1、结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学 结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学 结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移计算结构位移的目的：计算结构位移的目的：（1）验算结构的刚度）验算结构的刚度（2）为超静定结构内力分析打基础）为超静定结构内力分析打基础产生位移的原因产生位移的原因:（3）制作沉降和制造误差）制作沉降和制造误差C1ABCab（2）温度变化和材料收缩）温度变化和材料收缩dsAB1t C 2t C（1）荷载作用）荷载作用ABqCCB结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求
2、刚体体系的位移C1ABCab结构内产生位移的同时是否会产生应变呢？结构内产生位移的同时是否会产生应变呢？（1）静定结构由于支座位移或者温度改变在结构内部）静定结构由于支座位移或者温度改变在结构内部不产生内力，所以不会产生应变。不产生内力，所以不会产生应变。dsAB1t C 2t C 刚体体系位移刚体体系位移-有位移，无应有位移，无应变变结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移（2）结构在荷载作用下各点产生线位移，同时，梁内由）结构在荷载作用下各点产生线位移，同时，梁内由于承受弯矩而产生曲率和应变。于承受弯矩而产生曲率和应变。ABqCCB
3、变形体体系位移变形体体系位移-有位移，有应变有位移，有应变结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移位移计算问题：几何问题位移计算问题：几何问题-几何方法几何方法ABqCCBC1ABCabCab221dxwdRk结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学结构的位移结构的位移ABqCCBCCxCCyCxC结构的位移结构的位移 PC-C点的竖向位移 CC-截面B的转角BCx-C的水平位移 Cy-C点的竖向位移C-截面C的转角 vertical translationrotationCy结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学应用虚力原理求刚
4、体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移计算结构位移的思路：计算结构位移的思路：（1）讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。）讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。-刚体体系的位移计算刚体体系的位移计算（2）讨论静定结构由于局部变形（局部拉伸、剪切、弯曲）讨论静定结构由于局部变形（局部拉伸、剪切、弯曲变形，结构其他部分没有变形仍为刚体）引起的位移。变形，结构其他部分没有变形仍为刚体）引起的位移。-变形体体系位移计算变形体体系位移计算（3）讨论静定结构由于整体变形（结构中各个杆件的各个）讨论静定结构由于整体变形（结构中各个杆件的各个微段都产生变形）而引起的位移。微段都产生变形）而
5、引起的位移。-叠加原理：由局部变形位移计算公式推导整体变形位叠加原理：由局部变形位移计算公式推导整体变形位移计算公式移计算公式结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移计算结构位移的思路：计算结构位移的思路：（1）化整为零：局部变形引起的位移。）化整为零：局部变形引起的位移。（2）积零为整：叠加原理）积零为整：叠加原理局部变形位移计算公式局部变形位移计算公式 整体变形位移计算公式整体变形位移计算公式结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移位移计算的基本假定和理论基础位移计算的基本假
6、定和理论基础线弹性变形体系基本假定:位移与荷载成正比条 件:线弹性材料小变形叠加原理适用理论基础:虚功原理 计算方法:单位荷载法 Unit load method 结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理处于受力平衡状态受力平衡状态的刚体，当发生符合约束条件的无限小刚体无限小刚体体系虚位移体系虚位移时，则外力在位移上所作的虚功总和恒等于零虚功总和恒等于零。0eiiWF 虚功虚功 力的状态力的状态位移状态位移状态一个平衡力系虚设一个位移状态虚设一个位移状态确定真实的未知力确定真实的未知力虚设一个平衡力系虚设一个平衡力系确定真实的位移确定真实的位移虚位移原理V
7、irtual displacement method虚力原理Virtual force method结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学刚体体系的虚功原理刚体体系的虚功原理虚力原理虚平衡力系真实位移10APR c确定 C点的竖向位移1ARcP ARbPa1bca C1ABCabABCPAbRPaABC1ab假设的力方向和位移 相反结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学支座移动时位移的计算支座移动时位移的计算ABCDBC4l34lABDC1Pl?54014B点发生支座移动（），求由此引起的 C点竖向位移 由支座移动引起的真实位移虚设力系 在待求位移点沿位移方向施加单位力单位力1求出单位
