1、第六章 平稳时间序列预测第一节 平稳时间序列预测概念第二节 最小均方误预测第三节 条件期望预测第四节 适时修正预测第五节 指数平滑预测与ARMA模型第1页，共68页。第一节 平稳时间序列预测的概念).(,)0(,1lxltlxtxxxtxttlttttt为预测值记的预测向前期步长为为原点的以这种预测称为进行预测以后的观察值对时刻用序列以前的观察值为及在时刻且零均值平稳序列设当前时刻为返回本节首页下一页上一页第2页，共68页。一、最小均方误差预测概念二、平稳ARMA模型最小均方误预测的推导第二节 最小均方误预测(正交投影预测)返回本节首页下一页上一页第3页，共68页。一、最小均方误差预测概念.)
2、2(min)()(:,)1(:)()(:,)0(,)(221值的函数预测值是过去时间序列即预测误差的方差最小足如下两条件准则步最小均方误预测要满所谓其预测误差记为进行的预测对的条件下为已知设lxxEleEllxxlelxxxlxtltttlttltttt（若预测函数是线性的，则称线性最小均方误预测）（若预测函数是线性的，则称线性最小均方误预测）返回本节首页下一页上一页第4页，共68页。二、平稳ARMA模型最小均方误预测的推导011110111111002211001:1:)()()(:)()(:jjtjltlltlttltltlltltlttttjjtjtttttaGaGaGaGaGaGaGa
3、GaGxltGaGaGaGaGaBGaBBxaBxBARMA代入上式得将下标其中如下此模型写成其传递形式模型如下设有平稳返回本节首页下一页上一页第5页，共68页。由于预测只能建立在到t时刻为止的可用信息的基础上，因此，根据最小均方误预测的第二个准则，以及平稳可逆序列可以表示成传递函数形式的论断，可以将预测值 表示成能够估计的项at，at-1，的加权和的形式：)(lxt2*21*1*0*)(tltltljjtjltaGaGaGaGlx.*达到最小的意义下确定可以在预测误差的方差系数权式中jlG第6页，共68页。由上得以t为原点，向前l步的预测误差为：0*11110)()()(jjtjljltll
4、tlttlttaGGaGaGaGlxxle由于at是白噪声，故有：002jjoaEaajtt第7页，共68页。02*2102222)()()(:jjljlaljjattltGGGleElxxE预测误差的方差为所以.,:*上式达到最小值时当很容易看出jljlGG因此可得xt+l的最小均方误预测为：2211)(tltltltaGaGaGlx预测误差为：1110)()(tlltlttlttaGGaGlxxle误差方差为：102221222122)1()(ljjalatGGGGleE第8页，共68页。由上推导可知，（1）最小均方误预测误差的方差和预测步长l有关，而和预测的时间原点无关。（2）预测步长l
5、越大，预测误差的方差也越大，即预测的准确性越差。第9页，共68页。上述最小均方误预测公式中包含有无穷项求和，而在实际中我们只可能有有限的数据，因此，只能用充分多项的有穷和近似，即：.)(10小于允许值即可的取值只要使TtjtjtTjjtjttaGTaGlx第10页，共68页。第三节 条件期望预测一、条件期望预测的一般公式二、用条件期望进行预测三、ARMA(p,q)模型条件期望预测的一般结果四、ARMA(p,q)条件期望预测的置信区间返回本节首页下一页上一页第11页，共68页。一、条件期望预测的一般公式值的条件期望作为其预测取条件下指在已知条件期望预测)0(,:21lxxxxltttt用公式表示
6、如下：),|()(21tttlttxxxxElx返回本节首页下一页上一页第12页，共68页。有关xt和at的条件期望有如下性质：)0()()0(),|()1(21llxlxxxxxEtlttttlt)0(0)0(),|()2(21llaxxxaElttttlt第13页，共68页。由于：0111101111110jjtjltlltlttltltlltltltaGaGaGaGaGaGaGaGaGx利用条件期望的性质，对上式两端求条件期望，得xt+l 的条件期望预测为：221121),|()(tltltltttlttaGaGaGxxxxElx可见，xt+l 的条件期望预测和它的最小均方误预测是一致的
7、。第14页，共68页。二、用条件期望进行预测1.AR(1)模型的条件期望预测(参见P130)设xt适合如下AR(1)模型:tttaxx11(1)以t为原点，向前一步预测公式(l=1)ttttttttttttttttttttttxxxxaExxxxExxxaxExxxxExaxx1211211211211111),|(),|(),|(),|()1(:得对上式两端求条件期望由返回本节首页下一页上一页第15页，共68页。(2)向前二步预测公式(l=2)1(),|(),|()2(1212112122112ttttttttttttttxxxxaxExxxxExaxx(3)向前l步预测公式(l2)1(),
