1、上海市2022届高三数学模拟卷 一、填空题1设集合M=0，1，2，N=1，a，若MN，则实数a= 2已知i为虚数单位，若复数z=13+4i，则|z|= 3不等式x3x22的解集是 4若方程组ax+2y=32x+ay=2无解，则实数a= 5从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为 .6若数列an的前n项和Sn=23an+13，则数列an的通项an= .7二项式 (3x1x)15 展开式中的常数项是 8小明给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额数，每份是1分的正整数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到5分钱的概率为 9如图，F为双曲线x2a2y
2、2b2=1(ba0)的右焦点，过F作直线l与圆x2+y2=b2切于点M，与双曲线交于点P，且M恰为线段PF的中点，则双曲线的渐近线方程是 .10若函数f(x)=cos(x+4)(0)在0，的值域为1，22，则的取值范围是 11若分段函数f(x)=3sin2xx02x3x0，将函数y=|f(x)f(a)|，xm，n的最大值记作Zam，n，那么当2m2时，Z2m，m+4的取值范围是 ；12已知向量 a ， b 满足 |a|=3 ， |b|=1 ，若存在不同的实数 1,2(120) ，使得 ci=ia+3ib ，且 (cia)(cib)=0(i=1,2), 则 |c1c2| 的取值范围是 二、单选题
3、13设 x0 ，则“ a=1 ”是“ x+ax2 恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件14已知0ab，若limnan+1bn+2anbn=25，则（）Aa=25Ba=5Cb=25Db=-515已知函数f(x)=asinxbcosx（a、b为常数a0，xR）在x=4处取得最小值，则函数f(34x)是（）A偶函数，且图象关于点(，0)对称B偶函数，且图象关于点(32，0)对称C奇函数，且图象关于点(32，0)对称D奇函数，且图象关于点(，0)对称16已知数列an，bn，cn，以下两个命题：若an+bn，bn+cn，an+cn都是递增数列，则an，bn，
4、cn都是递增数列；若an+bn，bn+cn，an+cn都是等差数列，则an，bn，cn都是等差数列，下列判断正确的是（）A都是真命题B都是假命题C是真命题， 是假命题D是假命题， 是真命题三、解答题17如图，正四棱锥PABCD中.（1）求证：BD平面PAC；（2）若AB=2，VPABCD=423，求二面角APBC的余弦值.18已知f(x)=3sinwx+3coswx(w0)（1）设y=f(x+)(02)是周期为的偶函数，求w，；（2）若g(x)=f(3x)在(2，3)上是增函数，求w的最大值；并求此时g(x)在0，的取值范围.19如图， OM ， ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计， OM
5、 为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路 OM 上一游客休息区，已知 tanMON=3 ， OA=6 （百米），Q到直线 OM ， ON 的距离分别为3（百米）， 6105 （百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路 ON 于点B，并在B处修建一游客休息区. （1）求有轨观光直路 AB 的长； （2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时， r=2at （百米）（ 0t9 ， 0a1 ）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道 BA 以 2 （百
6、米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由. 20定义符号函数sgn(x)=1x01x1满足an=1？请说明理由答案解析部分1【答案】0，22【答案】153【答案】(23，45)4【答案】25【答案】1336【答案】(2)n17【答案】50058【答案】199【答案】y=2x10【答案】34，3211【答案】4，6012【答案】2,22)22，23)13【答案】A14【答案】D15【答案】D16【答案】D17【答案】（1）证明：因为PABCD是正棱锥，P在面ABCD内射影是AC与BD的交点O，即PO面ABCD，POBD，又BDAC，PO与AC在面PAC内相
7、交，BD面PAC；（2）解：VPABCD=1322PO=423，PO=2，PB=2+2=2，则PAB与PBC为边长是2的正三角形，取PB的中点E，连AE，CE，则AEPB，CEPB，AEC是二面角的平面角，cosAEC=3+38233=13，AEC=arccos(13)18【答案】（1）解：f(x)=3sinwx+3coswx=23sin(wx+3)，设f(x+)=23sinw(x+)+3=23sin(wx+w+3)， 因为f(x+)的周期为，故2w=，故w=2.所以f(x+)=23sin(2x+2+3)，而f(x+)为偶函数，所以2+3=k+2，kZ即=k2+12，kZ，因为02，故=12，
8、综上，w=2，=12.（2）解：g(x)=f(3x)=23sin(3wx+3)，令2k23wx+32k+2，kZ，解得2k563wx2k+63w，故函数g(x)的单调递增区间为2k563w，2k+63w，kZ，所以存在kZ使得2k563w20，所以k=0，故563w2363w即00 ）.由 |3x0+3|10=6105 ，解得 x0=3 ，所以 Q(3,3) .故直线 AQ 的方程为 y=(x6) ，由 y=3xx+y6=0 得 x=3,y=9,即 B(3,9) ，故 AB=(36)2+92=92 ，答：水上旅游线 AB 的长为 92km .（2）解：将喷泉记为圆P，由题意可得 P(3,9)
9、， 生成t分钟时，观光车在线段 AB 上的点C处，则 BC=2t ， 0t9 ，所以 C(3+t,9t) .若喷泉不会洒到观光车上，则 PC2r2 对 t0,9 恒成立，即 PC2=(6t)2+t2=2t212t+364at ，当 t=0 时，上式成立，当 t(0,9 时， 2at+18t6 ， (t+18t6)min=626 ，当且仅当 t=32 时取等号，因为 a(0,1) ，所以 r1，f(0)=0，所以f(1)f(0)a1，1+2a0，或a1，32a0，解得：a12或a32，所以实数a的取值集合为(，1232，+).（2）解：当a=1时，f(x)=x22x(x21)，x210，x2+2
10、x(x21)，x210，所以f(x)=x22x(x21)，x1或x1，x2+2x(x21)，1x1，因为g(x)=f(x)kx在区间(2，0)上有唯一零点，所以方程k=f(x)x在区间(2，0)上有唯一的根，所以函数y=k与y=f(x)x在区间(2，0)上有唯一的交点，函数y=f(x)x的图象，如图所示：当8k1时，f(x)f(1)x2+2x(x2a)32a2a(x1)2x3+x23，所以2a2x3+x23x1=2x2+3x+3在x0，1)恒成立，所以2a2+3+3=8a4.当0a1时，f(x)f(1)x22x(x2a)sgn(x2a)2a1，）当ax1时，上式x22x(x2a)2a1，所以2
11、a2x2+x+1在xa，1)恒成立，所以2a2a+a+1，此时0a1的数都成立；）当0xa时，f(x)f(1)x2+2x(x2a)2a1，所以2a2x2x+1在x0，a)恒成立，当a14，即0a116时，2a2aa+10a1，所以0a116；当14a1，即116a1时，2a2(14)214+1a716，所以116a716；所以0a716；综合可得：00，所以数列an单调递增再证“必要性”假设存在kN使得ak为偶数，则ak+1=ak21满足an=1，理由如下：因为a1=1，m为奇数，所以a2=1+m2m且a2为偶数，a3=1+m2m假设ak为奇数时， akm；ak为偶数时，ak2m当ak为奇数时，ak+1=ak+m2m，且ak+1为偶数；当ak为偶数时，ak+1=ak2m所以若ak+1为奇数，则ak+1m；若ak+1为偶数，则ak+12m因此对nN都有an2m所以正整数数列an中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项设集合A=(r，s)|ar=as，r1且ar1=as1(r1m时，ar11=ar1m，as11=as1m，所以ar11=as11所以若r11，则r11B且r11r1，与r1是B中的最小元素矛盾所以r1=1，且存在11满足an=1
