1、2022-8-102 6.1 6.1 引言引言 6.2 6.2 周期序列的离散时间傅立叶级数（周期序列的离散时间傅立叶级数（DFSDFS）6.3 6.3 非周期序列的离散时间傅立叶变换（非周期序列的离散时间傅立叶变换（DTFTDTFT）6.4 6.4 周期序列的离散时间傅里叶变换周期序列的离散时间傅里叶变换 6.5 6.5 离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的性质 6.6 6.6 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFTDFT）6.7 6.7 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 6.8 6.8 用离散傅里叶变换近似分析连续时间信号用离散傅里叶变换近似分析连续时间信号 6.9 6.9
2、 离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析 6.10 6.10 应用实例应用实例电力系统谐波分析电力系统谐波分析 习题习题6.6 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）2022-8-105 傅里叶变换建立了信号的时域特性与其频谱特性之间的关傅里叶变换建立了信号的时域特性与其频谱特性之间的关系，在信号与系统的分析、处理方面具有鲜明的物理意义及重系，在信号与系统的分析、处理方面具有鲜明的物理意义及重要的应用作用，是不可或缺的重要分析工具。随着计算机技术要的应用作用，是不可或缺的重要分析工具。随着计算机技术的发展及其在工程领域的越来越深入和广泛的应用，自然，我的发展及其在工程领域的越来越深入和
3、广泛的应用，自然，我们也们也希望能用计算机技术完成傅里叶分析希望能用计算机技术完成傅里叶分析。前面我们已经建立了前面我们已经建立了四种形式的傅里叶变换四种形式的傅里叶变换:在第在第3 3章，建章，建立了连续时间下的傅里叶级数变换立了连续时间下的傅里叶级数变换FSFS和傅里叶变换和傅里叶变换FTFT，这两种，这两种傅里叶变换中，其时域变量或频域变量两者至少有一个是连续傅里叶变换中，其时域变量或频域变量两者至少有一个是连续变量。因此，这两种形式的傅里叶变换都是无法利用计算机实变量。因此，这两种形式的傅里叶变换都是无法利用计算机实现的。现的。在在本本章，建立了离散时间傅里叶级数变换章，建立了离散时间
4、傅里叶级数变换DFSDFS和离散时间傅和离散时间傅里叶变换里叶变换DTFTDTFT。在。在DTFTDTFT中，频域变量是连续的，因此，它也无中，频域变量是连续的，因此，它也无法利用计算机实现。只有法利用计算机实现。只有DFSDFS，其时域变量和频域变量都是离散，其时域变量和频域变量都是离散的，具备由计算机实现的的，具备由计算机实现的可能性可能性。6.6 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）2022-8-106 但是，我们考查但是，我们考查DFSDFS的变换式不难发现，其无论是时域的变换式不难发现，其无论是时域序列序列 还是频域序列还是频域序列 ，都是无限长序列。计算，都是无限长序列。计算机
5、是不可能计算无限长序列的，因此，机是不可能计算无限长序列的，因此，DFSDFS也是无法利用计也是无法利用计算机实现的。算机实现的。为了能由计算机完成傅里叶变换，为了能由计算机完成傅里叶变换，必须寻找新的途径必须寻找新的途径。考查考查DFSDFS的变换式，虽然其无论是时域序列还是频域序的变换式，虽然其无论是时域序列还是频域序列都是无限长的，但是却列都是无限长的，但是却都是以都是以N N为周期的周期序列为周期的周期序列。对于。对于周期序列，如果已知一个周期的序列值，则将其以周期序列，如果已知一个周期的序列值，则将其以N N为周期为周期进行周期扩展，就能得到长度为无限长的周期序列。进行周期扩展，就能
6、得到长度为无限长的周期序列。有鉴如此，我们在计算有鉴如此，我们在计算DFSDFS时，可以不必计算无限长序时，可以不必计算无限长序列值，列值，只要将其一个周期的序列值进行计算，得到了一个周只要将其一个周期的序列值进行计算，得到了一个周期的序列值，即可通过周期扩展而得到整个序列值期的序列值，即可通过周期扩展而得到整个序列值。这里通。这里通常取主值周期进行计算。常取主值周期进行计算。)(nxN)(kXN2022-8-107由由DFS定义式：定义式：式中，式中，是周期为是周期为N的时域序列，的时域序列，是周期为是周期为N的频域序列。的频域序列。对对 及及 只取主值周期，分别变成只取主值周期，分别变成
