1、2022 年高考数学年高考数学真真题分类汇编专题分类汇编专题题 11：立体几立体几何何一、单选题一、单选题1（2022浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：3）是（）A22B8C22D163 3 2（2022浙江）如图，已知正三棱柱 111，=1，E，F 分别是棱，11 上的点记 与 1 所成的角为 ，与平面 所成的角为 ，二面角 的平面 角为 ，则（）A B C D 3（2022新高考卷）正三棱台高为 1，上下底边长分别为 3 3 和 4 3，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）A100B128C144D1924（2022全国甲卷）如图，网格纸上绘制的是一个多
2、面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该 多面体的体积为（）A8B12C16D205（2022全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2，侧面积分别为 甲 和 乙，体积分别为 甲 和 乙 若 甲 =2 ，则 甲 =（）乙乙A 5B2 2C 10D5 1046（2022全国甲卷）在长方体 1111 中，已知 1 与平面 和平面 11 所成的角均为 30 ，则（）A=2BAB 与平面 11 所成的角为 30C=1D1 与平面 11 所成的角为 457（2022全国乙卷）在正方体 1111 中，E，F 分别为，的中点，则（）A平面 1 平面 1C平面 1 平面 1B平面
3、1 平面 1D平面 1 平面 118（2022全国乙卷）已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A1B132C 33D 22 及其内部的点构成的集9（2022北京）已知正三棱锥 的六条棱长均为 6，是合，设集合 =|5，则 表示的区域的面积为（）A34BC2D310（2022新高考卷）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 36 ，且 3 3 3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A1881B 2781C 2764，D18，274444311（2022新高考卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水
4、资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔 148.5m 时，相应水面的面积为 140.02；水位为海拔 157.5m 时，相应 水面的面积为 180.02.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 148.5m 上升到 157.5m 时，增加的水量约为（）(7 2.65)A1.0 1093B1.2 1093C1.4 1093D1.6 109312（2022浙江学考）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（）A棱柱B圆柱C圆台D球13（2022浙江学考）如图，正方体 1111 中，N 是棱 1 的中点，则直线 CN 与平面11 所成角的正弦值等于（）A1
5、2B 105C 155D2 15514（2022上海）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从 0 时转到 12 时（含 0 时不含 12 时）的过程中，能够相互垂直（）次A0B2C4D12二、多选题二、多选题15（2022新高考卷）如图，四边形 为正方形，平面 ，=2，记三棱锥 ，的体积分别为 1，2，3 ，则（）A3=22B3=21C3 =1+2D23=3116（2022新高考卷）已知正方体1111，则（）9090B直线A直线1 与1 所成的角为1 与1 所成的角为45D直线C直线1 与平面11 所成的角为1 与平面 ABCD 所成的角为45
6、三、填空题三、填空题17（2022浙江学考）如图，E，F 分别是三棱锥 V-ABC 两条棱 AB，VC 上的动点，且满足 =2+(0，0)则 2+2 的最小值为.四、解答题四、解答题18（2022浙江）如图，已知 和 都是直角梯形，=5，=3，=1，=60，二面角 的平面角为 60 设 M，N 分别 为，的中点（）证明：；（）求直线 与平面 所成角的正弦值19（2022新高考卷）如图，是三棱锥 的高，=，E 是 的 中点（1）求证：平面 ；（2）若 =30，=3，=5，求二面角 的正弦值 20（2022全国乙卷）如图，四面体 中，=，=，E 为 AC 的 中点（1）证明：平面 平面 ACD；（
