1、19.1 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质9.2 9.2 二重积分的计算法二重积分的计算法9.4 9.4 重积分的应用重积分的应用9.3 9.3 三重积分的概念及计算法三重积分的概念及计算法第第9 9章章 重积分重积分2定积分定积分:推广推广:被积函数被积函数积分范围积分范围二元函数二元函数平面区域平面区域二重积分二重积分三元函数三元函数空间区域空间区域三重积分三重积分一元函数一元函数被积函数被积函数积分范围积分范围区区 间间39.1 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二、二重积分的概念二、二重积分的概念一、问题的提出一、问题的提出三、二重积分的性质三、二重积分的
2、性质四、小结四、小结4.求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出),(yxfz 曲顶柱体体积曲顶柱体体积=特点特点D困难困难曲顶柱体曲顶柱体0),(yxf),(yxfz 以以xOy面上的闭区域面上的闭区域D为底为底,D的边界曲线为准线而母线平行于的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面轴的柱面,侧面以侧面以顶是曲面顶是曲面且在且在D上连续上连续).oyxz曲顶曲顶.顶是曲的顶是曲的.5平顶平顶柱柱体体积体体积=底面积底面积高高 求求曲顶曲顶柱柱体的体积采用体的体积采用“分割、近似代替分割、近似代替、求和、取极限、求和、取极限”的方法解决的方法解决6(1)分割分割相应地此曲顶相
3、应地此曲顶柱体分为柱体分为n个小曲顶柱体个小曲顶柱体.n ,21(用用 表示第表示第i个子域的面积个子域的面积).i 将域将域D任意分为任意分为n个子域个子域(2)近似代替近似代替.),(iiiifV (3)求和求和 niiVV1iiinif ),(1(4)取极限取极限.),(lim10iiniifV .)(max1inidiam 其中其中iii ),(D),(yxfz xzyO),(ii ),(iif 步骤步骤7.求平面薄片的质量求平面薄片的质量.),(lim10iiniiM xyO),(ii i 设有一平面薄片设有一平面薄片,DxOy面上的闭区域面上的闭区域占有占有),(),(yxyx 处
4、的面密度为处的面密度为在点在点Dyx在在假定假定),(,上连续上连续求平面薄片的质量求平面薄片的质量M.iM Miii ),(iinii ),(1i 将将D分割分割成成n个个小块小块(2)近似代替近似代替(1)分割分割(3)求和求和(4)取极限取极限8定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函上的有界函 数，数，二、二重积分的概念二、二重积分的概念 (1)(1)将闭区域将闭区域D任意任意分成分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i i个小闭区域，个小闭区域，也表示它的面积，也表示它的面积，(2 2)在在每每个个i 上上任任取取一一点点
5、),(ii ，作作乘乘积积 ),(iif i ，),2,1(ni，(3)(3)并作和并作和 iiniif ),(1，9,d),(Dyxf 这和式这和式则称此则称此零时零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于趋近于 的极限存在的极限存在,iiniif ),(1极限为函数极限为函数二重积分二重积分,上上的的在在闭闭区区域域 Dyxf),(记为记为即即(4)iiniiDfyxf ),(limd),(10101.对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：(1)2个任意性个任意性,(3)可积的可积的必要条件必要条件:若若f(x,y)在在D上可积上可积,则则f(x,
6、y)在在D上上有界有界.的含义的含义(4)可积的可积的充分条件充分条件:若若f(x,y)在在D上上连续连续,则则f(x,y)在在D上可积上可积.(5)若若f(x,y)在在D上可积上可积,.),(),(DDdvufdyxf 则则.),(,),()6(DDdvuMdyxfV 无界必不可积无界必不可积.0d)2(面面积积元元素素112.二重积分的几何意义二重积分的几何意义.),(,),(,0),()1(顶柱体的体积顶柱体的体积所表示的曲面为顶的曲所表示的曲面为顶的曲为底为底表示以表示以当当yxfDdyxfyxfD .),(,0),()2(VdyxfyxfD 当当.),(,),()3(体体的的体体积积
7、面面下下方方曲曲顶顶柱柱减减去去面面上上方方曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积等等于于上上有有正正有有负负在在若若xoyxoydyxfDyxfD 12xyz111例例 设设D为圆域为圆域222Ryx 二重积分二重积分 DyxR d222=解解 222yxRz 上述积分等于上述积分等于 DyxR d222332R 是上半球面是上半球面,上半球体的体积：上半球体的体积：RyxzOD 0,0,1)1(yxyxdyx.61例例13性质性质当当 为常数时为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf),(),(.),(),(DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）
8、（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质14性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为D的面积，的面积，.1 DDdd 特殊地特殊地.),(),(DDdyxfdyxf )(21DDD 性质性质 若在若在D上上),(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf 则有则有(比较性质比较性质)15 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值，为为 D 的的面面积积，则则性质性质 设函数设函数),(yxf在闭区域在闭区域 D 上连续，上连续，