7、及及 ，得到：，得到：令令 ，代入上式有：代入上式有：6.6 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）kenxNkXnekXnxNnnNjkNNNkkNjnNN,)(1)(,)()(22)(nxN)(kXN)(nxN)(kXN)(1kX)(1nx10,)(1)(10,)()(1021110211NkenxNkXNnekXnxNnnNjkNkkNjn)()(1kXkNX)()(1nxnx10,)()(10,)(1)(102102NkenxkXNnekXNnxNnnNjkNkkNjn2022-8-108引入符号引入符号 ，称为旋转因子，代入上式有，称为旋转因子，代入上式有：该式称为离散傅里叶变换式
8、，即该式称为离散傅里叶变换式，即DFTDFT。它定义了时域的。它定义了时域的N N点有限长序点有限长序列变换为频域的列变换为频域的N N点有限长序列的离散傅里叶变换。点有限长序列的离散傅里叶变换。可见，可见，DFT是将是将DFS的主值序列提取出来定义的一种变换对，因此的主值序列提取出来定义的一种变换对，因此其与其与DFS具有完全相同的形式。具有完全相同的形式。DFS是经过严格数学论证得到的变换对，是经过严格数学论证得到的变换对，而而DFT是为了适应计算机的运算而建立的时域及频域有限长序列的变是为了适应计算机的运算而建立的时域及频域有限长序列的变换对。换对。DFS是符合实际信号特性的，它反映了信
9、号的客观物理现象，而是符合实际信号特性的，它反映了信号的客观物理现象，而DFT则不然，因为在实际物理信号中，不可能存在时域是离散的而频则不然，因为在实际物理信号中，不可能存在时域是离散的而频域却是非周期的、或者频域是离散的而时域却是非周期的信号。域却是非周期的、或者频域是离散的而时域却是非周期的信号。6.6 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）NjNeW2)626(10,)()()616(10,)(1)(1010NkWnxkXNnWkXNnxNnknNNkknN2022-8-109由由DFT的定义可知，的定义可知，DFT与与DFS存在如下的关系：存在如下的关系：即即DFS的主值序列即为的主
10、值序列即为DFT的序列，的序列，DFT序列以序列以N为周期的周期扩展为周期的周期扩展序列即为序列即为DFS的序列。的序列。比较比较DFT与与DTFT的变换式，有：的变换式，有：该式表明，该式表明，X(k)为为 的的N点等间隔采样。可见，有限长序列点等间隔采样。可见，有限长序列x(n)的的离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 可以用可以用DFT来计算，其用来计算，其用DFT计算的计算的 X(k)就就是是 的频域抽样。只要满足抽样定理，就可以由的频域抽样。只要满足抽样定理，就可以由 X(k)中恢复原连中恢复原连续信号的频谱。因此若对连续时间信号利用抽样得到的序列进行续信号的频谱。因此若对连续时间信
11、号利用抽样得到的序列进行DFT变变换，就可以近似分析其频谱。换，就可以近似分析其频谱。(2)(3)6.6 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）)646()()()636()()(NNNkXkNXnxnxkNkjeXnxDFTkX20)()()()(jeX)(jeX)(jeX2022-8-1010 DFT与与DFS具有类似的性质，掌握具有类似的性质，掌握DFT的性质，对于的性质，对于DFT的运算及应的运算及应用具有重要作用。用具有重要作用。6.7 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质6.7.1 线性线性若：若：则：则：)()(11nxDFTkX)()(22nxDFTkX)()()()(2
12、121kXkXnxnxDFT6.7.2 周期性周期性若：若：则：则：)()(nxDFTkX)()(kXmNkX（1）频域周期性频域周期性证明：证明：10)()()(NnnmNkNWnxmNkX10)(NnnmNNknNWWnx)()(10kXWnxNnknN（2）时域周期性时域周期性若：若：则：则：)()(nxDFTkX)()(nxmNnx2022-8-1011由由DFT的定义式有：的定义式有：设设x(n)为实序列为实序列，对上式两边取共轭对上式两边取共轭：（1）将）将X(k)写为实部与虚部的形式写为实部与虚部的形式：6.7 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质10)()(NnknNWnx