8、力作用下发生支座移动处的支座反力23由虚功原理列虚功方程 10KKR c KKR c 55()()44BBcc 支座移动时的位移计算公式结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学支座移动时位移的计算支座移动时位移的计算支座移动时，静定结构的位移计算步骤支座移动时，静定结构的位移计算步骤 在待求位移点沿位移方向施加单位力在待求位移点沿位移方向施加单位力1求出单位力作用下发生支座移动处的支座反力求出单位力作用下发生支座移动处的支座反力23令虚设力系在实际位移上做功，由虚功原理列虚功方程令虚设力系在实际位移上做功，由虚功原理列虚功方程 10KKR c KKR c 支座移动时的位移计算公式计算出的位移
9、为正值，表明与假设方向一致。计算出的位移为正值，表明与假设方向一致。结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算确定B支座的水平位移和B截面的转角例例ABlB()结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算ABlBhlhl1P1AB1l1l01MAB确定B截面的转角确定B支座的水平位移()()KKhhaR call )1()KKR cal （）结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式n结构位移计算一般属于结构位移计算一般属于变形体变形体体系的位移计算。体系的位移计算。n变形
10、体体系的位移计算变形体体系的位移计算步骤步骤：先计算：先计算局部变形局部变形时的位移计时的位移计算公式，再导出算公式，再导出整体变形整体变形时的位移计算公式。时的位移计算公式。1、局部变形局部变形时静定结构的位移计算举例时静定结构的位移计算举例 当某个微段有当某个微段有局部变形局部变形时静定结构的位移计算问题可时静定结构的位移计算问题可归结为当该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算归结为当该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算问题。对于微段可用虚力原理计算。问题。对于微段可用虚力原理计算。由于制造误差或者其他原因引起局部由于制造误差或者其他原因引起局部拉伸、剪切、弯曲变形，结构其他部拉
11、伸、剪切、弯曲变形，结构其他部分没有变形仍为刚体。分没有变形仍为刚体。结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式局部弯曲变形，结构其他部局部弯曲变形，结构其他部分没有变形仍为刚体。分没有变形仍为刚体。例例1、图示悬臂梁在、图示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角处两个相邻截面有相对转角，求，求A点竖点竖向位移。向位移。BCaaAaM101MM BCA位移状态位移状态BACM1虚设力系虚设力系结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式局部剪切变形，结构其他部局部剪切变形，结构其他部分没有变形仍为刚体。分没有变形
12、仍为刚体。例例2、图示悬臂梁在、图示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对剪切位移处两个相邻截面有相对剪切位移，求，求A点竖向位移。点竖向位移。BCABCA位移状态位移状态BAC1虚设力系虚设力系QF1QF01QFQF 结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式2、局部变形时位移计算公式、局部变形时位移计算公式 位移状态位移状态BCAdCdddBAC1虚设力系虚设力系QFMNF悬臂梁除微段悬臂梁除微段ds有局部变形外，结构其他部分没有变形。有局部变形外，结构其他部分没有变形。微段微段ds局部变形包括：局部变形包括：局部伸长应变局部伸长应变平均切应变平均切应变
13、0轴线曲率轴线曲率0,k结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 位移状态位移状态BCAdCddd（1）根据微段）根据微段ds的三类变形，求出微段两端截面的三种的三类变形，求出微段两端截面的三种相对位移：相对位移：kdsRdsddsddsd0相对轴向位移：相对轴向位移：相对剪切位移：相对剪切位移：相对转角位移：相对转角位移：相对位移相对位移 是描述微段总变形是描述微段总变形的三个基本参数。的三个基本参数。ddd,结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 位移状态位移状态BCAdCddd（2）将微段变形集
14、中化，即）将微段变形集中化，即ds 0，但三种相对位移，但三种相对位移仍存在。仍存在。B截面发生集中变形，其他部分是刚体，不变截面发生集中变形，其他部分是刚体，不变形。问题转化为刚体体系的位移问题。形。问题转化为刚体体系的位移问题。（3）应用刚体体系的虚功原理，根据截面）应用刚体体系的虚功原理，根据截面B的相对位移的相对位移 求求A点位移。点位移。叠加法：叠加法：ddd,dFdFdMdQN结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 （3）应用刚体体系的虚功原理，根据截面）应用刚体体系的虚功原理，根据截面B的相对位移的相对位移 求求A点位移。点位移。叠
15、加法：叠加法：ddd,dFdFdMdQNdsFFkMdQN)(0kdsRdsddsddsd0结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 dFdFdMdQNdsFFkMdQN)(0或者：或者：dsFFkMdFdFdMdQNQN)(10即变形体系的虚功原理即变形体系的虚功原理QNFFM,分别为虚设单位荷载在截面分别为虚设单位荷载在截面B引起的弯矩，引起的弯矩，轴力和剪力。轴力和剪力。结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 3、结构位移计算的一般公式：整体变形时的位移公式、结构位移计算的一般公式：整体变形时的