8、|(),|()(1211121111lxxxxaxExxxxElxaxxttttltlttttlttltltlt第16页，共68页。由上推导可见，对于l0，条件期望预测值 满足如下差分方程：)(lxtltttttltttttxlxxcxxclxxxlxlx111111)(:)1(:)(:0:)0(0)1()(所以得由于是即得为此差分方程的特征方程第17页，共68页。2、AR(2)模型的条件期望预测n设xt适合如下AR(2)模型:ttttaxxx2211(1)以t为原点，向前一步预测公式(l=1)1212111221111211),|(),|()1(tttttttttttttttttxxxxxa
9、xxExxxxExaxxx由第18页，共68页。(2)向前二步预测公式(l=2)tttttttttttttttttxxxxxaxxExxxxExaxxx2121221121222112)1(),|(),|()2(3)向前l步预测公式(l3)2()1(),|(),|()(21212211212211lxlxxxxaxxExxxxElxaxxxtttttltltlttttlttltltltlt第19页，共68页。可见，当l1时，AR(2)预测值可由如下差分方程求出：0)2()1()(21lxlxlxttt(预测值的一般解略)第20页，共68页。3、ARMA(1,1)模型的条件期望预测设1111tt
10、ttaaxx(1)向前一步预测(l=1)tttttttttttttttttaxxxxaaxExxxxExaaxx11211112111111),|(),|()1(:得由第21页，共68页。(2)向前二步预测(l=2)1(),|(),|()2(12111211212112112ttttttttttttttttxxxxaaxExxxxExaaxx(3)向前l步预测公式(l2)1(),|()(1211111lxxxxxElxaaxxttttlttltltltlt第22页，共68页。可见，当l1时，ARMA(1,1)预测值也是由如下差分方程决定的。0)1()(1lxlxttltclx1)(解得：由于：
11、tttaxcx111)1(所以：ttaxc11因此：ltttaxlx111)(第23页，共68页。4、MA(1)模型的条件期望预测n设11tttaax(1)向前一步预测(l=1)ttttttttttttttaxxxaaExxxxExaax12111211111),|(),|()1(:得由第24页，共68页。(2)向前二步预测(l=2)0),|()2(2121122ttttttttxxxxExaax(3)向前l步预测公式(l2)0),|()(21tttlttxxxxElx第25页，共68页。设：qtqttptptttaaaxxxx112211（1）向前一步预测(l=1)：qiqtitpiitit
12、aaxx111111对上式两端求条件期望得：qtqtptpttttttaaxxxxxxEx11112111),|()1(三、ARMA(p,q)模型条件期望预测的一般结果返回本节首页下一页上一页第26页，共68页。(2)向前二步预测公式(l=2)qiqtitpiititaaxx122122qtqtptpttttttaaxxxxxxEx2222112)1(),|()2(3)向前l步预测公式(lp，且l q)qiqltiltpiiltiltaaxx11qltqtlpltptltlttttlttaaxxxlxlxxxxElx)1()2()1(),|()(1211第27页，共68页。(3)向前l步预测公
13、式(lp，且l q)qiqltiltpiiltiltaaxx11)()2()1(),|()(211plxlxlxxxxElxtpttttltt第28页，共68页。由推导可以看出，对于ARMA(p,q)模型的向前l 步预测(lp，且l q)，预测结果满足如下差分方程：0)()2()1()(21plxlxlxlxtpttt（预测值解的一般形式参见课本P134）由解的一般形式可以看出，对于ARMA(p,q)模型，自回归部分决定了预测函数的形式，而滑动平均部分则用于确定预测函数中的系数。第29页，共68页。预测举例：例1：利用对zl14所建立的模型进行预测。先对原序列零均值化，先对原序列零均值化，然后
14、建模如下：ttttaxxx2122.079.0已知：78.3,58.4249250 xx)()3(),2(),1(:250250250250lxxxx以及预测函数求42.9,yyyxyttt则设原序列为第30页，共68页。251249250125022.079.0axxx解：787.278.322.058.479.022.079.0),|()1(249250249250251250 xxxxxEx194.158.422.0787.279.022.0)1(79.0),|()2(250250249250252250 xxxxxEx第31页，共68页。同理：33.0787.222.0194.179.
