1、12022 年北京市高考数学试卷年北京市高考数学试卷一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。目要求的一项。1（4 分）已知全集 Ux|3x3，集合 Ax|2x1，则UA（）A（2，1B（3，2）1，3）C2，1）D（3，2（1，3）2（4 分）若复数 z 满足 iz34i，则|z|（）A1B5C7D253（4 分）若直线 2x+y10 是圆（xa）2+y21 的一条对称轴，则 a（）A?B?C1D14（4 分）已知函数 f（x）?，则对任意实数 x，有（）Af
2、（x）+f（x）0Bf（x）f（x）0Cf（x）+f（x）1Df（x）f（x）?5（4 分）已知函数 f（x）cos2xsin2x，则（）Af（x）在（?，?）上单调递减Bf（x）在（?，?）上单调递增Cf（x）在（0，?）上单调递减Df（x）在（?，?）上单调递增6（4 分）设an是公差不为 0 的无穷等差数列，则“an为递增数列”是“存在正整数 N0，当 nN0时，an0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（4 分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳
3、所处的状态与 T和 lgP 的关系，其中 T 表示温度，单位是 K；P 表示压强，单位是 bar下列结论中正确的是（）2A当 T220，P1026 时，二氧化碳处于液态B当 T270，P128 时，二氧化碳处于气态C当 T300，P9987 时，二氧化碳处于超临界状态D当 T360，P729 时，二氧化碳处于超临界状态8（4 分）若（2x1）4a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则 a0+a2+a4（）A40B41C40D419（4 分）已知正三棱锥 PABC 的六条棱长均为 6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合 设集合 TQS|PQ5，则 T 表示的区域的面积为（）A?BC2D3
4、10（4 分）在ABC 中，AC3，BC4，C90P 为ABC 所在平面内的动点，且PC1，则?t?t?的取值范围是（）A5，3B3，5C6，4D4，6二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。11（5 分）函数 f（x）?的定义域是12（5 分）已知双曲线 y2?1 的渐近线方程为 y?x，则 m13（5 分）若函数 f（x）Asinx?cosx 的一个零点为?，则 A；f（?）14（5 分）设函数 f（x）?t?，?t，?，?t若 f（x）存在最小值，则 a 的一个取值为；a 的最大值为15（5 分）已知数列an的各项均为正数，其前 n 项和
5、Sn满足 anSn9（n1，2，）给3出下列四个结论：an的第 2 项小于 3；an为等比数列；an为递减数列；an中存在小于?的项其中所有正确结论的序号是三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16（13 分）在ABC 中，sin2C?sinC（）求C；（）若 b6，且ABC 的面积为 6?，求ABC 的周长17（14 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1为正方形，平面 BCC1B1平面 ABB1A1，ABBC2，M，N 分别为 A1B1，AC 的中点（）求证：MN平
6、面 BCC1B1；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AB 与平面 BMN所成角的正弦值条件：ABMN；条件：BMMN注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18（13 分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50m以上（含 9.50m）的同学将获得优秀奖 为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；4乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，
7、9.65，9.20，9.16假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（）设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X 的数学期望 EX；（）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19（15 分）已知椭圆 E：?t?1（ab0）的一个顶点为 A（0，1），焦距为 2?（）求椭圆 E 的方程；（）过点 P（2，1）作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与 x 轴交于点 M，N当|MN|2 时，求 k 的值20（15 分）已知函数 f（x）