16、位移公式整个结构的位移是结构各个微段变形的总和。整个结构的位移是结构各个微段变形的总和。叠加原理：叠加原理：dsFFkMdQN)(0dsFFkMdQN)(0若整个结构有若干个杆件组成：若整个结构有若干个杆件组成：结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 3、结构位移计算的一般公式：整体变形时的位移公式、结构位移计算的一般公式：整体变形时的位移公式如果结构除各个微段有变形外，支座处还有给定位移：如果结构除各个微段有变形外，支座处还有给定位移：kRKQNcFdsFFkMd)(0dsFFkMdcFQNkRK)(10适用条件：小变形适用条件：小变形位移公式
17、实际为几何方程，给出了已知变形与拟求位移位移公式实际为几何方程，给出了已知变形与拟求位移之间的几何关系。之间的几何关系。外虚功外虚功内虚功内虚功结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 公式的普遍性：公式的普遍性：（1）变形类型：弯曲变形、拉伸变形、剪切变形；）变形类型：弯曲变形、拉伸变形、剪切变形；（2）变形因素：荷载、支座移动；）变形因素：荷载、支座移动；（3）结构类型：梁、桁架、刚架、拱等；）结构类型：梁、桁架、刚架、拱等；（4）材料性质：弹性材料、非弹性材料。）材料性质：弹性材料、非弹性材料。kRKQNcFdsFFkMd)(0结构力学结构力
18、学 河南理工大学河南理工大学结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 kRKQNcFdsFFkMd)(0弯曲变形：弯曲变形：拉伸变形：拉伸变形：剪切变形：剪切变形：支座移动：支座移动：kdsMkdsFNdsFQ0kRKccF结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 4、结构位移计算的一般步骤：、结构位移计算的一般步骤：kRKQNcFdsFFkMd)(0 已知结构各个微段的应变已知结构各个微段的应变 、0和支座位移和支座位移ck，求，求结构某点沿某方向的位移结构某点沿某方向的位移：（1）在某点沿拟求位移）在某点沿拟求位移方向虚设相应单位荷载；方向
19、虚设相应单位荷载；（2）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构内力）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构内力 和支座反力和支座反力FRK；（3）由下列位移公式求出位移。）由下列位移公式求出位移。MQFNF结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 kRKQNcFdsFFkMd)(0 kRkQNcFFFkM,0?表示力与变形之间的乘积，当力与变形方向一致时表示力与变形之间的乘积，当力与变形方向一致时乘积为正。乘积为正。和和k使纤维同侧受拉时使纤维同侧受拉时 乘积为正。乘积为正。MkM结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学虚功虚功WP力和位移无
20、因果关系力和位移无因果关系广义力Generalized force广义位移Generalized displacementPABCPMABCPMFp1Fp2121122AB对应结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学广义位移和广义力广义位移和广义力广义位移广义位移:某点线位移，某点角位移，某两个截面的相对线位移和角位移某点线位移，某点角位移，某两个截面的相对线位移和角位移 =A+B-A、B点左右两侧截面间的相对转角点左右两侧截面间的相对转角MBMAABqABC)(11BABBAAMM-一对单位力偶一对单位力偶1BAMM广义力：与广义位移相对应的荷载广义力：与广义位移相对应的荷载结构力学结构力
21、学 河南理工大学河南理工大学广义位移和广义力广义位移和广义力广义力和广义位移广义力和广义位移PPABAB12A BPPMM121212PPPP -一对水平力力P -A、B间的水平相对位移AB12M-一对力偶 -C点左右两侧截面间的相对转角1212MMPM结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学广义位移和广义力广义位移和广义力虚设力与拟求位移之间应满足共轭关系，从做功角度讲：虚设力与拟求位移之间应满足共轭关系，从做功角度讲：FWF-共轭力共轭力-共轭位移共轭位移结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算荷载荷载-内力内力-应力应力-应变应变N PFEA0
22、QPFkGAPMEIBAadsPq1Rk1Rkdddsddsdds0ddsddsNPFNPFQPFQPFPMPM结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算QPN PPNQkFFMFdsFdsMdsEAGAEIBNQAF dF dMd 1、荷载引起的位移计算公式、荷载引起的位移计算公式BAadsPqN PFEA0QPFkGAPMEIdds0ddsdds结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算,NQFFM -由单位荷载由单位荷载P=1引起的内力引起的内力,N PQPPFFM -结构承受的真实荷载引起的内力结构承受的真