15、0)1(22.0)2(79.0),|()3(250250249250253250 xxxxxEx第32页，共68页。250250250250250250()0.79(1)0.22(2):()0.79(1)0.22(2)0 xlxlxlxlxlxl即2l当 时，预测值满由模型自回归部分决定的差分方程：解此差分方程即可求出预测函数。第33页，共68页。前已证明，条件期望预测与最小均方误预测是一致的，因此，预测误差和误差方差也是相同的。因此，条件期望的预测误差为：01111()()tt ltt lt llte lxx lG aG aG a 四、ARMA(p,q)条件期望预测的置信区间返回本节首页下一
16、页上一页第34页，共68页。1,)()(,)1,2,1(.0012GBGBBljGajjjjta且确定可由为格林函数的方差为白噪声预测误差的方差为：102221222122)1()()(ljjalattGGGGleEleD其中：第35页，共68页。l=1时的预测误差为：1)()(ttlttalxxle于是有：)1()1(11ttttxxea可见可见ARMA模型中白噪声项模型中白噪声项at其实就是以其实就是以xt-1为原点，为原点，向前一步预测误差。向前一步预测误差。预测误差和白噪声项的关系：再由预测误差方差的公式得：22122)()()1()1(ttattaEaEeEeD可见：向前一步预测误差
17、的方差其实就是白噪声项的方差。可见：向前一步预测误差的方差其实就是白噪声项的方差。第36页，共68页。预测误差的置信区间：对于正态过程，预测误差的分布为：21212221)1(96.1)(latGGGlx所以：对所以：对xt+l预测的预测的95%的置信区间为：的置信区间为：)(,0()(leDNlett因此：)(),(),|(1leDlxNxxxttttlt)1()()(21222122lattGGGleEleD第37页，共68页。222121196.1)3(:,3196.1)2(:,296.1)1(:%951GGxlGxlxlatatat有时当有时当的预测区间为时的当根据预测置信区间的公式得
18、：可见：随着预测步长的加大，预测误差的置信区间也越大，预测结果越不准确。第38页，共68页。例1：zl14磨轮剖面数据，所建模型如下：404.022.079.079.079.01:)2(22.0,07945.222.079.021121102121GGGGARaxxxatttt模型的格林函数得于是由由于第39页，共68页。802.4787.245.296.1787.296.1)1(:%951250axl的预测区间为时的当12.6194.179.0145.296.1194.1196.1)2(:,2221Gxlat有时当42.633.0404.079.0145.296.133.0196.1)3(:
19、,3222221GGxlat有时当于是以t=250为原点，向前一步、二步、三步预测的95%的置信区间分别为：第40页，共68页。yxyyyyxtttt所以因为,42.9,所以对于原序列，以t=250为原点向前一步，二步、三步的预测分别为：42.675.9)3(12.6614.10)2(802.4207.12)1(250250250yyy第41页，共68页。例2.对ARMA21.wf1文件中的序列x建模如下：12158.055.097.0tttttaaxxx58.0,55.0,097121则已知：083.0,336.2,008.1,024.0,172.0248247248249250axxxx的
20、置信区间以及预测值求%95)2(),1(:250250 xx模型的剩余平方和为260.04。第42页，共68页。（1）求预测值解：)3(),2(),1(250250250 xxx25024925024925025025124925024925025125058.055.097.0),|58.055.097.0(),|()1(axxxxaaxxExxxExa250未知，故需先将其求出。由已知数据得：379.0)083.0(58.0)34.2(55.0)008.1(97.0024.058.055.097.0248247248249249axxxa第43页，共68页。578.0)379.0(58.0
21、)008.1(55.0)0236.0(97.0172.058.055.097.0249248249250250axxxa同理：因此：51.0)578.0(58.0)024.0(55.0172.097.058.055.097.0)1(250249250250axxx第44页，共68页。40.0172.055.051.097.055.0)1(97.0),|58.055.097.0(),|()2(250250249250251252250251249250252250 xxxxaaxxExxxEx第45页，共68页。（2）求预测值的95%的置信区间：03.13)2250(04.260a1221302
22、1121110172.055.039.097.039.058.097.01GGGGGGGG由ARMA(2,1)模型的格林函数得：第46页，共68页。所以预测值的95%的置信区间为：02.251.003.196.151.096.1)1(250ax17.240.039.0103.196.140.0196.1)2(221250Gxa第47页，共68页。在Eviews中利用ARMA模型进行预测。（1）Eviews中进行预测时的两个选项。Dynamic动态预测。（含义）Static一步超前预测。（含义）对于ARMA模型：若对序列进行拟合分析(即追溯预测)，则选static。若向前l步预测，则要选dyna