8、exln（1+x）（）求曲线 yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）设 g（x）f（x），讨论函数 g（x）在0，+）上的单调性；（）证明：对任意的 s，t（0，+），有 f（s+t）f（s）+f（t）21（15 分）已知 Q：a1，a2，ak为有穷整数数列给定正整数 m，若对任意的 n1，2，m，在 Q 中存在 ai，ai+1，ai+2，ai+j（j0），使得 ai+ai+1+ai+2+ai+jn，则称 Q 为 m连续可表数列（）判断 Q：2，1，4 是否为 5连续可表数列？是否为 6连续可表数列？说明理由；（）若 Q：a1，a2，ak为 8连续可表数列，求证：k 的最小值为 4；（
9、）若 Q：a1，a2，ak为 20连续可表数列，且 a1+a2+ak20，求证：k752022 年北京市高考数学试卷年北京市高考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。目要求的一项。1（4 分）已知全集 Ux|3x3，集合 Ax|2x1，则UA（）A（2，1B（3，2）1，3）C2，1）D（3，2（1，3）【解答】解：因为全集 Ux|3x3，集合 Ax|2x1，所以UAx|3x2 或 1x3（3，2（1，3）故选：D
10、2（4 分）若复数 z 满足 iz34i，则|z|（）A1B5C7D25【解答】解：由 iz34i，得 z?，|z|?|?故选：B3（4 分）若直线 2x+y10 是圆（xa）2+y21 的一条对称轴，则 a（）A?B?C1D1【解答】解：圆（xa）2+y21 的圆心坐标为（a，0），直线 2x+y10 是圆（xa）2+y21 的一条对称轴，圆心在直线 2x+y10 上，可得 2a+010，即 a?故选：A4（4 分）已知函数 f（x）?，则对任意实数 x，有（）Af（x）+f（x）0Bf（x）f（x）0Cf（x）+f（x）1Df（x）f（x）?【解答】解：因为函数 f（x）?，所以 f（x）
11、?，所以 f（x）+f（x）?1故选：C65（4 分）已知函数 f（x）cos2xsin2x，则（）Af（x）在（?，?）上单调递减Bf（x）在（?，?）上单调递增Cf（x）在（0，?）上单调递减Df（x）在（?，?）上单调递增【解答】解：f（x）cos2xsin2xcos2x，周期 T，f（x）的单调递减区间为k，?（kZ），单调递增区间为?，+k（kZ），对于 A，f（x）在（?，?）上单调递增，故 A 错误，对于 B，f（x）在（?，0）上单调递增，在（0，?）上单调递减，故 B 错误，对于 C，f（x）在（0，?）上单调递减，故 C 正确，对于 D，f（x）在（?，?）上单调递减，在（
12、?，?）上单调递增，故 D 错误，故选：C6（4 分）设an是公差不为 0 的无穷等差数列，则“an为递增数列”是“存在正整数 N0，当 nN0时，an0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：因为数列an是公差不为 0 的无穷等差数列，当an为递增数列时，公差 d0，令 ana1+（n1）d0，解得 n1?t?，1?t?表示取整函数，所以存在正整数 N01+1?t?，当 nN0时，an0，充分性成立；当 nN0时，an0，an10，则 danan10，必要性成立；是充分必要条件故选：C7（4 分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效
13、环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T和 lgP 的关系，其中 T 表示温度，单位是 K；P 表示压强，单位是 bar下列结论中正确7的是（）A当 T220，P1026 时，二氧化碳处于液态B当 T270，P128 时，二氧化碳处于气态C当 T300，P9987 时，二氧化碳处于超临界状态D当 T360，P729 时，二氧化碳处于超临界状态【解答】解：对于 A，当 T220，P1026 时，lgP3，由图可知二氧化碳处于固态，故 A 错误；对于 B：当 T270，P128 时，2lgP3，由图可知二氧化碳处于液态，故 B 错误；对
14、于 C：当 T300，P9987 时，lgP4，由图可知二氧化碳处于固态，故 C 错误；对于 D：当 T360，P729 时，2lgP3，由图可知二氧化碳处于超临界状态，故 D正确；故选：D8（4 分）若（2x1）4a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则 a0+a2+a4（）A40B41C40D41【解答】解：（2x1）4a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，a0+a2+a4?22?1+24+1641，故选：B9（4 分）已知正三棱锥 PABC 的六条棱长均为 6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合 设集合 TQS|PQ5，则 T 表示的区域的面积为（）A?BC2D3【解答】解
15、：设点 P 在面 ABC 内的投影为点 O，连接 OA，则 OA?2?，8所以 OP?t?t?2?，由?1，知 T 表示的区域是以 O 为圆心，1 为半径的圆，所以其面积 S故选：B10（4 分）在ABC 中，AC3，BC4，C90P 为ABC 所在平面内的动点，且PC1，则?t?t?的取值范围是（）A5，3B3，5C6，4D4，6【解答】解：在ABC 中，AC3，BC4，C90，以 C 为坐标原点，CA，CB 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图：则 A（3，0），B（0，4），C（0，0），设 P（x，y），因为 PC1，所以 x2+y21，又?t?（3x，y），?t?（x
