1、信号与系统第二章第二章 线性时不变系统线性时不变系统 LTI系统的框图结构表示。系统的框图结构表示。本章主要内容：本章主要内容：LTI系统的时域分析系统的时域分析卷积积分与卷积和。卷积积分与卷积和。LTI系统的微分方程及差分方程表示。系统的微分方程及差分方程表示。奇异函数。奇异函数。（不再介绍）（不再介绍）信号的时域分解信号的时域分解用用 表示离散时间信号；表示离散时间信号；用用 表示连续时间信号。表示连续时间信号。()t()n2.0 引言引言 (Introduction)基本思想：基本思想：由于由于LTI系统满足线性（齐次性和可加性），系统满足线性（齐次性和可加性），并且具有时不变性的特点，
2、因而为建立信号与系并且具有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础。统分析的理论与方法奠定了基础。如果系统输入如果系统输入()()iiix ta x t()()iix ty t则系统响应则系统响应()()iiiy ta y t问题的实质：问题的实质：1.信号的分解：即选择什么样的信号作为基本信信号的分解：即选择什么样的信号作为基本信号单元号单元,如何用基本信号单元的线性组合来构成任如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号；意信号；2.如何得到如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。系统对基本单元信号的响应。作为基本单元的信号应满足以下要求：作为基本单元的信号应满足以下要
3、求：1.本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示任意信号；任意信号；2.LTI系统对这种基本单元信号的响应容易求得。系统对这种基本单元信号的响应容易求得。将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换域进行，相应地就产生了对换域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析系统的时域分析法、频域分析法和变换域分析法。法、频域分析法和变换域分析法。分析方法分析方法：2.1 离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和()n(1),1(1)(1)()()(2),2(2)(2)(3),3(3)(3)xnxnx nx n
4、xnxnxnxn()()()kx nx knk 离散时间信号中离散时间信号中,最简单的是最简单的是一一.离散时间信号的单位脉冲展开离散时间信号的单位脉冲展开（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）()(1)(1)(2)(2)(3)(3)x nxnxnxn二二.LTI.LTI系统响应的系统响应的卷积和表示卷积和表示 对于线性时不变系统：对于线性时不变系统：()()()ky nx k h nk()()nh n()()nkh nk()()()()x knkx k h nk()()x ny n()()()()kkx knkx k h nk 输入输入
5、 输出输出因此，只要得到了因此，只要得到了LTI系统对系统对 的响应的响应()n()h n单位脉冲响应单位脉冲响应(impulse response)，就可以得到就可以得到LTI系统对任何输入信号系统对任何输入信号 的响应：的响应：()x n()()()ky nx k h nk上式运算就称为上式运算就称为卷积和（卷积和（The convolution sum）。记作记作()()()()()ky nx k h nkx nh n()x n()y n()h n 表明表明:离散离散LTI系统可以完全由它的系统可以完全由它的单位脉冲响应单位脉冲响应 来表征。来表征。()()()()()kx nx knk
6、x nn即即()()()x nx nn三三.卷积和的计算卷积和的计算 图解法图解法 定义性质求定义性质求 列表法列表法(适用于两个有限长序列适用于两个有限长序列)例例1 1.列表法列表法分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：1212()()()()()kxx nx nxxnknk为总变量之和为为总变量之和为n 的各项相加的各项相加 1021204200003063102112031()h n()x n(0)x(1)x(2)x(3)x(1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(1)y(0)y(1)y(2)y(3)y(4)y(5)y(6)y优点：优点：缺点缺点：
7、计算非常简单。计算非常简单。只适用于两个有限长序列的卷积和；只适用于两个有限长序列的卷积和；一般情况下，无法写出一般情况下，无法写出 的封闭表达式。的封闭表达式。()y n1021()()()1,2,2,8,3,6,5,1,y nx nh n 卷积和的图解法步骤：卷积和的图解法步骤：1.1.换元：将换元：将x(n),h(n)x(n),h(n)变为变为x(k)x(k)，h(k)h(k)，以，以 k k为求和变量为求和变量 ；2.2.反转：将反转：将h(k)h(k)变为变为h(-k)h(-k)；3.3.平移：将平移：将h(-k)h(-k)平移平移n n，变为，变为h-(k-n)h-(k-n)；4.