23、实荷载引起的内力（1）写出各杆件在真实荷载作用下的）写出各杆件在真实荷载作用下的Mp、FQp 和和F Np 方程方程；（2）写出各杆件在虚设单位下的）写出各杆件在虚设单位下的M、FQ 和和FN 方程方程；（3）用上述公式计算位移；）用上述公式计算位移；QPN PPNQkFFMFdsFdsMdsEAGAEI（4）轴力以拉为正，剪力使微段顺时针转动者为正，）轴力以拉为正，剪力使微段顺时针转动者为正，和和MP使杆件同侧受拉为正；使杆件同侧受拉为正；M 结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算（1）梁和刚架：）梁和刚架：（2）桁架：）桁架：（3）桁架混合结构：
24、）桁架混合结构：QPN PPNQkFFMFdsFdsMdsEAGAEI（4）拱，当压力线与拱轴接近时：）拱，当压力线与拱轴接近时：dsEIMMPlEAFFdsEAFFdsEAFFNPNNPNNPNlEAFFdsEIMMNPNPdsEAFFEIMMNPNP)(结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算例例x2qlMP 图28ql2ql2qlFQP 图xl/2l/2ABCP=11212确定跨中C截面的竖向线位移，并比较由弯曲变形和剪切变形引起的效应。2qlABqCl/2l/22()2PqMlxx(2)2QPqFlx14 M1212 QF12Mx12QF 真实
25、力系虚设力系24201()()5222384lPMqxlxxMMqldsdxEIEIEI2201()(2)2 22 1.20.15lPQqlxQQqlkdsdxGAGAGA2420.1511.525384QMqlEIGAqlGAlEI212IhA82(1)3EG22.56()QMhl剪切变形引起的位移远小于弯曲变形引起的结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算1QQPNN PPkF FF FMMdsdsdsEAGAEI,NQFFM -虚设单位荷载P=1 引起的内力,N PQPPFFM -真实荷载引起的内力梁和刚架PMMdsEI 桁架NN PNN PiF
26、 FF FdslEAEA 桁梁组合结构NN PPiF FMMldsEAEI 拱NN PPF FMMdsdsEAEI 结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学确定C点的水平位移 和转角荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算CHC例例LACBLEIEIq解：（解：（1 1）求）求 CH写出杆件的写出杆件的 方程方程 MPMBCBC杆：杆：0M 212PMqx ACBFP=1BABA杆：杆：Mx212PMqL 240124LCHqL xqLdxEIEI 结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学确定C点的水平位移 和转角荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算CHC例例LACBLEIEIq （2
27、 2）求）求 C写出杆件的写出杆件的 方程方程 MPMBCBC杆：杆：1M 212PMqx BABA杆：杆：1M 212PMqL 2230011(1)(1)2223LLCqxqLqLdxdxEIEIEIACBM=1结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB2/P2/PPP4qlP 确定确定C点的竖向位移点的竖向位移例例荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算lEAFFNPN0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB1P结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学单位荷载法单位荷载法理论基础:虚功原理单位荷载法梁和刚架:PM Mds
28、EI l两种内力函数:(),()PM x Mxl积分:PM Md sE I麻烦结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学图乘法（图乘法（Graph-multiplication Method）补充条件:直杆常数一个弯矩图为直线图形LpoMMdsEI 结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学图乘法图乘法yxOAx0ABy0 xdxAB()PMxM()M xCdA()()tan()BBPPAAM x Mx dxxMx dxtan()BPAxMx dxMP的形心0Ax0()()tan()BPAM x Mx dxAx0Ay0(tan)A x()tanM xx结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学
29、图乘法图乘法01PM MdsAyEIEI 一个弯矩图的图形面积面积A形心处的另一直线弯矩图上的纵标注意:u y0必须取自直线直线弯矩图 u 符号规定:两弯矩图位于杆件的同侧同侧，Ay0 为正正；反之，为负u 适用条件:直杆;EI=C;一个弯矩图为直线!切莫丢掉切莫丢掉此项此项结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学图乘法图乘法常用图形的面积和形心三角形Cabhl(l+a)/3(l+b)/32lhA l2l/3l/3Ch2lhA 结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学图乘法图乘法常用图形的面积和形心Cl/2l/2hChl5l/83l/8二次抛物线23Alh顶点顶点l3l/4l/4hC13A