16、，4y），所以?t?t?x（3x）y（4y）x2+y23x4y3x4y+1，9设 xcos，ysin，所以?t?t?（3cos+4sin）+15sin（+）+1，其中 tan?，当 sin（+）1 时，?t?t?有最小值为4，当 sin（+）1 时，?t?t?有最大值为 6，所以?t?t?4，6，故选：D二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。11（5 分）函数 f（x）?的定义域是（，0）（0，1【解答】解：要使函数 f（x）?有意义，则?，解得 x1 且 x0，所以函数的定义域为（，0）（0，1故答案为：（，0）（0，112（5 分）已知双曲
17、线 y2?1 的渐近线方程为 y?x，则 m3【解答】解：双曲线 y2?1 化为标准方程可得 y2?1，所以 m0，双曲线的渐近线方程 y?x，又双曲线 y2?1 的渐近线方程为 y?x，所以?，解得 m3故答案为：313（5 分）若函数 f（x）Asinx?cosx 的一个零点为?，则 A1；f（?）?【解答】解：函数 f（x）Asinx?cosx 的一个零点为?，?A?0，A1，函数 f（x）sinx?cosx2sin（x?），f（?）2sin（?）2sin（?）2sin?，故答案为：1；?1014（5 分）设函数 f（x）?t?，?t，?，?t若 f（x）存在最小值，则 a 的一个取值为
18、0；a 的最大值为1【解答】解：当 a0 时，函数 f（x）图像如图所示，不满足题意，当 a0 时，函数 f（x）图像如图所示，满足题意；当 0a2 时，函数 f（x）图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足a2+10，解得：0a1；当 a2 时，函数 f（x）图像如图所示，不满足题意，当 a2 时，函数 f（x）图像如图所示，要使得函数 f（x）有最小值，需（a2）2a2+1，无解，故不满足题意；11综上所述：a 的取值范围是0，1，故答案为：0，115（5 分）已知数列an的各项均为正数，其前 n 项和 Sn满足 anSn9（n1，2，）给出下列四个结论：an的第 2 项小于 3；an为等
19、比数列；an为递减数列；an中存在小于?的项其中所有正确结论的序号是【解答】解：对于n1 时，可得 a13，当 n2 时，由 a2S29，可得 a2（a1+a2）9，可得 a2?3，故正确；对于，当n2时，由?t?得?t?，于是可得t?t?t?，即t?t?t?，若an为等比数列，则 n2 时，an+1an，即从第二项起为常数，可检验 n3 不成立，故错误；对于，因为 anSn9，an0，a13，当 n2 时，Sn?t?，所以 anSnSn1?t?t?0，所以?t?t?t?t?anan1，所以an为递减数列，故正确；对于，假设所有项均大于等于?，取 n90000，则t?，?，则 anSn9与已知
20、矛盾，故正确；故答案为：三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。1216（13 分）在ABC 中，sin2C?sinC（）求C；（）若 b6，且ABC 的面积为 6?，求ABC 的周长【解答】解：（）sin2C?sinC，2sinCcosC?sinC，又 sinC0，2cosC?，cosC?，0C，C?；（）ABC 的面积为 6?，?absinC6?，又 b6，C?，?a6?6?，a4?，又 cosC?t?t?，?，c2?，a+b+c6+6?，ABC 的周长为 6+6?17（14 分）如图，在
21、三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1为正方形，平面 BCC1B1平面 ABB1A1，ABBC2，M，N 分别为 A1B1，AC 的中点（）求证：MN平面 BCC1B1；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AB 与平面 BMN所成角的正弦值条件：ABMN；条件：BMMN注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分13【解答】解：（I）证明：取 AB 中点 K，连接 NK，MK，M，为 A1B1的中点B1MBK，且 B1MBK，四边形 BKMB1是平行四边形，故 MKBB1，MK平面 BCC1B1；BB1平面 BCC1B1，MK平面 BCC1B1，K 是 AB
22、中点，N 是 AC 的点，NKBC，NK平面 BCC1B1；BC平面 BCC1B1，NK平面 BCC1B1，又 NKMKK，平面 NMK平面 BCC1B1，又 MN平面 NMK，MN平面 BCC1B1；（II）侧面 BCC1B1为正方形，平面 BCC1B1平面 ABB1A1，平面 BCC1B1平面 ABB1A1BB1，CB平面 ABB1A1，CBAB，又 NKBC，ABNK，若选：ABMN；又 MNNKN，AB平面 MNK，又 MK平面 MNK，ABMK，又 MKBB1，ABBB1，BC，BA，BB1两两垂直，若选：CB平面 ABB1A1，NKBC，NK平面 ABB1A1，KM平面 ABB1A