13、kX)()()()()(10*10*kNXkXWnxWnxkXNnknNNnknN)()()(kjXkXkXIR（6-69）由（由（6-69）式有：）式有：)746()()()736()()(kNXkXkNXkXIIRR可见，可见，具有偶函数特性，而具有偶函数特性，而 具有奇函数特性。具有奇函数特性。)(kXR)(kXI（2）将）将 写为模与幅角的形式：写为模与幅角的形式：)(kX)(arg)()(kXkXkX类似地可以得到：类似地可以得到：)776()(arg)(arg)766()()(kNXkXkNXkX可见，可见，|X(k)|具有偶函数特性，而具有偶函数特性，而argX(k)具有奇函数特
14、性。具有奇函数特性。6.7.3 奇偶性和对称性奇偶性和对称性6.7 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质2022-8-10126.7.4 时频互易特性时频互易特性若：若：则：则：)()(kXnxDFT)()(1kxnXNDFT（6-78）式（式（6-78）表明，如果序列）表明，如果序列 x(n)的的DFT为为 X(k)，则当时域序列的表达式具有则当时域序列的表达式具有X(n)的形状时，其对应的的形状时，其对应的DFT的频域序列则具有的频域序列则具有x(-k)的形状。的形状。6.7.5 时域循环移位特性时域循环移位特性 对有限长序列对有限长序列x(n)的移位序列为的移位序列为x(n-m)，从
15、一般意义讲，这是序列，从一般意义讲，这是序列x(n)移移位位m位后形成的序列，但是，对于位后形成的序列，但是，对于DFT来讲，由于来讲，由于DFT具有隐含周期性，故具有隐含周期性，故这个移位要用循环移位。记为：这个移位要用循环移位。记为：)()(nRmnxNN6.7 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质2022-8-1013若：若：则：则：)()(kXnxDFT)()()(kXWnRmnxDFTmkNNN式式（6-79）说明，序列的时域循环移位，对应于频域的移相。说明，序列的时域循环移位，对应于频域的移相。6.7.6 频域循环移位特性频域循环移位特性若：若：则：则：)()(kXnxDFT)
16、()()(mnNNNWnxDFTkRmkX式式（6-80）说明，序列的频域循环移位，对应于时域序列乘上一个虚指说明，序列的频域循环移位，对应于时域序列乘上一个虚指数序列，这相当于时域的调制。数序列，这相当于时域的调制。（6-79）（6-80）2022-8-10146.7 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质（1）线性卷积）线性卷积线性卷积的定义式为：线性卷积的定义式为：mmnxmxnxnxnx)()()(*)()(2121设设 的长度为的长度为L，的长度为的长度为M)(1nx)(2nx由（由（6-81）式可知：）式可知：（6-81）对于对于 有：有：对于对于 有：有：)(1mx)(2mnx
17、10Lm10Mmn将这两个不等式相加，有：将这两个不等式相加，有：1)1(0MLn（6-82）可见，线性卷积结果的序列长度是与参与卷积运算的两个有限长序列可见，线性卷积结果的序列长度是与参与卷积运算的两个有限长序列的长度有关的。的长度有关的。（2）循环循环卷积卷积定义循环卷积为：两个长度均为定义循环卷积为：两个长度均为N的有限长序列的有限长序列 与与)(1nx)(2nxmNNCmRmnxmxnxnxnx)()()()()()(2121（6-83）循环卷积循环卷积的长度的长度是与是与N有关的，称为有关的，称为N点循环卷积点循环卷积。6.7.7 时域循环卷积特性时域循环卷积特性2022-8-101
18、56.7 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质（3）循环卷积与线性卷积的关系）循环卷积与线性卷积的关系对于对于长度为长度为 L 的序列的序列 与与长度为长度为 M 的序列的序列 其线性卷积其线性卷积的长度为的长度为 L+M-1，循环卷积的长度为，循环卷积的长度为 N，计算循环卷积是为计算循环卷积是为了得到了得到线性卷积的结果线性卷积的结果。因此，因此，要使循环卷积的结果完全包含线性卷积的结果，要使循环卷积的结果完全包含线性卷积的结果，必须满足：必须满足：在满足（在满足（6-84）式的条件下，循环卷积的前）式的条件下，循环卷积的前 L+M-1个值个值就正好是线性卷积的结果。就正好是线性卷积的
