1、 高三毕业班数学第四次质量检测试卷一、单选题1已知函数f(x)=log2x，x1x21，x0)的准线被圆x2+y2=4所截得的弦长为23，则p=（）A1B3C2D44已知平面，直线m，n满足，=l，m，n/，则（）Am/BnCn/lDml5已知，(0，)，且tan=cos21sin2=2，则cos()=（）A45B35C35D456我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量YB(n，p)，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变
2、量Y的期望和方差相同棣莫弗在1733年证明了p=12的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（）（附：若XN(，2)，则P(X+)0.6827，P(2X+2)0.9545，P(3X+3)0.9973）A0.1587B0.0228C0.0027D0.00147已知e1，e2为单位向量，满足|e1e2|=|2e1a|=1，则|ae2|的最小值为（）A31B3C71D78已知a=logbc，b=logca，则（）AabcBbcaCcabDcb0，b0)的右焦点，过F的直线l与圆O：x2+y2=a2相
3、切于点M，l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P，Q，则（）A|MF|=bB直线OM与C相交C若|MF|=14|QF|，则C的渐近线方程为y=2xD若|MF|=14|PF|，则C的离心率为5312已知函数f(x)=2x4x4+xx1，则（）Af(x)是奇函数Bf(x)的图象关于点(1，1)对称Cf(x)有唯一一个零点D不等式f(2x+3)f(x2)的解集为(1，1)(3，+)三、填空题13在复平面内，复数z=i(1+mi)(mR)对应的点位于直线y=x上，则m= 14已知函数f(x)=sin(x+)(0)，写出一个同时满足以下条件的的值 N；f(x)是偶函数；f(x)在(6，3)上恰有两个极
4、值点15为提升市民的艺术修养，丰富精神文化生活，市图书馆开设了工艺、绘画、雕塑等公益讲座，讲座海报如图所示某人计划用三天时间参加三场不同类型讲座，则共有 种选择方案（用数字作答）16已知数列n22n1与数列n22n+1的前n项和分别为Sn，Tn，则S5T5= ；若SnTnb，设bn=minan，n1，求数列bn的前2n项和T2n20ABC中，A(1，0)，B(1，0)，|AC|=22，线段AC上的点M满足MBC=MCB（1）记M的轨迹为，求的方程；（2）过B的直线l与交于P，Q两点，且PB=3BQ，判断点C和以PQ为直径的圆的位置关系21某工厂采购了一批新的生产设备经统计，设备正常状态下，生产
5、的产品正品率为0.98为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理（1）假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求P(X2)，并说明上述监控生产过程规定的合理性；（2）该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为1p若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部
6、件进行检测及修理已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由参考数据：0.98100.82，0.9890.83，0.9880.8522已知函数f(x)=(2+sinx+cosx)exa(x+sinx)(aR)（1）讨论f(x)的单调性；（2）当x0时，f(x)4x+3，求a的取值范围答案解析部分1【答案】D2【答案】C3【答案】C4【答案】D5【答案】C6【答案】B7【答案】A8【答案】B9【答案】A,C,D10【答案】A,C11【答案】A,D12【答案】B,C,
7、D13【答案】-114【答案】4（答案不唯一）15【答案】816【答案】3011；(3133，+)17【答案】（1）解：因为3asinCccosA=c，由正弦定理得，3sinAsinCsinCcosA=sinC，化简得，3sinAcosA=1，由辅助角公式得，2sin(A6)=1，所以sin(A6)=12，A为ABC的内角，所以A6=6，所以A=3；（2）解：由（1）知A=3，设B=，则C=23，因为D为BC的中点，DEAB，且a=2，所以直角BDE中，DE=sin，同理DF=sin(23)，四边形AEDF中，DEAB，DFAC，A=3，所以EDF=23，所以SEDF=12DEDFsin23=
8、12sinsin(23)sin23=34sin(32cos+12sin)=38sincos+38sin2=316sin2+381cos22=316sin2+316(1cos2)=316+316sin2316cos2=316+38sin(26)，所以26=2，即=3时SEDF面积最大为3316.18【答案】（1）证明：四边形ABCD为正方形，ACBD，又ACOE，BDOE=O，BD，OE平面ODE，AC平面ODE；DE平面ODE，ACDE；又CDDE，ACCD=C，AC，CD平面ABCD，ED平面ABCD.（2）解：以D为坐标原点，DA，DC，DE的正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐
9、标系，ED平面ABCD，直线OE与平面ABCD所成角为EOD，tanEOD=EDOD=ED22=22，解得：ED=2；E(0，0，2)，A(4，0，0)，C(0，4，0)，F(0，2，2)，AC=(4，4，0)，AE=(4，0，2)，CF=(0，2，2)，设平面EAC的法向量n=(x，y，z)，则ACn=4x+4y=0AEn=4x+2z=0，令x=1，解得：y=1，z=2，n=(1，1，2)；设平面FAC的法向量m=(a，b，c)，则ACm=4a+4b=0CFm=2b+2c=0，令a=1，解得：b=1，c=1，m=(1，1，1)；cos=mn|m|n|=463=223，二面角EACF为锐二面角
10、，二面角EACF的余弦值为223.19【答案】（1）证明：当n=1时，S2+2S1+6=3+a26+6=0，解得：a2=3；当n2时，由Sn+1+2Sn+3n+3=0得：Sn+2Sn1+3n=0，两式作差得：an+1+2an+3=0，即an+1+1=2(an+1)；经检验：a2+1=2(a1+1)，满足an+1+1=2(an+1)；数列an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.（2）解：由（1）得：an+1=2(2)n1=(2)n，an=(2)n1；则当n为奇数时，an0，cncn2cn4c2=20，即2n1n1，bn=n1；T2n=(b1+b3+b5+b2n1)+(b2+b4+b6
11、+b2n)=(2)1+(2)3+(2)5+(2)2n1n+1+3+5+(2n1)=2(14n)14n+n(1+2n1)2=2(14n)3n+n2.20【答案】（1）解：如图所示，在ABC中，A(1，0)，B(1，0)，|AC|=22，因为线段AC上的点M满足MBC=MCB，可得|MC|=|MB|，所以|MA|+|MB|=|MA|+|MC|=|AC|=22|AB|=2，根据椭圆的定义，可得点M的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，其中2a=22，2c=2，可得a=2，c=1，则b=a2c2=1，所以点M的轨迹方程为x22+y2=1.（2）解：由（1）知椭圆的方程为x22+y2=1，设过点B(1，0)的直
12、线为x=my+1，联立方程组x=my+1x2+2y2=2，整理得(m2+2)y2+2my1=0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1+y2=2mm2+2，y1y2=1m2+2，因为PB=3BQ，可得(1x1，y1)=3(x21，y2)，可得y1=3y2，将y1=3y2代入，可得y2=mm2+23y22=1m2+2，消去y2可得3m2(m2+2)2=1m2+2，解得m2=1，即m=1，不妨取m=1，可得y1+y2=23，y1y2=13， 则|PQ|=1+m2|y2y1|=2(y1+y2)24y1y2=423，设PQ的中点为N(x0，y0)，则y0=y1+y22=13，x0=y0+1=23
13、，即N(23，13)，所以以PQ为直径的圆的圆心坐标为N(23，13)，半径为r=223，又由A(1，0)，|AC|=22，根据圆的定义得点C的轨迹为以A(1，0)为圆心，半径为R=22的圆，又由|AN|=(23+1)2+(13)2=263，且Rr=22223=423=323，即|AN|Rr，所以点C在以PQ为直径的圆外.21【答案】（1）解：由题可知，单件产品为次品的概率为0.02，所以XB(10，0.02)，所以P(X=0)=C1000.0200.98100.82，P(X=1)=C1010.0210.9890.166，所以P(X2)=1P(X=0)P(X=1)0.014，由P(X2)0.0
14、14可知，如果生产状态正常，一天内抽取的10个零件中，至少出现2个次品的概率约为0.014，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的.（2）解：若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，7000，则P(=6000)=p，P(=7000)=1p，所以E()=6000p+7000(1p)=70001000p，若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，8000，则P(=6000)=1p，P(=8000)=p，所以E()=6000(1p)+8
15、000p=6000+2000p，所以E()E()=10003000p，则当0pE()，应先检测乙部件；当p=13时，E()=E()，先检测甲部件或乙部件均可；当13p1时，E()0，f(x)0，f(x)在R上单调递增；当a0时，令2exa=0，解得：x=lna2，则当x(，lna2)时，f(x)0；当x(lna2，+)时，f(x)0；f(x)在(，lna2)上单调递减，在(lna2，+)上单调递增；综上所述：当a0时，f(x)在R上单调递增；当a0时，f(x)在(，lna2)上单调递减，在(lna2，+)上单调递增.（2）解：当x0时，由f(x)4x+3得：(2+sinx+cosx)exa(x
16、+sinx)4x30，令g(x)=(2+sinx+cosx)exa(x+sinx)4x3，则g(x)=(cosx+1)(2exa)4，g(0)=0，g(0)=2a；当a0时，g(x)=(cosx+1)(2exa)42(cosx+1)ex44ex40，g(x)在(，0上单调递减，g(x)g(0)=0，满足题意；当a0时，令(x)=g(x)=(cosx+1)(2exa)4，则(x)=sinx(2exa)+2(cosx+1)ex=2(sinx+cosx+1)ex+asinx=22cos(x+4)+22ex+asinx；当x(，0)时，sinx0；又x+4(34，4)，cos(x+4)(22，1，22cos(x+4)+22ex0；(x)0，(x)，即g(x)在(，0)上单调递增，g()=40，x0(，0)，使得g(x0)=0，则当x(x0，0)时，g(x)0，g(x)在(x0，0)上单调递增，此时g(x)g(0)=0，不合题意；综上所述：实数a的取值范围为0，+).