8、4.相乘：相乘：将将x(k)x(k)和和h(n-k)h(n-k)相乘；相乘；5.5.求和：对乘积求和：对乘积x(k)h(n-k)x(k)h(n-k)求和。求和。()()()()kx nh nx k h nk例例2 2：求求 104()0nx notherwise1,06()0nnh notherwise 通过图形来确定反转移位信号的区间表示，对于通过图形来确定反转移位信号的区间表示，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很有用的。有用的。y nx kh ny(n)=x(n)*h(n)ky nx k h n k040460,0,04,46,61
9、00,10nnkknkknkknnnnnnn-6n()n kh nk这里仅这里仅画出函画出函数区间数区间0k()1x k 4换元，反转，移位，相乘，求和换元，反转，移位，相乘，求和 n0时时）根据根据自由项形式自由项形式与与特征根情况特征根情况设特解设特解 ,如下页如下页表格所示表格所示()pyt22()3()2()tddy ty ty tedtdt22()3()2()()()dddy ty ty tx tx tdtdtdt121,2 ()tpytBe22()3()2()320ttttddy ty ty tBeBeBeedtdt()tpytBte22(),()tttttppddytBeBtey
10、tBeBeBtedtdt 22()3()2()(0)ttpppddytytytBeetdtdt1B()(0)tpyttet22()3()2()()tddy ty ty te u tdtdt(0)t 自由项形式自由项形式 E(常数常数)()mP t(m次多项式次多项式)atEe()atme P t特征根情况特征根情况 特解形式特解形式 0不是不是 0是是k重根重根 B(常数常数)kBt0不是不是 0是是k重根重根 a不是不是 a是是k重根重根a不是不是 a是是k重根重根()mGt()kmt GtatBekatBt e()atme Gt()katmt e Gt1cosEtj不是不是 j是是k重根重
11、根1coskt Bt1cosBtEe0t1,2,34确定特解：代入微分方程确定特解系数。确定特解：代入微分方程确定特解系数。与初始条与初始条件无关件无关22()3()2()()()dddy ty ty tx tx tdtdtdt2()x tt()()tx te u t2()()tx teu t()()tx te u ti)；ii)；iii)iv)例例：求下列微分方程的特解：求下列微分方程的特解解：解：tt222012()pytB tBtBi)自由项自由项:，0不是特征根，故可设不是特征根，故可设代入左端得代入左端得令对应系数令对应系数相等可得：相等可得：2200101223(2)2()2BB
12、tBB tBtBtt()0pyt ii)自由项：自由项：；0120.5,0.5,0.25BBB()()()()()()()()0(0)tttttddx tx te u te u tete u te u tttdtdt为齐次方程，故为齐次方程，故2()0.50.50.25pyttt2222()3()2()ttpppddytytytBeedtdt)()(2tuettte22()tpytBteiii)代入右端代入右端 可得自由项可得自由项:t0时为时为，但，但-2与特征根重与特征根重1次，故应设次，故应设代入代入左端左端令对应系数相等可得：令对应系数相等可得：B=-1，即：，即：te2()tpytB
13、eiv)代入右端得代入右端得t0时自由项时自由项=1不是特征根，故设不是特征根，故设代入左端令对应系数相等可得代入左端令对应系数相等可得B=1/3，即，即()()dx tx tdt2()()tx teu t2()tpytte 1()3tpyte()()tx te u t22()3()2()()()dddy ty ty tx tx tdtdtdt3完全解完全解写出完全解：写出完全解：,其中其中 有有n个待定系数个待定系数待定系数由初始条件确定。待定系数由初始条件确定。()()()phy ty ty t()hy t 要确定解的待定系数，需要有一组要确定解的待定系数，需要有一组附加条件附加条件。当微
14、分方程描述的系统是线性系统时，必须满足系当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满足系统零输入统零输入零输出的特性。也就是系统在没有输入，零输出的特性。也就是系统在没有输入，即即 时，时，。对于一个。对于一个因果因果LTILTI系统系统，设输入在设输入在t=0t=0时刻加入，则时刻加入，则()0 x t()0y t()0,x t 0,t()0,x t()0,x t()0,y t()0,y t()0,y t因此可设因此可设(1)(0)0,(0)0,(0)0nyyy严格来说应为严格来说应为(1)(0)0,(0)0,(0)0nyyy因为因为(1)(0)0,(0)0,(0)0nyyy(0)0,x(aux