23、mic，并且要先对工作区间、样本区间进行调整如下：(1)expand first t+l (2)smpl t+1 t+l具体操作见演示。第48页，共68页。(2)通过Eviews计算预测置信区间。第49页，共68页。例：根据磨轮剖面数据zl14.wf1，(1)建立模型。(2)模型追溯预测分析。(3)进行外推预测(l=3).第50页，共68页。第四节 适时修正预测一、问题的提出二、适时修正预测公式返回本节首页下一页上一页第51页，共68页。一、问题的提出.,),3(),2(,3,2,1,)3(),2(),1(,111于是提出适时修正预测信息才是最新的而并未利用时刻及以前的信息因为它们只利用了就不
24、能再用原来的等时刻的预测这时对于已成为已知的时候而当到了时刻可得到为原点进行向前预测以时刻在实际进行预测时ttttttttxxtxxttxtxxxt返回本节首页下一页上一页第52页，共68页。二、适时修正预测公式1、适时修正预测公式的推导（1）适时修正预测公式)1()1()(11ttlttxxGlxlx返回本节首页下一页上一页第53页，共68页。2、适时修正预测公式的推导：112312112111)1()1(:)1()(:tltttltltlttltltltaGlxxaGaGaGlxaGaGaGlx于是可得由最小均方误预测公式1110)1()1(:,1,)()(:,ttttljjltjtltt
25、axxelaGlxxleltARMA向前一步预测误差为时当特别地预测误差为步的最小均方误向前为原点模型以时刻又已知第54页，共68页。综合上述推导，可得适时修正预测公式为：)1()1()(11ttlttxxGlxlx上述公式说明：新的预测值是在旧的预测值的基础上，加上一个修正项推算出来的，而这一个修正项比例于旧的一步预测误差，比例系数随着预测超前步数的变化而变化。第55页，共68页。)2(),1(:0.3252251251251xxyyx试计算假设已知例：对于 zl14磨轮剖面数据，解：)1()1()(11ttlttxxGlxlx适时修正预测公式为：所以：362.1)787.23(79.019
26、4.1)1()2()1(2502511250251xxGxx416.0)787.23(404.033.0)1()3()2(2502512250251xxGxx第56页，共68页。第五节 指数平滑预测与ARMA模型一、一次指数平滑预测的原理二、ARIMA(0,1,1)模型的预测返回本节首页下一页上一页第57页，共68页。一、一次指数平滑预测的原理一次指数平滑预测的基本公式为：)1()1()1()1()1(111ttttttxxxxxx其中：01为平滑系数。将上述公式展开得：)1()1()1()1(21ttttxxxx如此展开下去可得：33221)1()1()1()1(tttttxxxxx返回本节
27、首页下一页上一页第58页，共68页。设有ARIMA(0,1,1)模型如下:ttaBxB)1()1(ttttxBBBxBBBxBBa)1()1()1(1)1)(1(1132222将其表示成逆转形式得：返回本节首页下一页上一页二、ARIMA(0,1,1)模型的预测第59页，共68页。上式即为:3221)1()1()1(tttttxxxax对其作向前一步预测可得：22111)1()1()1(),|()1(tttttttxxxxxxEx令1-=，上式可变为：221)1()1()1(ttttxxxx其中，=1-1第60页，共68页。由上述推导推可见：（1）一次指数平滑是ARIMA(0,1,1)模型预测的
28、特例，且ARIMA模型提供了最优方式预测所需要的权数。（2）ARIMA预测也是最小均方误预测，但一次指数平滑预测却不具有这种最优特性。（3）对于ARIMA预测，仅对可逆过程才是有意义的，对于ARIMA(0,1,1)就是要求|1。（4）只有原序列适合于ARIMA(0,1,1)模型时，采用一次指数平滑预测才是合适的。第61页，共68页。所谓传递形式：就是将序列xt的当前值，表示为当前冲击值at 与过去冲击值at-i(i=1,2,3)的线性组合。即:其中，系数函数Gj叫做记忆函数，又叫格林函数(Greens function)。（参见P47、48）0jjtjtaGX附：ARMA模型的传递形式和逆转形
29、式第62页，共68页。n所谓逆转形式：就是以序列的当前值和过去值的线性组合去表示当前的冲击值at。.)1()1()1(022111332211称为逆函数其中系数函数jttjjjtjtjtjtttttxBBxBaaxaxxxx第63页，共68页。AR(2)模型的格林函数：tttttttttaBGBGBGBGBGBGBGBGGaaBGBGBBaaBGBGGaBBxaxBBAR)()()(:)1(1:)(11:)1(:)2(4223122023212110122102212212210221221即移项得设模型得由第64页，共68页。22112211223142231412213122132112021121101100:0:40:30:20:11:0:,jjjjjjGGGGGGjGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGB得的同次幂系数相等比较上式两边第65页，共68页。tttttttaBGBGGBBaBaBGBGGaBBBxaBxBBARMA)(1()1(:)(11:)1()1(:)1,2(22102211221022111221于是移项得模型为设平稳ARMA(2,1)模型的格林函数：第66页，共68页。2:3:2:11:0:,2211122130211211110110jGGGjGGGGGGGGGGBjjj得的同次幂的系数比较上式两端第67页，共68页。第68页，共68页。