30、lh顶点标准抛物线标准抛物线:图形顶点的斜率必须图形顶点的斜率必须平行于平行于杆轴线杆轴线23Alh结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学图乘法图乘法图形的分解和叠加A1y1Mk 图I1I2A2y2A3y3Mi 图 A1y1A2y2Mk 图Mi 图 分解分解多段线多段线图形的分解变刚度变刚度杆的分解1122331()kiM MdxA yA yA yEIEI11221211kiM MdxA yA yEIEIEI结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学图乘法图乘法图形的分解和叠加Mk 图 Mi 图+叠加叠加11221()kiM MdxA yA yEIEIabcdA2A1y1y212133yc
31、d21233ycdabcdA1A2y1y211221()kiM MdxA yA yEIEI11()2ycd21233ycdABCDabcdA1A2ly1y211221()kiM MdxA yA yEIEI12133ycd 21233ycd分解分解结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学图形的分解和叠加AABMAMBBMAMBqMAABMBMBMA图乘法图乘法 M 图MP 图 diagramMy1y0分解分解叠加叠加011()PMM dxMM dxMM dxEIEI1021001()A yA yA yEI0 M图A1A2A0结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学4l图乘法图乘法例例计算下图
32、所示简支梁的跨中挠度 584l28qlC2l2lEI 常数ACAB1P真实系统MP 图 M 图虚设系统C点竖向位移1PMM dxEI ABq341552()24 32384qllqlEIEI结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学l M 图虚设系统AB1P2qlAB图乘法图乘法例例真实系统MP 图B点挠度1Aq2qlEI 常数ABl2A1y2y确定悬臂梁自由端挠度 2311122Al qlql，(and2322113812Alqlql，(and123yl+-2322113812Alqlql212yl334112211127()()()2312224BPqllqllqlMM dxA yA yE
33、IEIEIEI！不是标准抛物线 结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学图乘法图乘法例例2311122Al qlql，ABCl/2l/2Pl/6计算 C点竖向位移 PABPlMP 图真实系统P=12lAB M 图虚设系统B点挠度A0y011CPMM dxAyEIEI 41155()()222648llqlPlEIEI结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学P=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2M确定 B点竖向位移q？ql2/8l/2？ql2/32y0241 133 248BqllqllEIEI 201 1 3.2382Bql lyEI 21 13/23 8 24Bql llE
34、I 222210.5222628 22 28lqlql lql lqlllEI24120.51723 32 22256ql l llqlEIEI图乘法图乘法例例结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学虚设力系ABC1M M 图llABC2图乘法图乘法例例真实系统C截面的转角2311122Al qlql，(and，(计算 C截面的转角245kNmEI ABC1y2y2A3kN/m4m1m2kN3y3A1A123y 114242A 212y 2246163A 311212A 31y MP 图+-+1122330111211313()(4161)0.096(rad)3233 45AyAyA yA
35、yEIEIEIEI 结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学图乘法图乘法例例计算 C、两点间的水平相对位移 真实系统MP 图 M 图虚设系统水平相对位移EI 常数ABCDq2a2a22qa26qa1A2AABCD3A4A1a1y2yABCDaa3y4ya23114624qaqaAa14455yaa232263qaqaAa2ya233222323qaAaqa3ya112233333411(2)142 22453314 ()15PMM dxAyA yA yEIEIqaaqaqaaaEIqaEI +-+结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学图乘法图乘法例例C点竖向位移确定C点的竖向位移ABCD
36、4m3m3m6kN23738 10 kNEA 23484kN mEI 6kN真实系统MP 图 和FNP 图 ABCD6kN8kN-10kN12kNm4kNA4kN组合结构及其荷载 NMF和图虚设系统ABCD23234353y11P 2m03211121452(3 12)(2)84(10)()5233348128250 14.11 10 m()34843738 103PNN PNN PMMF FF FdxlAylEIEAEIEAEIEA 梁式杆结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学温度作用下的位移计算温度作用下的位移计算静定结构材料自由伸长或压缩温度改变变形不引起内力01t C02t C12