15、iliary conditions)从以上讨论可以看出，当这组零附加条件在信号从以上讨论可以看出，当这组零附加条件在信号加入的时刻给出时，加入的时刻给出时，LCCDE描述的系统不仅是线性描述的系统不仅是线性的，也是因果的和时不的，也是因果的和时不变的。变的。这样一组这样一组值全部为零的附加条件值全部为零的附加条件可以用来确定待可以用来确定待定系数。定系数。这种在信号加入的时刻给出的零附加条件称为这种在信号加入的时刻给出的零附加条件称为零初始条件零初始条件。结论：结论：LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述具有一组全部为零的初始条件可以描述一个一个因果因果的的LTI系统。这组条件是：系统。
16、这组条件是：(1)(0)0,(0)0,(0)0Nyyy如果一个因果的如果一个因果的LTI系统由系统由LCCDE描述，且方程描述，且方程具有零初始条件，就称该系统具有零初始条件，就称该系统初始是静止的初始是静止的或或最初最初是松弛的。是松弛的。如果如果LCCDE具有一组具有一组不全为零的初始条件不全为零的初始条件，则它，则它所描述的系统是所描述的系统是增量线性的增量线性的。二二.线性常系数差分方程线性常系数差分方程:(Linear Constant-Coefficient Difference Equation)一般的线性常系数差分方程可表示为：一般的线性常系数差分方程可表示为：与微分方程一样，
17、它的解法也可以通过求出一个与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个特特解解 和通解，即齐次解和通解，即齐次解 来进行，其过程与解来进行，其过程与解微分方程类似。可参看吴大正所编教材微分方程类似。可参看吴大正所编教材p87p8700()()NMkkkka y nkb x nk()pyn()hy n 要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组附加附加条件条件。同样地，。同样地，当当LCCDE具有一组全部为零的初始具有一组全部为零的初始条件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的条件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的。对于差分方程，还可以将其改写为：对于差分方程
18、，还可以将其改写为：0101()()()MNkkkky nb x nka y nka()x n(1),(2),()yyyN(0)y 可以看出：要求出可以看出：要求出 ，不仅要知道所有的，不仅要知道所有的 ，还要知道还要知道 ，这就是一组，这就是一组初始条初始条件件，由此可以得出，由此可以得出 。进一步，又可以通过。进一步，又可以通过 和和 求得求得 ,依次类推可求出依次类推可求出所有所有 时的解。时的解。(0)y(0)y(1),(2),(1)yyyN(1)y0n 由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为递归方程递归方程（recursive equat
19、ion）。）。当当 时，差分方程变为：时，差分方程变为：0,0kak01000()()(1)()Mbbby nx nx nx nMaaa 此时此时,解方程不再需要迭代运算，因而称为解方程不再需要迭代运算，因而称为非非递归方程递归方程。显然，此时方程就是一个卷积和的形式，显然，此时方程就是一个卷积和的形式，其中其中 是有限长的是有限长的,因而把这种方因而把这种方程描述的程描述的LTI系统称为系统称为FIR（Finite Impulse Response）系统系统。又如又如也是一个也是一个 FIR FIR 系统，它的单位脉冲响应为系统，它的单位脉冲响应为0(),0nbh nnMa()()5(1)8
20、(3)y nx nx nx n)3(8)1(5)()(nnnnhnonrecursive equation 无论微分方程还是差分方程的特解都具有与无论微分方程还是差分方程的特解都具有与输入信号相同的函数形式，即特解完全输入信号相同的函数形式，即特解完全是由输入是由输入信号决定的，因而特解所对应的这一部分响应称信号决定的，因而特解所对应的这一部分响应称为为受迫响应受迫响应或或强迫响应强迫响应（forced response）。齐。齐次解所对应的部分由于与输入信号无关，也称为次解所对应的部分由于与输入信号无关，也称为系统的系统的自然响应自然响应（natural response）。将递归方程描述的
21、系统称为将递归方程描述的系统称为IIR（Infinite Impulse Response）系统系统,此时系统的单位脉冲响此时系统的单位脉冲响应是一个无限长的序列。应是一个无限长的序列。增量线性系统的响应分为增量线性系统的响应分为零状态响应零状态响应和和零输入响零输入响应应。零输入响应。零输入响应 与输入信号无关，因此它属于与输入信号无关，因此它属于自然响应。自然响应。零状态响应零状态响应 既与输入信号有关，也既与输入信号有关，也与系统特性有关，因而它包含了受迫响应，也包含与系统特性有关，因而它包含了受迫响应，也包含有一部分自然响应。受迫响应完全取决于输入信号。有一部分自然响应。受迫响应完全取
