1、山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂一、方向导数二、梯度第七节 方向导数与梯度山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂一、一、方向导数方向导数 讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向的变化率问题 设函数zf(x,y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el(cos cos)取P(x0tcos y0tcos)U(P0)如果极限tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 存在,则称此极限为函数f(x,y)在点P0沿方向l的方向导数,记为),(00yxlf 山东农业大学 高等数学 主讲人
2、：苏本堂),(00yxlftyxftytxft),()cos,cos(lim00000 方向导数 方向导数就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率 思考:函数f(x,y)在点P沿x轴正向和负向,沿y轴正向和负向的方向导数如何?沿x轴正向时,cos1 cos=0 0000000(,)(,)(,)limtxyf xt yf xyflt00(,)xyfx沿x轴正向时,cos1 cos=00000(,)(,)xyxyfflx 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理 如果函数zf(x,y)在点P0(x0 y0)可微分,那么函数在该点沿任一方向l(el(cos cos)的方向导数
3、都存在,且有cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx 证明:由于函数可微，则增量可表示为 2200000000(,)(,)(,)(,)()()xyf xx yyf x yf x yxf x yy oxy 但点00(,)xx yy在以(x0,y0)为始点的射线l上,故有22cos,cos,()()xtytxyt ,所以),(00yxlftyxftytxft),()cos,cos(lim00000 0000(,)cos(,)cos.xyf x yf x y山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1 求函数zxe2y在点P(1,0)处沿从点P到点Q(2,1)的方向的方向导
4、数.解 所以所求方向导数为 函数f(x,y)在点P0沿方向l(el(cos cos)的方向导数 cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx 解)1 ,1(PQ 与 l 同向的单位向量为因为函数可微分 且 1)0,1(2)0,1(yexz22)21(2211)0,1(lz)1 ,1(PQ 与 l 同向的单位向量为)21,21(le 1)0,1(2)0,1(yexz1)0,1(2)0,1(yexz 1)0,1(2)0,1(yexz 22)0,1(2)0,1(yxeyz22)0,1(2)0,1(yxeyz22)0,1(2)0,1(yxeyz 22)21(2211)0,1(lz
5、22)21(2211)0,1(lz 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例2.求函数 在点P(2,3)沿曲线223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为2)2,1(xxPlz它在点 P 的切向量为,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4,1(174cos1山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂l),(zyxP定义定义:若函数),(zyxff0lim则称lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.),(),(lim0zyxfzzyy
6、xxf在点 ),(zyxP处沿方向 l(方向角为,)存在下列极限:P记作记作 对于三元函数f(x,y,z),类似的有山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,coscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l且有山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例3.设是曲面n在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得)1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467
7、111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数nn山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂二、二、梯度梯度 设函数zf(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P0(x0 y0)D,都可确定一个向量fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 这向量称为函数f(x,y)在点P0(x0 y0)的梯度,记作gradf(x0 y0),即gradf(x0 y0)fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量,则),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyx
8、fyx),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx gradf(x0 y0)el|gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0)el)山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂|gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0),el)可以看出方向导数就是梯度在射线l上的投影,当方向l与梯度的方向一致时,方向导数取得最大值.所以沿梯度方向是函数f(x,y)在这点增长最快的方向.如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量,则),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx 函数在一点的
9、梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),面上的投在曲线xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影称为函数 f 的等值线等值线.,不同时为零设yxff则L*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf)(321ccc设P同样,对应函数,),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf当各偏导数不同时为零时,其上 点P处的法向量为.gradPf,),(yxfz 对函数指向函数增大的方向.梯度的几何意义梯度的几何意义山东农业大学
10、 高等数学 主讲人：苏本堂因为 222)(2yxxxf 解 这里于是 grad f(1,1,2)例5 设f(x,y,z)x2y2z2,求grad f(1,1,2)解 grad f(fx,fy,fz)(2x,2y,2z),(2,2,4)解 这里221),(yxyxf 222)(2yxxxf 222)(2yxyyf 所以 221 yx gradji222222)(2)(2yxyyxx221 yx gradji222222)(2)(2yxyyxx 例 4 求221 yx grad 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂三 数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的数量f(M),则
11、称在这空间区域G内确定了一个数量场.如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的向量F(M),则称在这空间区域G内确定了一个向量场.一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定.一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定,而F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k,其中P(M),Q(M),R(M)是点M的数量函数.山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂势与势场 向量函数gradf(M)确定了一个向量场(梯度场),它是由数量场f(M)产生的.通常称函数f(M)为这个向量场的势,而这个向量场又称为势场.必须注意,任意一个向量场不一定是势场,因为它不一定是某个数量函数的梯度场.三 数量场与向量场 如果对于
12、空间区域G内的任一点M,都有一个确定的数量f(M),则称在这空间区域G内确定了一个数量场.如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的向量F(M),则称在这空间区域G内确定了一个向量场.山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂222zyxr为原点 O 与点 M(x y z)间的距离 解 32)(rmxxrrmrmx同理 3)(rmyrmy 3)(rmzrmz 从而 )(2kjirzryrxrmrmgrad 记kjierzryrxr 它是与rrmrme2grad 32)(rmxxrrmrmx)(2kjirzryrxrmrmgrad 它是与OM同方向的单位向量 则 例 6 试求数量场rm所产生的梯
13、度场 其中常数 m0 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂作业：作业：p-51 习题习题8-72，3，6，7，8，10山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂备用题备用题 1.函数)ln(222zyxu在点)2,2,1(M处的梯度Mugrad)2,2,1(,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x,y,z 具有轮换对称性)2,2,1(2222,2,2rzryrx)2,2,1(92)2,2,1(92(92考研考研)山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点Axd d2.函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32则cos,cos,cosAxu)1ln(x1x,21yd dAyu)11ln(2y0y,0(96考研考研),)1,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21