19、结果。)(1nx)(2nx1MLN（6-84）（4）时域循环卷积特性）时域循环卷积特性若：若：则：则：)()(11nxDFTkX)()(22nxDFTkX)()()()(2121kXkXnxnxDFT式（式（6-85）说明，两个有限长序列的循环卷积的离散傅里叶变换，）说明，两个有限长序列的循环卷积的离散傅里叶变换，等于该两个序列的离散傅里叶变换的乘积。等于该两个序列的离散傅里叶变换的乘积。该特性提供了一条利用离散傅里叶变换计算循环卷积的途径。该特性提供了一条利用离散傅里叶变换计算循环卷积的途径。（6-85）2022-8-10166.7 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质图图6-13 离散
20、傅里叶变换计算卷积原理框图离散傅里叶变换计算卷积原理框图 利用该特性，可以将求取系统零状态响应的方法由时域的卷积变换利用该特性，可以将求取系统零状态响应的方法由时域的卷积变换到频域的乘积来实现。虽然这样要花费的步骤更多，但是由于到频域的乘积来实现。虽然这样要花费的步骤更多，但是由于DFT具具有快速算法有快速算法 FFT，其实际花费的计算时间却更少，因而使得该方法成，其实际花费的计算时间却更少，因而使得该方法成为计算机计算零状态响应的重要方法。为计算机计算零状态响应的重要方法。2022-8-10176.7 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 例例6-5 已知已知4点有限长序列点有限长序列
21、x1(n)=1，1，1，1 和和 3点有限长序列点有限长序列x2(n)=1，2，3。（1）求线性卷积）求线性卷积m-3-2-1 012345000111100032100000100321000030003210006000032100600000321050000003213)(nx)(1mx)0(2mx)1(2mx)2(2mx)3(2mx)4(2mx)5(2mx即：即：x(n)=1，3，6，6，5，3 m012345111100100032121000333210006032100600321050003213m012345671111000010000032121000003332100
22、00060321000060032100050003210030000321000000032106.7 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质2022-8-1018（2）求求4点循环卷积点循环卷积m0123111110326210363210603216)(nx)(1mx)0(2mx)1(2mx)2(2mx)3(2mx（3）求求6点循环卷积点循环卷积)(nx)(1mx)0(2mx)1(2mx)2(2mx)3(2mx)4(2mx)5(2mx（4）求求8点循环卷积点循环卷积)(nx)(1mx)0(2mx)1(2mx)2(2mx)3(2mx)4(2mx)5(2mx)6(2mx)7(2mx2022
23、-8-1019%Matlabn=0:3;x1=1.n;subplot(2,3,1);stem(n,x1);%x1(n)波形波形axis(-0 8 -0.1 1.2);xlabel(n);title(x1(n);%-n=0:2;x2=n+1;subplot(2,3,2);stem(n,x2);%x2(n)波形波形axis(-0 8 -0.3 3.5);xlabel(n);title(x2(n);6.7 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质%(1)线性卷积线性卷积xc1=conv(x1,x2);n=0:5;subplot(2,3,3);stem(n,xc1);axis(-0 8 -0.7 7)
24、;xlabel(n);title(x1(n)*x2(n);%(2)N点循环卷积点循环卷积N=4;%N=6;N=8;X1=fft(x1,N);X2=fft(x2,N);X=X1.*X2;xc2=ifft(X,N);n=0:N-1;subplot(2,3,4);stem(n,xc2);axis(-0 8 -0.5 7);xlabel(n);title(x1(n)*x2(n),N=4);0246800.51nx1(n)024680123nx2(n)024680246nx1(n)*x2(n)024680246nx1(n)*x2(n),N=4024680246nx1(n)*x2(n),N=6024680
25、246nx1(n)*x2(n),N=82022-8-1020式（式（6-86）说明，两个有限长序列时域的乘积的离散傅里叶变换，等）说明，两个有限长序列时域的乘积的离散傅里叶变换，等于该两个序列的离散傅里叶变换的循环卷积除以于该两个序列的离散傅里叶变换的循环卷积除以N。长序列矩形加窗或说截短后，频谱发生了改变。长序列矩形加窗或说截短后，频谱发生了改变。6.7 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质若：若：则：则：)()(11nxDFTkX)()(22nxDFTkX（6-86）)()(1)()(2121kXkXNnxnxDFT6.7.8 帕塞瓦尔能量定理帕塞瓦尔能量定理若：若：则：则：)()(n