22、决于输入信号。全响应零状态响应零输入响应全响应零状态响应零输入响应全响应受迫响应自然响应全响应受迫响应自然响应()()()zsytx th t()ziytIncrementally linear system:zero state response+zero input response 由由LCCDE 描述的系统，其数学模型是由一些基描述的系统，其数学模型是由一些基本运算来实现的，如果能用一种图形表示方程的运本运算来实现的，如果能用一种图形表示方程的运算关系，就会更加形象直观；另一方面算关系，就会更加形象直观；另一方面,分析系统分析系统很重要很重要的的目的是为了设计或实现一个系统目的是为了设
23、计或实现一个系统,用图形用图形表示系统的数学模型表示系统的数学模型,将对系统仿真、实现具有重将对系统仿真、实现具有重要意义。要意义。三三.由微分和差分方程描述的由微分和差分方程描述的LTI系统的方框图表示系统的方框图表示（Block-Diagram Respresentation of the LTI System described by LCCDE）1.由差分方程描述的由差分方程描述的LTI系统的方框图表示：系统的方框图表示：由由 可看出：可看出：方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位（延迟）（延迟）。这些基本运算可用以下符号表示：。这些基本运
24、算可用以下符号表示：0101()()()MNkkkky nb x nka y nkaa1()x n2()x n12()()x nx nD()x n(1)x n若令若令 ,则则0()()Mkkw nb x nk数乘器数乘器multiplication加法器加法器adder延迟单元延迟单元Unit delay101()()()Nkky nw na y nka()w nDDD()x n0b1b2b1MbMb()w nDDD()y n01/a1a2a1NaNa直接直接型型据此可得方框图：据此可得方框图：0()()Mkkw nb x nkDDD()y n0b1b2b1MbMbDDD()x n01/a1a
25、2a1NaNa显然显然,它可以看成是两个可逆级联的系统，可以调它可以看成是两个可逆级联的系统，可以调换其级联的次序换其级联的次序,并将移位单元合并，于是得到：并将移位单元合并，于是得到：直接直接型型DDD()x n()y n0b1b2b2Mb1Mb01/a1a2a1NaNaMbDCase:N=M-1 2.由微分方程描述的由微分方程描述的LTI系统的方框图表示：系统的方框图表示：由由 看出它也包括三种基本看出它也包括三种基本运算：微分、相加、乘系数。运算：微分、相加、乘系数。但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对误差及噪声极为灵敏，因此，工程上通常误
26、差及噪声极为灵敏，因此，工程上通常使用积分使用积分器而不用微分器。器而不用微分器。将微分方程两边同时积分将微分方程两边同时积分 N 次，即可得到一个积次，即可得到一个积分方程：分方程：00()()kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt()()00()()NkNkNNkkkka ytb xt上标上标-N+k代表代表 N-k 次积分次积分()()1001()()()N kN kNNkkkkNy tb xta yta()w t ()w t()y t1/Na1Na2Na1a0a()x t()w tNb1Nb2Nb1b0b直接直接型型对此积分方程完全按照差分方程的办法有对此积分方程完全按照
27、差分方程的办法有：上标上标-N+k代表代表 N-k 次积分次积分Case:M=N()x t()y t1/Na1Na2Na1a0aNb1Nb2Nb1b0b直接直接型型通过交换级联次序，合并积分器可得直接通过交换级联次序，合并积分器可得直接型：型：Case:M=N()x t2108()y t6116()6()11()6()2()10()8()yty ty ty tx tx tx t()21086116y txxxyyy()x t()y t61162108例：例：积分三次得积分三次得直接直接 型型直接直接 型型Homework2.21(a)2.22(c)2.24 2.28(a)(c)(e)(g)2.29(a)(c)(e)(g)2.40Exercise Classn时间：2013年10月14日（周一）n第8-9节：1201、1202、1203、1204、1211、1212n第10-11节：1205、1206、1207、1208、1209、1210地点：B201MatlabnProject#1:Signal GenerationGenerate various different signals:sinusoid and exponential signals,audio signals,gray and color image signals.