23、1，MKNK，又 BMMN，NK?BC，BK?AB，BKMNKM，BKMNKM90，ABMK，又 MKBB1，ABBB1，BC，BA，BB1两两垂直，以 B 为坐标原点，BC，BA，BB1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，14则 B（0，0，0），N（1，1，0），M（0，1，2），A（0，2，0），t?（0，1，2），tt?（1，1，0），设平面 BMN 的一个法向量为?（x，y，z），则?t?tt?，令 z1，则 y2，x2，平面 BMN 的一个法向量为?（2，2，1），又tt?（0，2，0），设直线 AB 与平面 BMN 所成角为，sin|cos?，tt?|?tt?tt?直线 AB
24、与平面 BMN 所成角的正弦值为?18（13 分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50m以上（含 9.50m）的同学将获得优秀奖 为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；15（）设 X 是甲、乙、丙
25、在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X 的数学期望 EX；（）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【解答】解：（）甲以往的 10 次成绩中有 4 次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率?（）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为?，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为?，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，则 P（X0）?，P（X1）?，P（X2）?，P（X3）?，EX0?（）甲成绩的平均值为 9.479，乙成绩的平均值为 9.46，丙成绩的平均值为 9.465，故甲获得冠军的概率估计
26、值最大19（15 分）已知椭圆 E：?t?1（ab0）的一个顶点为 A（0，1），焦距为 2?（）求椭圆 E 的方程；（）过点 P（2，1）作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与 x 轴交于点 M，N当|MN|2 时，求 k 的值【解答】解：（）由题意得，?，b1，c?，a2，椭圆 E 的方程为?y21（）设过点 P（2，1）的直线为 y1k（x+2），B（x1，y1），C（x2，y2），联立得?，即（1+4k2）x2+（16k2+8k）x+16k2+16k0，16直线与椭圆相交，（16k2+8k）24（1+4k2）（16k2+16k）0，k0，由韦达
27、定理得 x1+x2?，x1x2?，kAB?，直线 AB 为 y?x+1，令 y0，则 x?，M（?，0），同理 N（?，0），|MN|?|?|?（?）|?|?|?|2，|?|2，|?|?，k420（15 分）已知函数 f（x）exln（1+x）（）求曲线 yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）设 g（x）f（x），讨论函数 g（x）在0，+）上的单调性；（）证明：对任意的 s，t（0，+），有 f（s+t）f（s）+f（t）【解答】解：（）对函数求导可得：?a?，将 x0 代入原函数可得 f（0）0，将 x0 代入导函数可得：f（0）1，故在 x0 处切线斜率为 1，故 y01（x0）
28、，化简得：yx；（）由（）有：g（x）?a?，?a?，令?，令 x+1k（k1），设?，?a?恒成立，故 h（x）在0，+）单调递增，又因为 h（0）1，故 h（x）0 在0，+）恒成立，故 g（x）0，故 g（x）在0，+）单调递增；（）证明：由（）有 g（x）在0，+）单调递增，又 g（0）1，17故 g（x）0 在0，+）恒成立，故 f（x）在0，+）单调递增，设 w（x）f（x+t）f（x），w（x）f（x+t）f（x），由（）有 g（x）在0，+）单调递增，又因为 x+tx，所以 f（x+t）f（x），故 w（x）单调递增，又因为 s0，故 w（s）w（0），即：f（s+t）f（s）
29、f（t）f（0），又因为函数 f（0）0，故 f（s+t）f（s）+f（t），得证21（15 分）已知 Q：a1，a2，ak为有穷整数数列给定正整数 m，若对任意的 n1，2，m，在 Q 中存在 ai，ai+1，ai+2，ai+j（j0），使得 ai+ai+1+ai+2+ai+jn，则称 Q 为 m连续可表数列（）判断 Q：2，1，4 是否为 5连续可表数列？是否为 6连续可表数列？说明理由；（）若 Q：a1，a2，ak为 8连续可表数列，求证：k 的最小值为 4；（）若 Q：a1，a2，ak为 20连续可表数列，且 a1+a2+ak20，求证：k7【解答】解：（）若 m5，则对于任意的 n1