7、2）设 =2，=60，点 F 在 BD 上，当 的体积 的面积最小时，求三棱锥21（2022全国甲卷）在四棱锥 中，底面，=1，=2，=3（1）证明：；（2）求 PD 与平面 所成的角的正弦值22（2022全国甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底 面 是边长为 8（单位：cm）的正方形，均为正三角 形，且它们所在的平面都与平面 垂直（1）证明：平面 ；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）23（2022全国乙卷）如图，四面体 中，=，=，E 为 的中点（1）证明：平面 平面 ；（2）设 =2，=60，点 F 在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所
8、成的角的正弦值24（2022北京）如图，在三棱柱 111 中，侧面 11 为正方形，平面 11 平 面 11，=2，分别为 11 ，的中点（I）求证：/平面 11 ；II.再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求 直线 与平面 所成角的正弦值。条件：；条件：=注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分。25（2022新高考卷）如图，直三棱柱 111 的体积为 4，1 的面积为 2 2.1求 A 到平面 1 的距离；（2）设 D 为 1 的中点，1=，平面 1 平面 11，求二面角 的正弦值.26（2022上海）如图，在圆柱 1 中，底面半径为 1，1 为圆柱母线.（1）若 1=4
9、，M 为 1 中点，求直线 1 与底面的夹角大小；2若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.答案解析部答案解析部分分1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】C11.【答案】C12.【答案】C13.【答案】B14.【答案】B15.【答案】C,D16.【答案】A,B,D1 7【答案】151 8【答案】解：（）过点 E、D 分别做直线 、的垂线 、并分别交于点交于点G、H四边形 和 都是直角梯形，/，/，=5，=3，=1，=60，由平面几何知识易知，=2，=90，则四边形 和四边形 是矩形，在
10、 Rt 和 Rt ，=2 3，且 =，平面，是二面角 的平面角，则 =60，是正三角形，由 平面 ，得平面 平面 ，是 的中点，又 平面 ，平面 ，可得 ，而 =，平面 ，而 平面 （）由于 平面 ABCD，如图建系.32于是(0，3，0)，(5，3，0)，(0，0，3)，(1，0，3)，(3，3，0)，则(3，32).33=(3，2，2)，=(2，2 3，0)，=(2，3，3).|14平面 ADE 的法向量 =(3，1，3).设 BM 与平面 ADE 所成角为，则 sin=|=5 7 1 9【答案】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、，因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ，平面 ，所以
11、 、，又 =，所以 ，即 =，所以 =，又 ，即 =90，所以 +=90，+=90，所以 =所以 =，即 =，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以/，又 平面 ，平面 ，所以/平面（2）解：过点 作 ，以 AB 为 轴，AC 为 轴，AF 为 z 轴建立如图所示的空问直角 坐标系.因为 =3，=5，由(1)=4，义 =30，所以，=4 3，所以(2 3，2，3)，(4 3，0，0)，(0，0，0)，(3 3，1，23)，设 =，则(0，0)，3 1=0平面 AEB 的法向量设为 1=(，)，=(4 3，0，0)，=(3 3，1，)，所2 1=0以4 3=03 3+=023，所以 =0，设 =
12、2，则 =3，所以 1=(0，3，2)：3 2=0平面 AEC 的法向量设为 2=(，)，=(0，0)，=(3 3，1，)，所以2 2=03 3+=02=03，所以 =0，设 =3，则 =6，阦以 2=(3，0，6)：12所 以 cos，=12 1212|1|2|13 3913 3=4 31313二面角 的平面角为 ，则 sin=1cos2=11，所以二面角 的正弦值为11。132 0【答案】（1）证明：由于 =，是 的中点，所以 .=由于=，所以 ，=所以 =，故 ，由于 =，所以 平面 ，平面 ，由于 平面 ，所以平面 平面 .（2）解：依题意 =2，=60，三角形 是等边三角形，所 以
13、=2，=1，=3，由于 =，所以三角形 是等腰直角三角形，所以 =1.2+2=2，所以 ，由于 =，平面 ，所以 平面 .由于 ，所以 =，=由于=，所以 ，=所以 =，所以 ，由于 =1 ，所以当 最短时，三角形 的面积最小值.2过 作 ，垂足为 ，222在 中，1 =1 ，解得 =3，所以 =212()2 3=12，=2=32，所以 =344过 作 ，垂足为 ，则/，所以 平面 ，且 =3，4所 以 =3，33244所 以 =1 =1 1 2 3 3=3.2 1【答案】（1）证明：在四边形 中，作 于 ，于 ，因为/，=1，=2，所以四边形 为等腰梯形，2所 以 =1，故 =3，=2+2=