26、xDFTkX102102)(1)(NkNnkXNnx式（式（6-87）说明，序列的时域能量与频域能量是相等的。）说明，序列的时域能量与频域能量是相等的。（6-87）6.7.7 频域循环卷积特性频域循环卷积特性2022-8-10216.8 用离散傅里叶变换近似分析连续时间信号用离散傅里叶变换近似分析连续时间信号 工程实际中遇到的信号，大多为非周期连续时间信号，而工程实际中遇到的信号，大多为非周期连续时间信号，而且往往也不存在数学表达式。对这样的信号进行且往往也不存在数学表达式。对这样的信号进行DFT分析，分析，具有重要和普遍的工程实际意义。具有重要和普遍的工程实际意义。6.8.1 6.8.1 近
27、似分析的方法近似分析的方法 设连续时间信号为设连续时间信号为x1(t)，其频谱为，其频谱为X1(j)，如图，如图6-15（a）。）。由于由于DFT只能对有限长离散时间信号进行运算，故首先要只能对有限长离散时间信号进行运算，故首先要对对x1(t)进行抽样，成为离散时间序列进行抽样，成为离散时间序列x2(n)，时域的离散化，时域的离散化导致频域的周期化，故其频谱为导致频域的周期化，故其频谱为X2(j)，如图，如图6-15（b）。）。为使为使x2(n)成为有限长序列，必须截短使其长度为成为有限长序列，必须截短使其长度为N 的序列的序列x3(n)。时域的截短，最简单的方法是将时域序列乘以矩形。时域的截
28、短，最简单的方法是将时域序列乘以矩形窗序列，由傅里叶变换的频域卷积特性可知，截短后的信窗序列，由傅里叶变换的频域卷积特性可知，截短后的信号的频谱是原信号的频谱与矩形窗函数的频谱的卷积。因号的频谱是原信号的频谱与矩形窗函数的频谱的卷积。因此截短后的信号的频谱为此截短后的信号的频谱为X3(j)，如图，如图6-15（c）。）。2022-8-1022 由图由图6-15（c），信号的频），信号的频谱谱X3(j)仍为连续函数，为仍为连续函数，为了能用计算机运算，还必须了能用计算机运算，还必须对频谱进行离散化，也就是对频谱进行离散化，也就是进行频域抽样，得到进行频域抽样，得到X4(k)，而频域抽样导致时域周
29、期化而频域抽样导致时域周期化为为x4(n)，如图，如图6-16（d）。）。只要使序列时域一个周期的只要使序列时域一个周期的点数与其频域一个周期的点数点数与其频域一个周期的点数都为都为N，就可以利用，就可以利用DFT计算计算两者之间的变换。两者之间的变换。下面下面从变换公式对上述过程从变换公式对上述过程进行分析。进行分析。6.8.1 6.8.1 近似分析的方法近似分析的方法6.8.1 6.8.1 近似分析的方法近似分析的方法2022-8-1023已知非周期连续时间信号已知非周期连续时间信号x(t)的连续时间傅里叶变换为：的连续时间傅里叶变换为：（1）首先对）首先对x(t)进行抽样，进行抽样，Ts
30、为抽样周期，为抽样周期，fs为抽样频率。为抽样频率。（2）再对）再对x(n)截短为截短为N点长度，有：点长度，有：dtetxjXtj)()(（6-88）snTttxnx)()(式（式（6-88）中，）中，dt=(n+1)Ts-n Ts=Ts，积分变为求和，有：，积分变为求和，有：snTjnTenxjXs)()(snTjNnsenxTjX)()(10（6-90）（6-92）2022-8-10246.8.1 6.8.1 近似分析的方法近似分析的方法（3）再对）再对X(j)进行频域离散化，频域抽样间隔为进行频域离散化，频域抽样间隔为0，有：，有：)()()(00kXjkXjXk保证对保证对X(j)的
31、一个周期宽度抽样的一个周期宽度抽样N个点，即：个点，即：0Ns0NFfs，或，或（6-94）频域抽样导致时域周期化，其周期为频域抽样导致时域周期化，其周期为 ，有：，有：001TFT0=NTs（6-95）于是，（于是，（6-93）式可写为：式可写为：snTjkNnskenxTjXkX00)()()(10)()(210nxDFTTenxTSkNjnNns)()(nxDFTTkXS（6-98）即：即：（6-98）式说明，在已知）式说明，在已知x(t)的情况下，可用的情况下，可用DFT对其频谱近似分析。对其频谱近似分析。同理：同理：)()()(kXIDFTNtxnxsnTt（6-99）（6-93）N
