3xF4xF4yF2xF2yF4yF4x图24 桁架结构
22、的离散对于单元的刚度方程，由杆单元通用方程（31），并将i,j替换为1，4，可以直接写出其单元刚度方程4411443424144333231342322212313121114411vuvuKKKKKKKKKKKKKKKKFFFFyxyx类似地可以写出单元、的刚度方程单元2244443424144333231342322212313121112244vuvuKKKKKKKKKKKKKKKKFFFFyxyx单元3344443424144333231342322212313121113344vuvuKKKKKKKKKKKKKKKKFFFFyxyx单元单元、的刚度方程类同，不再列出。按力的平衡条件F
23、x=0,Fy=0,M=0，就是在相互联接的公共结点处，各单元对结点的作用力与作用在该结点的外载荷必须相等，对于结点4有422224442121433243232242231421414444)()(vKKKuKKKvKuKvKuKvKuKFFFPyyyy412123441111333143132142131321314444)()(vKKKuKKKvKuKvKuKvKuKFFFPxxxx13(1)(31331413131111121214111313123212122221344,00000 xyyxyKKKKKKKKQKKKKKKQQPP（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（用同样方法可
24、列出其它结点力处的平衡公式将上面各结点总外载荷与各结点位移的关系写成矩阵形式33232424121211244233113412313213313214333412122112444321442223414224414244434422255531323333340000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（5534313225225544444343414241423434334545331134123132131314145511123434533
25、4543214423234142242452100KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）422522KK（）（）荷。为作用在结构上的外载，是支座反力中结构总体载荷列阵，其结构总体刚度矩阵，式中：或简写成：yxyyxPPQQQFKKF44311,)63(44322000vuuvu 很显然，实例桁架结构总体刚度方程其解有无穷多个，不可能得出唯一解。从物理意义上解释，由于所研究的桁架未给予约束，可以产生刚体位移，致使结点位移分量值得不出唯一的解。在具体结构上，由于支座限制了刚体位移，即1130，将其代入方程就可求出其余5个位移分量和3个支座反力分量。从总体刚度方程可以看出，总体刚度矩阵的物理意义是总体抵抗变形的能力，其阶数总结点数单个结点的自由度数 求出节点位移后，根据单元刚度方程，又可求出各节点的力