30、，2，3，4，5，a21，a12，a1+a22+13，a34，a2+a31+45，所以 Q 是 5连续可表数列；由于不存在任意连续若干项之和相加为 6，所以 Q 不是 6连续可表数列；（）假设 k 的值为 3，则 a1，a2，a3最多能表示 a1，a2，a3，a1+a2，a2+a3，a1+a2+a3，共 6 个数字，与 Q 是 8连续可表数列矛盾，故 k4；现构造 Q：1，2，3，4 可以表达出 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数字，即存在 k4满足题意故 k 的最小值为 4（）先证明 k6从 5 个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示 5 个数字，取连续两个数字最多能表示
31、4 个数字，取连续三个数字最多能表示 3 个数字，取连续四个数字最多能表示 2 个数字，取连续五个数字最多能表示 1 个数字，所以对任意给定的 5 个整数，最多可以表示 5+4+3+2+115 个正整数，不能表示 20 个正整数，即 k6若 k6，最多可以表示 6+5+4+3+2+121 个正整数，18由于 Q 为 20连续可表数列，且 a1+a2+ak20，所以其中必有一项为负数既然 5 个正整数都不能连续可表 120 的正整数，所以至少要有 6 个正整数连续可表 120 的正整数，所以至少 6 个正整数和一个负数才能满足题意，故 k7192022 年全国统一高考数学试卷（理科年全国统一高考
32、数学试卷（理科）（甲卷）（甲卷）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。1（5 分）若 z1?i，则?（）A1?iB1?iC?iD?i2（5 分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70%B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 8
33、5%C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3（5 分）设全集 U2，1，0，1，2，3，集合 A1，2，Bx|x24x+30，则U（AB）（）A1，3B0，3C2，1D2，04（5 分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（）20A8B12C16D205（5 分）函数 y（3x3x）cosx 在区间?，?的图像大致为（）ABCD216（5 分）当 x1 时，函数 f（x）alnx?取得最大值2，则 f（2）（）A1B?C?D17（5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，
34、已知 B1D 与平面 ABCD 和平面 AA1B1B 所成的角均为 30，则（）AAB2ADBAB 与平面 AB1C1D 所成的角为 30CACCB1DB1D 与平面 BB1C1C 所成的角为 458（5 分）沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”如图，tt?是以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是 AB 的中点，D 在tt?上，CDAB“会圆术”给出tt?的弧长的近似值 s 的计算公式：sAB?t当 OA2，AOB60时，s（）A?B?C?D?9（5 分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2，侧面积分别为 S甲和 S乙，体积分别为
35、V甲和 V乙若?甲?乙?2，则?甲?乙?（）A B2?C?D?10（5 分）椭圆 C：?t?1（ab0）的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上，且关于 y轴对称若直线 AP，AQ 的斜率之积为?，则 C 的离心率为（）A?B?C?D?11（5 分）设函数 f（x）sin（x?）在区间（0，）恰有三个极值点、两个零点，则22的取值范围是（）A?，?）B?，?）C（?，?D（?，?二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13（5 分）设向量t?，?的夹角的余弦值为?，且|t?|1，|?|3，则（2t?）?14（5 分）若双曲线 y2?1
36、（m0）的渐近线与圆 x2+y24y+30 相切，则 m15（5 分）从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为16（5 分）已知ABC 中，点 D 在边 BC 上，ADB120，AD2，CD2BD当t?tt取得最小值时，BD三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。（一一）必考题必考题：共共 60 分。分。17（12 分）记
37、Sn为数列an的前 n 项和已知?n2an+1（1）证明：an是等差数列；（2）若 a4，a7，a9成等比数列，求 Sn的最小值18（12 分）在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，CDAB，ADDCCB1，AB2，DP?（1）证明：BDPA；（2）求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值19（12 分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立23（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用 X 表示乙学校
