1、2022年高考数学真题分类汇编专题13：极坐标与参数方程，不等式选讲一、单选题1已知 a，bR ，若对任意 xR，a|xb|+|x4|2x5|0 ，则（）Aa1，b3Ba1，b3Ca1，b3Da1，b3二、解答题2在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x=2+t6y=t （t为参数），曲线 C2 的参数方程为 x=2+s6y=s （s为参数） （1）写出 C1 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3 的极坐标方程为 2cossin=0 ，求 C3 与 C1 交点的直角坐标，及 C3 与 C2 交点的直角坐标 3在直角坐标系 xOy 中，曲线
2、C的参数方程为 x=3cos2t，y=2sint （t为参数）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 sin(+3)+m=0 （1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围4已知a，b，c均为正数，且 a2+b2+4c2=3 ，证明：（1）a+b+2c3 ；（2）若 b=2c ，则 1a+1c3 5已知a，b，c都是正数，且 a32+b32+c32=1 ，证明： （1）abc19 ； （2）ab+c+ba+c+ca+b12abc 答案解析部分1【答案】D2【答案】（1）解：因为 x=2+t6 ， y=t ，所以 x=2+y26 ，即 C1
3、普通方程为 y2=6x2(y0) （2）解：因为 x=2+s6，y=s ，所以 6x=2y2 ，即 C2 的普通方程为 y2=6x2(y0) ， 由 2cossin=02cossin=0 ，即 C3 的普通方程为 2xy=0 联立 y2=6x2(y0)2xy=0 ，解得： x=12y=1 或 x=1y=2 ，即交点坐标为 (12，1) ， (1，2) ；联立 y2=6x2(y0)2xy=0 ，解得： x=12y=1 或 x=1y=2 ，即交点坐标 (12，1) ， (1，2) 3【答案】（1）解：因 l： sin(+3)+m=0 ，所以 12sin+32cos+m=0 ， 又因为 sin=y，
4、cos=x ，所以化简为 12y+32x+m=0 ，整理得l的直角坐标方程： 3x+y+2m=0（2）解：联立l与C的方程，即将 x=3cos2t ， y=2sint 代入 3x+y+2m=0 中，可得 3cos2t+2sint+2m=0 ，所以 3(12sin2t)+2sint+2m=0 ，化简为 6sin2t+2sint+3+2m=0 ，要使l与C有公共点，则 2m=6sin2t2sint3 有解，令 sint=a ，则 a1，1 ，令 f(a)=6a22a3 ， (1a1) ，对称轴为 a=16 ，开口向上，所以 f(a)max=f(1)=6+23=5 ，f(a)min=f(16)=16
5、263=196 ，所以 1962m5m的取值范围为 1912m52 .4【答案】（1）证明：由柯西不等式有 a2+b2+(2c)2(12+12+12)(a+b+2c)2 ， 所以 a+b+2c3 ，当且仅当 a=b=2c=1 时，取等号，所以 a+b+2c3（2）证明：因为 b=2c ， a0 ， b0 ， c0 ，由（1）得 a+b+2c=a+4c3 ， 即 00 ， b0 ， c0 ，则 a320 ， b320 ， c320 ， 所以 a32+b32+c3233a32b32c32 ，即 (abc)1213 ，所以 abc19 ，当且仅当 a32=b32=c32 ，即 a=b=c=319 时取等号（2）证明：因为 a0 ， b0 ， c0 ， 所以 b+c2bc ， a+c2ac ， a+b2ab ，所以 ab+ca2bc=a322abc ， ba+cb2ac=b322abc ， ca+bc2ab=c322abcab+c+ba+c+ca+ba322abc+b322abc+c322abc=a32+b32+c322abc=12abc当且仅当 a=b=c 时取等号
