1、一、参数根轨迹一、参数根轨迹 为与以开环增益为参量的普通根轨迹相区别，以非开环增益的其他参量为参变量的根轨迹称为反馈系统的参数根轨迹。绘制参数根轨迹的方法与180和0根轨迹规则一样，只是把特征方程化为如下形式：01Q(S)(s)P绘制参数根轨迹的一般步骤如下：绘制参数根轨迹的一般步骤如下：（1）写出原系统的特征方程；（2）以特征方程式中不含参数的各项去除特征方程，得等效系统的根轨迹方程。该方程中原系统的参数即为等效系统的根轨迹增益；（3）绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。例1:已知控制系统的闭环传递函数为 ，试绘制参数p变化时的根轨迹。44)(2psss解：解：系统特征方程为 ，0
2、42 pss上式和根轨迹方程具有相同的形式，其左边部分 相当于某一开环系统传递函数，称为等效系统开环传递函数，参数p称为等效根轨迹增益。利用根轨迹绘制法则，可以绘出当p从零变化到无穷大时等效系统的根轨迹。也可写成142ssp42ssp（1）起点：s1 2，s2 -2。（2）终点：s1 0，s2-。（3）实轴上的根轨迹存在区间(，0。（4）会合点：据公式 N(s)D(s)N(s)D(s)0可解得2s因为 s 2不在根轨迹上，所以 s 2为会合点。（5）复平面上的根轨迹：可以证明根轨迹在复平面上为半圆，方程为2222根据以上几点，以p为参变量的根轨迹如下图所示。例2:已知单位反馈系统的开环传递函数
3、为 ，的变化范围为0，试绘制系统的闭环根轨迹。)1()(41)(2ssssGK解：解：系统闭环特征方程为 ，04141)(23ssssD也可写成04141123sss等效开环传递函数为 ，21)21()(ssKsG41K，变化范围为0，按照绘制常规根轨迹的基本原则确定根轨迹的各项参数：（1）终点：无开环有限零点。（2）起点：p1 0，p2 p3 。（3）实轴上的根轨迹存在区间(，0。21（4）根轨迹有三条渐近线 （5）根轨迹的分离点：据公式 N(s)D(s)N(s)D(s)0可解得120,180,60,3161,2121ss（6）根轨迹与虚轴的交点。根据闭环特征方程列写Routh表如下4414
4、1411123sss当1时，Routh表的s1行元素全为零，辅助方程为041)(2 ssA解得212,1js作系统参数根轨迹如下图所示。)0,1,2,(2180-)p(s-)z(sG(s)H(s)K1)()(|G(s)H(s)|1G(S)H(S)0G(S)H(S)-1 n1jm1in1jm1i11相角条件幅值条件分别为故幅值条件和相角条件对于正反馈系统jijinjjmiipszs二、零度根轨迹二、零度根轨迹 零度根轨迹的绘制，原则上可参照常规根轨迹的绘制法则，但在与零度根轨迹的绘制，原则上可参照常规根轨迹的绘制法则，但在与相角条件有关的一些法则中，需作适当调整。相角条件有关的一些法则中，需作适
5、当调整。下面给出绘制零度根轨迹的基本法则：（1）根轨迹的起点、终点和条数同常规根轨迹。（2）实轴上的根轨迹存在的区间为其右侧实轴上的开环零点和极点个数之和为偶数。（3）根轨迹的分离点和会合点的计算方法同常规根轨迹。（4）根轨迹的渐近线与实轴的交点的计算方法同常规根轨迹。倾角的计算公式为 （5）根轨迹的出射角和入射角的计算公式为 （6）根轨迹与虚轴交点的计算方法同常规根轨迹。其它性质均同常规根轨迹。2,1,0m-n2180njjmiirnjjmii111111C （1）起点：s1 0，s2-1，s3-5。（2）终点：三条根轨迹都趋向无穷远。（3）实轴上根轨迹存在的区间为-5,-1,(0,+)。（
6、4）计算分离点：N(s)1，D(s)s(s1)(s5)代入计算公式解得 s1 3.52 s2 0.48 由于 0.48不在根轨迹上，所以根轨迹的分离点为3.52。（5）根轨迹的渐近线 倾角 交点 根据以上几点，可绘出系统的零度根轨迹如下图所示。例3：设单位正反馈系统的开环传递函数为 ,试绘制根轨迹。5)1)(ss(sK(s)GK解：解：绘制步骤如下：120,120,0m-n21802030510-11amnzpnjmiij-2Z j-1pj,-1p-3,p 1m3,n )1(1321 开开环环零零点点开开环环极极点点.0 1)222)(3(2)k(sG(s)H(s)0)()(1,:根根轨轨迹迹