38、的总得分，求 X 的分布列与期望20（12 分）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 D（p，0），过 F 的直线交 C 于M，N 两点当直线 MD 垂直于 x 轴时，|MF|3（1）求 C 的方程；（2）设直线 MD，ND 与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线 MN，AB 的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线 AB 的方程21（12 分）已知函数 f（x）?lnx+xa（1）若 f（x）0，求 a 的取值范围；（2）证明：若 f（x）有两个零点 x1，x2，则 x1x21（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如
39、果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为?h?，?h（t 为参数），曲线 C2的参数方程为?h?，?h（s 为参数）（1）写出 C1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3的极坐标方程为 2cossin0，求 C3与 C1交点的直角坐标，及 C3与 C2交点的直角坐标选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23已知 a，b，c 均为正数，且 a2+b2+4c23，证明：（
40、1）a+b+2c3；（2）若 b2c，则?t?3242022 年全国统一高考数学试卷（理科年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）（甲卷）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。1（5 分）若 z1?i，则?（）A1?iB1?iC?iD?i【解答】解：z1?i，?4，则?故选：C2（5 分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲
41、座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70%B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85%C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【解答】解：对于 A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：2560%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%）72.5%，故 A 错误；对于 B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：?（80%+85%+85%+85%+85%+9
42、0%+90%+95%+100%+100%）89.5%85%，故 B 正确；对于 C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故 D 错误；对于 D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%80%20%，讲座前正确率的极差为：95%60%35%，讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故 D 错误故选：B3（5 分）设全集 U2，1，0，1，2，3，集合 A1，2，Bx|x24x+30，则U（AB）（）A1，3B0，3C2，1D2，0【解答】解：Bx|x24x+301，3，A1，2，AB1，1，2
43、，3，又 U2，1，0，1，2，3，U（AB）2，0故选：D4（5 分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（）A8B12C16D2026【解答】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱 ABCDA1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形 ABCD，如图，AB4，AD2，AA12，AA1平面 ABCD，该多面体的体积为：V?12故选：B5（5 分）函数 y（3x3x）cosx 在区间?，?的图像大致为（）ABC27D【解答】解：f（x）（3x3x）cosx，可知 f（x）（3x3x）cos（x）（3x3x）cosxf（x），函数是奇函数，排除