14、3，2所 以 2+2=2，所以 ，因为 平面 ，平面 ，所以 ，又 =，所以 平面 ，又因 平面 ，所以 （2）解：由(1)知，PD，AD，BD 两两垂直，=22=3，建立空间直角坐标系如图 所示，则(0，0，0)，(1，0，0)，(0，3，0)，(0，0，3)，=(0，0，3)，=(1，0，3)，=(1，3，0)，设平面 PAB 的法向量为 =(，)，则 =0 =0,即 3=0+3=0不妨设 =1，则 =(3，1，1)，设 PD 与平面 PAB 的所成角为，则sin=|cos，|=|=3 5=|3|55，PD 与平面 PAB 的所成的角的正弦值为5.52 2 【答案】（1）证明：分别取，的中
15、点，连接 ，因为 ，为全等的正三角形，所以 ，=，又平面 平面 ，平面 平面 =，平面 ，所以 平面，同理可得 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知/，而=，所以四边形 为平行四边形，所以/，又 平面 ，平面 ，所以/平面 （2）解：分别取，中点，由（1）知，/且 =，同理有，/，=，/，=，/，=，由平面知识可知，=，所以 该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积的 4 倍因为 =4 2，=8sin60=4 3，点 到平面 的距离即为点 到直线 的距离 ，=2 2，所以该几何体的体积 =(4 2)213 4 3+4 4 2 4 3 2 2=128 3+256 3=640 3 332 3
16、【答案】（1）证明：因为 =，E 为 的中点，所以 ；在 和 中，因为 =，=，=，所以 ，所以 =，又因为 E 为 的中点，所以 ；又因为，平面 ，=，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 .（2）解：连接 ，由（1）知，平面 ，因为 平面 ，所以 ，所以 =1 ，2当 时，最小，即 的面积最小.因为 ，所以 =2，又因为 =60，所以 是等边三角形，因为 E 为 的中点，所以 =1，=3，12因为 ，所以 =1，在 中，2+2=2，所以 .以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，则(1，0，0)，(0，3，0)，(0，0，1)，所以 =(1，0，1)，=(1，3，0)，设平面
17、的一个法向量为 =(，)，则 =+=0 =+3=0，取 =3，则 =(3，3，3)，34又因为(1，0，0)，(0，4 343)，所以 =(1，43)，|21 747所以 cos，=6=4 3，设 与平面 所成的角的正弦值为(0 2)，所 以 sin=|cos，|=4 3，7所以 与平面 所成的角的正弦值为 4 3.72 4【答案】（I）设点 P 为 AB 中点，由于 P 为 AB 中点，N 为 AC 中点所以 PN 为 中位线/又 M 为 AB 中点，PM 是正方形 11 的中位线所以/11/1 =面 11 面 又 面/平面 11（II）选择条件，面 11 面 11面 11 面 =，面 11
18、 面 =又/，又由：面 =面 故，1 两两垂直以 B 为原点，为 轴正方向，为 轴正方向，1 为 轴正方向建立坐标系：(0，0，0)，：(0，1，2)，：(1，1，0)，：(0，2，0)，=(0，1，2)，=(1，1，0)，=(0，2，0)则 BMN 的法向量=(2，2，1)|AB 与面 BMN 所成角的正弦等于 与 所半余弦的绝对值，即|=|64|=23故所求正弦为 2.32 5【答案】（1）因为，1=3=4，3所以 =4，设 A 到平面 1 的距离为 h；则 1=1433 =2（2）设 D 为 1 的中点，且 1=，平面1 平面11由于平面 平面11 BC平面 11平面 平面1=因为 平面
19、 11，所以 ，在直角 中，=90，连接 1，过 A 作 1，则 平面 11，故 1.平面 1，而由 1=，=2，所以 1=2，1=2 2，由 1=2 2=11 =2，2以 B 为原点，向量 ，1 分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2，0，0)，(0，2，0)，1(0，2，2)，(1，1，1)，(0，0，0)所以 =(0，2，0)，=(1，1，1)，=(2，0，0)设平面 ABD 的一个法向量 =(，)，=0 =0,=0+=0，令 =1，则有 =(1，0，1).设平面 BCD 的一个法向量 =(0，0，0)，=0 =0,0=00+0+0=0令 =1，则有 =(0，1，1)所以 cos，=|11=2 2=2sin，=32所以二面角 的正弦值为3.22 6【答案】（1）根据直线与平面所成角的定义，易知 直线 MO1 与底面的夹角为MO1A111则由题意得tan11=1=2，则MO1A1=arctan2；（2）设圆柱的底面圆的半径为 r，高为 h，则因为圆柱的轴截面为正方形，所以 h=2r=2所以圆柱的侧面积为2=2 1 2=4圆柱的体积为 2=12 2=2