32、Tss22002022-8-10256.8.2 6.8.2 近似分析出现的问题近似分析出现的问题 由于利用由于利用 DFT DFT 对对x(t)进行频谱分析时，必须对时域离散化，这必导进行频谱分析时，必须对时域离散化，这必导致频域周期化。致频域周期化。为使为使x(n)为为 N N 点有限长序列，必须对点有限长序列，必须对其其进行截短，导致信号为有限进行截短，导致信号为有限长时间信号。长时间信号。由傅里叶变换特性由傅里叶变换特性(见图见图3-8)3-8)，时域有限长信号其频域必为无限宽频，时域有限长信号其频域必为无限宽频谱。谱。由于这三个方面的原因，利用由于这三个方面的原因，利用 DFT DFT
33、 分析连续时间信号的频谱，必然出分析连续时间信号的频谱，必然出现频谱混叠现象，如图现频谱混叠现象，如图6-156-15（c c）所示。）所示。频谱混叠现象的出现，导致分析计算的频谱的结果与信号的真实频谱频谱混叠现象的出现，导致分析计算的频谱的结果与信号的真实频谱之间出现误差。利用之间出现误差。利用DFTDFT分析连续时间信号的频谱，频谱混叠是不可避免分析连续时间信号的频谱，频谱混叠是不可避免的，我们只能寻找措施尽量减少误差，使其能达到工程要求。的，我们只能寻找措施尽量减少误差，使其能达到工程要求。（1 1）频谱混叠频谱混叠2022-8-1026 减少混叠误差减少混叠误差可采取的措施：可采取的措
34、施：可以对连续时间信号采取抗混叠滤波。实际的工程信号的有效带宽可以对连续时间信号采取抗混叠滤波。实际的工程信号的有效带宽总是有限的，抗混叠滤波实际上就是一个低通滤波器，使该滤波器总是有限的，抗混叠滤波实际上就是一个低通滤波器，使该滤波器的截止频率不低于信号的最高有效频率，于是，经抗混叠滤波后的的截止频率不低于信号的最高有效频率，于是，经抗混叠滤波后的信号，就会近似成为频带有限信号，该信号频谱周期化后，其频谱信号，就会近似成为频带有限信号，该信号频谱周期化后，其频谱混叠造成的影响就会减少。混叠造成的影响就会减少。可以加大连续时间信号的抽样频率可以加大连续时间信号的抽样频率。抽样频率越大，频谱周期
35、化时，抽样频率越大，频谱周期化时，相邻周期的间隔距离也越大，其频谱混叠造成的影响也会越少。相邻周期的间隔距离也越大，其频谱混叠造成的影响也会越少。抗混叠滤波器越接近理想低通滤波器，效果越好，当然，这必然导抗混叠滤波器越接近理想低通滤波器，效果越好，当然，这必然导致滤波器越复杂，成本越高。致滤波器越复杂，成本越高。抽样频率越高，抗混叠效果越好，当然，这也必然导致同样时间长抽样频率越高，抗混叠效果越好，当然，这也必然导致同样时间长度内抽样数据点数的增加，要求抽样器件的工作频率越高，抽样数据度内抽样数据点数的增加，要求抽样器件的工作频率越高，抽样数据的存储容量越大，的存储容量越大，DFTDFT计算的
36、数据量越大，计算所花费的时间越长，造计算的数据量越大，计算所花费的时间越长，造成系统的实时性越低。成系统的实时性越低。对抗混叠滤波器及抽样频率的选择，不可盲目追求高性能，而应以对抗混叠滤波器及抽样频率的选择，不可盲目追求高性能，而应以工程实际需求为目标，达到工程误差允许即可。工程实际需求为目标，达到工程误差允许即可。6.8.2 6.8.2 近似分析出现的问题近似分析出现的问题2022-8-10276.8.2 6.8.2 近似分析出现的问题近似分析出现的问题（2 2）频谱泄露频谱泄露 利用利用 DFT DFT 分析连续时间信号的频谱，一般在将分析连续时间信号的频谱，一般在将x(t)抽样为序列后，
37、必抽样为序列后，必须对其截短为长度为须对其截短为长度为 N N 的有限长序列。时域序列的截短，最简单的方法的有限长序列。时域序列的截短，最简单的方法就是将时域序列与长度为就是将时域序列与长度为N N的矩形序列相乘。由的矩形序列相乘。由DFTDFT的频域卷积性质可知，的频域卷积性质可知，时域信号的乘积，对应于其频谱的卷积，即：时域信号的乘积，对应于其频谱的卷积，即：)(*)()()(kRkXnRnxNN时域截短不可避免要产生频谱泄露，时域截短不可避免要产生频谱泄露，工程上只能设法减少频谱泄露的影响。工程上只能设法减少频谱泄露的影响。2022-8-1028时域矩形窗序列及其频谱如图时域矩形窗序列及
38、其频谱如图6-18所示：所示：6.8.2 6.8.2 近似分析出现的问题近似分析出现的问题它有主瓣和旁瓣，正是矩形窗的频谱特性引起了频谱泄露它有主瓣和旁瓣，正是矩形窗的频谱特性引起了频谱泄露。050100-2024kX(k):N=100,N1=3050100-20246kX(k):N=100,N1=5050100-5051015kX(k):N=100,N1=10 不论选择什么样的宽度，其主瓣宽度与旁瓣幅度总是对立的，不论选择什么样的宽度，其主瓣宽度与旁瓣幅度总是对立的，主瓣越窄，其旁瓣越高，反之，旁瓣越低，其主瓣越宽。主瓣越窄，其旁瓣越高，反之，旁瓣越低，其主瓣越宽。2022-8-10296.