7、的的规规则则来来绘绘制制因因此此需需按按这这样样根根轨轨迹迹方方程程为为则则有有因因给给定定系系统统为为正正反反馈馈解解 ssssHsG例例4：设某正反馈系统的开环传函为设某正反馈系统的开环传函为试绘制该系统的根轨迹图，确定临界增益试绘制该系统的根轨迹图，确定临界增益KC。)22)(3()2()()(2ssssKsHsG 180,0 (2)aa无需计算渐近线3K0 3KRouth 6.71 6.71 (4)-0.8s 02236s21s4s 0(s)DN(s)-(s)D(s)N (3)Cp3p223判据可求得由临界增益出射角得由公式根轨迹与实轴交点-3-2-1p2p3k1p1Kc=3 :.)1
8、64(3)2S-k(-SG(S)H(S).)(S:.22解图试绘制该系统的根轨迹开环传递函数为设某非最小相位系统的例零点或极点和平面的右半部具有开环非最小相位系统平面的左半部点均位于反馈系统的全部开环极最小相位系统迹非最小相位系统的根轨三SSSS3.07k,3.14 0k 0,3.5 3.5 3.6 02 1 Z-3 Z3j2-2P 0P 1)164(3)-2Sk(S :1)164(3)2S-k(-S 3,21P3P2a21212222mnlSSSSSS标准化处理为 -1)()(0)()(1 2.)()(1)(R(S)C(S):)()(S)X(S)X )-(tX(t)X .,)()(:1.11
9、121212SSSsSSeSHSGeSHSGeSHSGeSGeSXeSXtXtX根轨迹方程为特征方程为时滞系统的根轨迹为时滞系统包含时滞环节的系统称时滞系统为时滞这种环节称为时滞环节滞后一定时间比其输入信号输出信号时滞环节时滞系统时滞系统的根轨迹四X2(t)X1(t)C(S)G(S)H(S)R(S)-se 180 -1 :.G(S)H(S).3.57360180)P-(S-)Z-(S )(3.57)(e ee 360180e)P-(S-)Z-(S )j(S 1e 1ke1m1n1iis-j)j(-s-m1n1s-ii-s-11根轨迹绘制故按根轨迹方程为解迹草图试绘制时滞系统的根轨开环传函为设某
10、负反馈时滞系统的例故有相角条件幅值条件SSkeiiiiPSZSksiniimiiradeei分支分支复平面内的完整根轨迹复平面内的完整根轨迹按上述方法可绘制在按上述方法可绘制在区间内选取一系列值，区间内选取一系列值，在虚轴在虚轴即满足即满足便是满足相角条件的点便是满足相角条件的点两直线的交点两直线的交点直线直线的的角为角为做一条与实轴正方向夹做一条与实轴正方向夹过开环极点过开环极点做实轴的平行线做实轴的平行线并过点并过点在虚轴上选一点在虚轴上选一点相角条件的点相角条件的点现在在复平面寻找满足现在在复平面寻找满足则相角条件写成则相角条件写成令令复平面上的根轨迹复平面上的根轨迹根轨迹的相角条件相同
11、根轨迹的相角条件相同故与绘制故与绘制所以相角条件变为所以相角条件变为在实轴上由于在实轴上由于实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹c.3.57180)1(,3.571801b.),0(,a.jS 57.318057.31801)(s 57.31801)(s-:,0 )2(180 i3601801S-,0 )1(1111111111jjSPji.645.0 ,1 1)(s arctg ,(4)/-(1 0 /,-s )(lim lim lim )3(1js1dsd-s)1()(-s1-s图图由由此此绘绘制制出出主主根根轨轨迹迹如如解解得得时时则则坐坐标标设设根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点分分离离点点坐坐标标为为根根轨轨迹迹趋趋向向与与直直线线时时当当环环极极点点也也是是给给定定系系统统的的一一个个开开由由于于实实轴轴的的根根轨轨迹迹arctgarctgKeKsesssKesKeSdsdSdsdS-1i=0i=0i=1i=1K 00j主根轨迹图j2jj2j