9、为为 D 的面积，则在的面积，则在 D 上至少存在一点上至少存在一点),(使得使得 性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）DMdyxfm),(),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）16例例 41222222dsinyxyxyx 的值的值=().(A)为正为正(B)为负为负(C)等于等于0(D)不能确定不能确定为非正为非正B17例例 估估计计 DxyyxdI16222 的的值值，其其中中 D：20,10 yx.区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值41 M),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2
10、,1(yx 故故4252 I.5.04.0 I解解)0(yx18例例 比较比较与与 d)(21 DyxI,1)1()2(:22 yxD其中其中oxy 1 12C(2,1).)()(32yxyx d)(32 DyxI的大小的大小,则则()(D)无法比较无法比较.)(21IIA.)(21IIB.)(21IIC 1 yx,),(Dyx,1 yx19(1)设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标y为为偶偶函数函数.Dyxf d),(oxyD1性质性质8 8）即即),(),(yxfyxf 则则D1为为D在第在第 一象一象限中的部分限中的部分,1d),(2Dyx
11、f 坐标坐标y为为奇函数奇函数0d),(Dyxf),(),(yxfyxf 即即则则设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于关于补充补充奇偶奇偶对称性结论对称性结论:20这个性质的这个性质的几何意义几何意义如图如图:OxyzOxyz 区域区域D关于关于x轴对称轴对称f(x,y)关于坐标关于坐标y为偶为偶函数函数 区域区域D关于关于x轴对称轴对称f(x,y)关于坐标关于坐标y为奇函为奇函数数面对称面对称关于关于曲面曲面xozyxfz),(轴对称轴对称关于关于曲面曲面xyxfz),(21（2）若）若D关于关于y轴轴对称，对称，D1为为D在右半平面部分在右半平面部分，.
12、),(),(,),(2),(),(,0),(1yxfyxfdyxfyxfyxfdyxfDD当当当当 则有：则有：类似地类似地,oxyD122设设D为圆域为圆域(如图如图)d2Dy d212 Dy d3Dy0D1为上半圆域为上半圆域yxO例例23,d)sin()sin(22 DyxxyA 计算二重积分计算二重积分 解解D积积分分区区域域)sin()sin(22yxxy 和和由性质得由性质得 Dxy d)sin(2 DyxxyA d)sin()sin(22000 例例,是奇函数是奇函数和和分别关于分别关于yx,轴轴都都对对称称轴轴、关关于于yx d)(sin2yxD 24 今后在计算重积分利用今后
13、在计算重积分利用对称性简化计算对称性简化计算时时,注意注意被积函数的奇偶性被积函数的奇偶性.积分区域积分区域的对称性的对称性,要特别注意考虑两方面要特别注意考虑两方面:25二重积分的二重积分的定义定义二重积分的二重积分的性质性质二重积分的二重积分的几何意义几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结四、小结26思考题思考题1).(d),(1lim22220是是极限极限 yxyxf提示提示:B222 yx是有界闭区域是有界闭区域D:),(yxf设设上的上的连续函数连续函数,(A)(B)(C)(D)不存在不存在.).0,0(f).1,1(f).0,1(f利用积分
14、中值定理利用积分中值定理.27利用利用积分中值定理积分中值定理,解解即得即得:222d),(1lim20 yxyxf求求 222222d),(d),(yxyxfyxf),(lim0 f 222d),(1lim20 yxyxf).0,0(f 由函数的由函数的连续性连续性知知,),(2 f222 yx),(,0时时当当),(点点显然显然,).0,0(其中点其中点是圆域是圆域内的一点内的一点.),(d),(fyxfD 28(A).ddsincos21yxyxD(B).dd21yxxyD (C).ddsincos41yxyxxyD (D)0.A ).(ddsincos等于等于则则yxyxxyD 为顶点
15、的三角形区域为顶点的三角形区域,)1,1()1,1(),1,1(和和平面上以平面上以是是设设xOyDD1是是D在第一象限的部分在第一象限的部分,思考题思考题2dxdyd 29 yxyxxyDddsincos D1D2D3D4记记 I=则则I=I1+I2,其中其中I1=yxxyDdd I2=yxyxDddsincos 而而 I1=yxxyDdd yxxyDDdd21 yxxyDDdd43 D1与与D2关于关于y轴对称轴对称D3与与D4关于关于x轴对称轴对称xy关于关于x和关于和关于y都是奇函数都是奇函数000 )1,1()1,1()1,1(xyO30而而 I2 =yxyxDddsincos yxyxDDddsincos21 yxyxDDddsincos43 是是关于关于x的偶函数的偶函数,yxyxDddsincos21 关于关于y的奇函数的奇函数.所以所以 yxyxDddsincos21 yxyxDddsincos21 21III 0 yxsincosD1D2D3D4)1,1()1,1(xyO )1,1(