39、8.2 6.8.2 近似分析出现的问题近似分析出现的问题 要想较好地控制频谱泄露，在选择矩形窗截短的情况下，要想较好地控制频谱泄露，在选择矩形窗截短的情况下，只能在边沿的陡峭性与平坦部分的起伏性之间做选择。要只能在边沿的陡峭性与平坦部分的起伏性之间做选择。要么追求边沿的陡峭性而不计平坦部分的起伏性，要么追求么追求边沿的陡峭性而不计平坦部分的起伏性，要么追求平坦部分的起伏性而不计边沿的陡峭性。要两方面同时最平坦部分的起伏性而不计边沿的陡峭性。要两方面同时最优是不可能的。优是不可能的。为了更好地抑制旁瓣，人们发明了不同于矩形窗为了更好地抑制旁瓣，人们发明了不同于矩形窗（w=boxcar(N)）的许
40、多窗函数，常见的有三角形窗）的许多窗函数，常见的有三角形窗（w=triang(N)）、）、bartlett窗（窗（w=bartlett(N)）、）、hamming窗（窗（w=hamming(N)）、）、hanning窗（窗（w=hanning(N)）、）、blackman窗（窗（w=blackman(N)）、）、chebyshev窗窗（w=chebwin(N)）、）、kaiser窗（窗（w=Kaiser(N,b)）等，如图）等，如图6-206-22所示，。这些窗函数在牺牲主瓣宽度下，能够起所示，。这些窗函数在牺牲主瓣宽度下，能够起到降低旁瓣的作用。到降低旁瓣的作用。0102000.51n（a）
41、矩 形 窗0102000.51n（b）三 角 形 窗0102000.51n（c）bartlett窗0102000.51n（d）hamming窗0102000.51n（e）hanning窗0102000.51n（f）blackman窗0102000.51n（g）chebyshev窗0102000.51n（h）kaiser窗2022-8-10306.8.2 6.8.2 近似分析出现的问题近似分析出现的问题00.5100.51w/pi（Fa）矩 形 窗00.5100.51w/pi（Fb）三 角 形 窗00.5100.51w/pi（Fc）bartlett窗00.5100.51w/pi（Fd）hammi
42、ng窗00.5100.51w/pi（Fe）hanning窗00.5100.51w/pi（Ff）blackman窗00.5100.51w/pi（Fg）chebyshev窗00.5100.51w/pi（Fh）kaiser窗00.51-200-150-100-500dBw/pi（Fa）矩 形 窗00.51-100-500dBw/pi（Fb）三 角 形 窗00.51-100-500dBw/pi（Fc）bartlett窗00.51-300-200-1000dBw/pi（Fd）hamming窗00.51-300-200-1000dBw/pi（Fe）hanning窗00.51-300-200-1000dBw
43、/pi（Ff）blackman窗00.51-400-2000dBw/pi（Fg）chebyshev窗00.51-300-200-1000dBw/pi（Fh）kaiser窗常见窗函数幅值频谱图常见窗函数幅值频谱图常见窗函数对数幅值频谱图常见窗函数对数幅值频谱图6.8.2 6.8.2 近似分析出现的问题近似分析出现的问题2022-8-1031（3）栅栏效应栅栏效应 利用利用DFT分析连续时间信号的频谱，由于频域的离散性，只在有限个离分析连续时间信号的频谱，由于频域的离散性，只在有限个离散的频率点上有序列值，即散的频率点上有序列值，即：即即DFT只分析了这些离散频点上的频谱值，但是，在这些频率点之间
44、的只分析了这些离散频点上的频谱值，但是，在这些频率点之间的频谱的情况却是未知的，这就像是透过一个栅栏去看原信号的频谱，只能频谱的情况却是未知的，这就像是透过一个栅栏去看原信号的频谱，只能看到栅栏缝隙透过的频谱，而被栅栏遮挡的频谱就看不到了。这种现象就看到栅栏缝隙透过的频谱，而被栅栏遮挡的频谱就看不到了。这种现象就被形象地称为被形象地称为“栅栏效应栅栏效应”。栅栏效应同样是利用栅栏效应同样是利用DFT分析连续时间信号频谱时所无法避免的现象。分析连续时间信号频谱时所无法避免的现象。如需查看被栅栏遮挡的频谱，能采取的办法有两个，一是改变栅栏的位置，如需查看被栅栏遮挡的频谱，能采取的办法有两个，一是改