37、tt结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学1t2tds温度作用下的位移计算温度作用下的位移计算dsAB1t C 2t C d1t ds2t dsh假定:l温度沿截面高度h线形线形分布l发生变形后，截面应变分布仍满足平截面假定.虚设力系由温度变化引起的真实位移AB1P 0t dsd211221011ttt ht htthhhtds21ttt 0dt ds21()ttddsh00=NNttMdsFt dsMdstF dshh NQMdF dF d 结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学温度作用下的位移计算温度作用下的位移计算例例4ma ABC0C0 C15 C 15 C aa M 图ABC
38、1PN F图确定C点的竖向位移。真实系统CAB1P虚设系统0.00001线膨胀系数40cm01200157.522tttC02115015tttC 0NCtMdstF dsh 温度变化引起的弯曲变形方向与虚设力系引起的相反0.93()Ccm 151()7.5()2aaaaah 若既有温度变化若既有温度变化和（或）支座移和（或）支座移动，又同时作用动，又同时作用有荷载？有荷载？结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学变形体体系的虚功原理变形体体系的虚功原理 刚体体系的虚功原理中，刚体的应变刚体体系的虚功原理中，刚体的应变=？刚刚体体系体体系 内力做功内力做功=？变形体体系的虚功原理中，变形体变
39、形体体系的虚功原理中，变形体存在应变存在应变吗？吗？外力做功，外力做功，内力做功吗？内力做功吗？结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学变形体体系的虚功原理变形体体系的虚功原理 设变形体（设变形体（a deformable structure）在力系作用下处于）在力系作用下处于平衡平衡状态，又设状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做的做的外力虚功（外力虚功（virtual external work）We恒等于各个微段的应力合力（即内恒等于各个微段的应力合力（即内力）在变形上所做的力）在
40、变形上所做的内力虚功（内力虚功（virtual internal work）Wi.eiWW内力所做的虚功内力所做的虚功外力所做的虚功外力所做的虚功注意注意:l变形可以是任意因素引起的变形可以是任意因素引起的l小变形小变形l虚功原理对任何结构都适用，无论其是否是弹性体虚功原理对任何结构都适用，无论其是否是弹性体结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学变形体体系的虚功原理变形体体系的虚功原理ads任意原因引起的变形处于平衡状态的梁adsBA123BA1P2P3PARBReiikkWPR c dsMMds1RkdddsdNF dBiNQAWF dF dMdBeiikkNQiAWPR cF dF d
41、MdW dsNFNFdsQFQFQF dMdidWds结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学BAads真实的位移状态真实的位移状态虚力状态1P BAARBR1kekWR c dsNFNFdsQFQFdsMMd1Rk1RkdddsdsBiNQAWF dF dMdBNQAF dF dMd 单位力作用下单位荷载法（单位荷载法（Unit Load Method）1eW ads如何虚设单如何虚设单位力？位力？结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学变形体体系的虚功原理变形体体系的虚功原理eiWW内虚功内虚功外虚功外虚功应用条件应用条件:l力系满足平衡条件力系满足平衡条件l位移满足变形协调条件位移满
42、足变形协调条件结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学变形体体系的虚功原理变形体体系的虚功原理MAFQAFQBqxMBABpFNBFNAMFQM+dMFQ+dFQqdxqdxFN+dFNFNpdx平衡条件平衡条件:000dxFdMqdxdFpdxdFQQN结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学变形体体系的虚功原理变形体体系的虚功原理变形协调条件变形协调条件:AAABABBBdxddxdudxd0dx+d+d +d结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学变形体体系的虚功原理变形体体系的虚功原理MAFQAFQBqxMBABpFNBFNA平衡力系平衡力系AAABABBB变形状态变形状态BAA
43、QAANAAABQBBNBBBdxqpFFMFFMW)()()(上述平衡力系在变形状态上做功上述平衡力系在变形状态上做功结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学变形体体系的虚功原理变形体体系的虚功原理微段两侧截面的应力合力在变形上作的内虚功为微段两侧截面的应力合力在变形上作的内虚功为MFQM+dMFQ+dFQqdxqdxFN+dFNFNpdxdx+d+d +dBAQNidxFdxFMdW0结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学变形体体系的虚功原理变形体体系的虚功原理eiWWBAQNidxFdxFMdW0BAQNBAAQAANAAABQBBNBBBdxFdxFMddxqpFFMFFM0)(