44、BD；当 x1 时，f（1）（331）cos10，排除 C故选：A6（5 分）当 x1 时，函数 f（x）alnx?取得最大值2，则 f（2）（）A1B?C?D1【解答】解：由题意 f（1）b2，则 f（x）alnx?，则 f（x）?t?t?，当 x1 时函数取得最值，可得 x1 也是函数的一个极值点，f（1）a+20，即 a2f（x）?，易得函数在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，故 x1 处，函数取得极大值，也是最大值，则 f（2）?故选：B7（5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 B1D 与平面 ABCD 和平面 AA1B1B 所成的角均为 30，则（）AAB2
45、ADBAB 与平面 AB1C1D 所成的角为 30CACCB1DB1D 与平面 BB1C1C 所成的角为 45【解答】解：如图所示，连接 AB1，BD，不妨令 AA11，28在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AD面 AA1B1B，BB1面 ABCD，所以B1DB 和DB1A 分别为 B1D 与平面 ABCD 和平面 AA1B1B 所成的角，即B1DBDB1A30，所以在 RtBDB1中，BB1AA11，t?，t?，在 RtADB1中，DB12，t?，tt?，所以 AB?，?t?，t?，故选项 A，C 错误，由图易知，AB 在平面 AB1C1D 上的射影在 AB1上，所以B1AB 为 AB
46、与平面 AB1C1D 所成的角，在 RtABB1中，h?t?tt?tt?tt?，故选项 B 错误，如图，连接 B1C，则 B1D 在平面 BB1C1C 上的射影为 B1C，所以DB1C 为 B1D 与平面 BB1C1C 所成的角，在 RtDB1C 中，t?DC，所以DB1C45，所以选项 D 正确，故选：D298（5 分）沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”如图，tt?是以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是 AB 的中点，D 在tt?上，CDAB“会圆术”给出tt?的弧长的近似值 s 的计算公式：sAB?t当 OA2，AOB60时，s（）A?B?C?
47、D?【解答】解：OAOB2，AOB60，AB2，C 是 AB 的中点，D 在tt?上，CDAB，延长 DC 可得 O 在 DC 上，CDODOC2?，sAB?t?2?2?故选：B9（5 分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2，侧面积分别为 S甲和 S乙，体积分别为 V甲和 V乙若?甲?乙?2，则?甲?乙?（）A B2?C?D?【解答】解：如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为 3，甲、乙30两个圆锥的底面半径分别为 r1，r2，高分别为 h1，h2，则 2r14，2r22，解得 r12，r21，由勾股定理可得?，?，?甲?乙?故选：C1
48、0（5 分）椭圆 C：?t?1（ab0）的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上，且关于 y轴对称若直线 AP，AQ 的斜率之积为?，则 C 的离心率为（）A?B?C?D?【解答】解：已知 A（a，0），设 P（x0，y0），则 Q（x0，y0），kAP?t，kAQ?t?，故 kAPkAQ?t?t?t?，?t?1，即?t?t?，代入整理得：?t?，e?t?t?故选：A11（5 分）设函数 f（x）sin（x?）在区间（0，）恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A?，?）B?，?）C（?，?D（?，?【解答】解：当0 时，不能满足在区间（0，）极值点比零点多，所以0；函数 f（x）sin
49、（x?）在区间（0，）恰有三个极值点、两个零点，x?（?，?），?3，31求得?，故选：C二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13（5 分）设向量t?，?的夹角的余弦值为?，且|t?|1，|?|3，则（2t?）?11【解答】解：由题意可得t?，?，则?t?t?故答案为：1114（5 分）若双曲线 y2?1（m0）的渐近线与圆 x2+y24y+30 相切，则 m?【解答】解：双曲线 y2?1（m0）的渐近线：xmy，圆 x2+y24y+30 的圆心（0，2）与半径 1，双曲线 y2?1（m0）的渐近线与圆 x2+y24y+30 相切
50、，?1，解得 m?，m?舍去故答案为：?15（5 分）从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为?【解答】解：根据题意，从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，有 C?70 种取法，若这 4 个点在同一个平面，有侧面 6 个、对棱面 6 个，一共有 6+612 种情况，则这 4 个点在同一个平面的概率 P?；故答案为：?16（5 分）已知ABC 中，点 D 在边 BC 上，ADB120，AD2，CD2BD当t?tt取得最小值时，BD?【解答】解：设 BDx，CD2x，在三角形 ACD 中，b24x2+422x2cos60，可得：b24x24x+4，在三角形 ABD