45、变栅栏的位置，使被遮挡的频谱移动到可见的栅栏缝隙处，二是加大栅栏缝隙数量。使被遮挡的频谱移动到可见的栅栏缝隙处，二是加大栅栏缝隙数量。DFT分析时，其时域序列及频域序列在一个周期内的点数都为分析时，其时域序列及频域序列在一个周期内的点数都为N，我们，我们可以通过在时域序列尾部添加零值从而加大可以通过在时域序列尾部添加零值从而加大N的办法来实现。添加零值的的办法来实现。添加零值的数量可以有两种情况：一是小于数量可以有两种情况：一是小于N个，二是等于个，二是等于N的整数倍个。前者会改的整数倍个。前者会改变栅栏的位置，后者会成倍增加栅栏缝隙数量。变栅栏的位置，后者会成倍增加栅栏缝隙数量。0)()(k
46、jXkX2022-8-1032（4）基于基于DFT分析连续时间信号频谱系统结构图分析连续时间信号频谱系统结构图6.8.2 6.8.2 近似分析出现的问题近似分析出现的问题抗混叠抗混叠滤波滤波采采样样补补零零DFTx(t)x(t)x(n)x(n)x(n)X(k)加窗加窗)(nN图图6-22 基于基于DFT分析连续时间信号频谱分析连续时间信号频谱2022-8-10336.8.3 6.8.3 频率分辨率频率分辨率利用利用DFT分析信号频谱时，其时域与频域分析信号频谱时，其时域与频域的的参数对应关系如图参数对应关系如图6-23所示。所示。2022-8-10346.8.3 6.8.3 频率分辨率频率分辨
47、率即即X(k)的频率点为的频率点为：故其离散域相邻频率点之间的间隔为：故其离散域相邻频率点之间的间隔为：这就是这就是DFT分析的离散域的频率分辨率。也称为数字域频率分辨率。分析的离散域的频率分辨率。也称为数字域频率分辨率。Nkkk20Nkk21由（由（6-100）式可见，数字域频率分辨率只与点数）式可见，数字域频率分辨率只与点数N有关，有关，N越大，即一个周期内的点数越多，越大，即一个周期内的点数越多，就越小，频率分辨率就越高。就越小，频率分辨率就越高。（6-100）再由图再由图6-23中各参数之间的关系，有：中各参数之间的关系，有：T0=NTs ，fs=NF0可得：可得：0011TNTNfF
48、ss（6-103）（6-103）式表明，）式表明，DFT频谱分析的模拟频率分辨率为时域信号采样记频谱分析的模拟频率分辨率为时域信号采样记录总时间长度录总时间长度T0 的倒数，也即模拟频率分辨率只与时域信号采样记录总的倒数，也即模拟频率分辨率只与时域信号采样记录总时间长度时间长度T0 有关，有关，T0 越大，越大，F0 越小，模拟频率分辨率越高。越小，模拟频率分辨率越高。6.8.3 6.8.3 频率分辨率频率分辨率2022-8-1035 理解（理解（6-100）式及（）式及（6-103）式很重要。如果只对）式很重要。如果只对x(n)通过补零增通过补零增加点数加点数N，即一个周期内频谱的数量增加了
49、，使，即一个周期内频谱的数量增加了，使 减少，这是提高减少，这是提高了数字域的频率分辨率，但是从（了数字域的频率分辨率，但是从（6-103）式可以看出，其）式可以看出，其F0 并不减并不减少，即模拟频率分辨率并没有提高。因为，在序列少，即模拟频率分辨率并没有提高。因为，在序列x(n)后面补零，实后面补零，实际并没有增加信号的有效记录长度际并没有增加信号的有效记录长度T0 ，如果，如果T0 不增加，则不增加，则F0 也不会也不会减少，当然也就不会提高模拟频率分辨率。减少，当然也就不会提高模拟频率分辨率。例例6-7：设由频率为设由频率为49Hz和和51Hz合成信号为：合成信号为：)512cos()
50、492cos()(tttx就取不同点数就取不同点数N比较频谱分析结果。比较频谱分析结果。6.8.3 6.8.3 频率分辨率频率分辨率2022-8-1036解：解：采样频率选择为采样频率选择为200Hz对对x(t)离散化，得到离散化，得到x(n)为：为：)200/512cos()200/492cos()(nnnx（a）对）对x(n)只取只取N=50个点的长度信号，得到个点的长度信号，得到x1(n)及其频谱如图及其频谱如图6-24（a）所示。所示。01020304050-2-1012（a）nx1(n)02040608010000.050.10.15f/HzX1(k)050100150200-202