44、)()(BAAQAANAAABQBBNBBBedxqpFFMFFMW)()()(结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学变形体体系的虚功原理变形体体系的虚功原理变形体虚功原理的证明：变形体虚功原理的证明：000dxFdMqdxdFpdxdFQQN0)()()(BAQBAQBANdxFdMqdxdFpdxdFBAQBABAQNBAQNdxFdxqpMddFdFMFF0)()()()()(MddFdFMFFddMdFdFQNQNQN0)()(BAQBAQNdxFqpdMdFdF结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学变形体体系的虚功原理变形体体系的虚功原理变形体虚功原理的证明：变形体虚功原理的
45、证明：BAQBABAQNBAQNdxFdxqpMddFdFMFF0)()()(dxddxddx0)()()()(MddxFdxFFdxqpMFFMFFQBANPBAAAQAANAABBQBBNBB?结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学变形体体系的虚功原理变形体体系的虚功原理推广：推广：杆件结构中（计入集中荷载所作虚功）：杆件结构中（计入集中荷载所作虚功）：PF)()()(0BAQNPBABAQNMddsFdsFFdxqpMFF)()()()(MddxFdxFFdxqpMFFMFFQBANPBAAAQAANAABBQBBNBB?结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学变形体体系的虚功原理
46、变形体体系的虚功原理将边界荷载和集中荷载作的虚功用通式将边界荷载和集中荷载作的虚功用通式 表示：表示：PF)()(0BAQNBAPkRkMddsFdsFdxqpFcF将均布荷载和集中荷载作的虚功用通式将均布荷载和集中荷载作的虚功用通式 表示：表示：PF)(0BAQNPkRkMddsFdsFFcF虚功方程的实质：虚功方程的实质：平衡方程和变形协调方程的综合平衡方程和变形协调方程的综合结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学变形体体系的虚功原理变形体体系的虚功原理)(0kdsMFFFcFBANPkRkQ虚功方程的应用：虚功方程的应用：变形体的虚力方程：变形体的虚力方程：变形体的虚位移方程：变形体
47、的虚位移方程：dsMkFFFcFBAQNPRkk)(0结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学变形体体系的虚功原理变形体体系的虚功原理单位支座位移法：单位支座位移法：已知荷载和各杆内力，求某个支座反力已知荷载和各杆内力，求某个支座反力FR1：如果结构是静定结构，虚设单位支座位移时，结构只产生如果结构是静定结构，虚设单位支座位移时，结构只产生刚体体系的位移，虚设应变等于刚体体系的位移，虚设应变等于0，上式简化为：，上式简化为：101111)(PPBAQNRFdsFFkMF11PPRFF结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学线性体系的互等定理（线性体系的互等定理（Reciprocal Law
48、s）线性变形体系线性变形体系基本假定：应用条件：材料处于弹性阶段，应力与应变成正比材料处于弹性阶段，应力与应变成正比小变形，不影响力的作用小变形，不影响力的作用理论基础:虚功原理虚功原理 结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学线性体系的互等定理（线性体系的互等定理（Reciprocal Laws）功的互等定理（Law of reciprocal work）2a2babcdab1c1dcd1aP1bP2cP2dP状态状态 111,NQFFM222,NQFFM1212WP2121WP1221WW对于线性体系，第一状态的力系在第二状态的位移上所做的虚功等于第二状态的力系在第一状态的位移上所做的虚
49、功121212QQNNkF FF FM MdsdsdsEAGAEI212121QQNNkF FF FM MdsdsdsEAGAEI结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学线性体系的互等定理线性体系的互等定理位移互等定理（位移互等定理（Law of reciprocal displacements）状态 状态 对于线性体系，j点处的单位荷载引起的i点处的位移等于i点处的单位荷载引起的j点处的位移122111P21P 1221WW112221PP122121P 11Pijji-由j点处的单位荷载引起的i点处的位移-由i点处的单位荷载引起的j点处的位移ijji柔度系数结构力学结构力学 河南理工大学
50、河南理工大学线性体系的互等定理线性体系的互等定理反力互等定理（反力互等定理（Law of reciprocal reactions）状态状态 对于线性体系，由单位位移C1引起的与位移C2相应的反力等于由单位位移C2引起的与位移C1相应的反力.1221WW刚度系数 11k21k12k22k212111c 21c 121212k ck c1221kk21c 11c ijjikk结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学线性体系的互等定理线性体系的互等定理位移反力互等定理（位移反力互等定理（Law of reciprocal displacements and reactions）状态 12c2状态
