1、上海上海市市 2022 届高三数学届高三数学模模拟拟卷卷一、填空题一、填空题1设集合=0，1，2，=1，若 ，则实数=3+42已知为虚数单位，若复数=1，则|=32 3不等式 2的解集是 4若方程组 +2=3无解，则实数=2+=25从总体中抽取 6 个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为.336若数列的前 n 项和=2+1，则数列的通项=.7二项式(3 1 )15展开式中的常数项是 8小明给朋友发拼手气红包，1 毛钱分成三份（不定额数，每份是 1 分的正整数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到 5 分钱的概率为9如图，为双曲线22=1(0)的右焦点，过作直
2、线与圆2+2=2切于点，与双曲2 2线交于点，且恰为线段的中点，则双曲线的渐近线方程是.4210若函数()=cos(+)(0)在0，的值域为1，2，则 的取值范围是 11若分段函数()=32 0，将函数=|()()|，的最大值记作，2 3 0，那么当2 2时，2，+4的取值范围是；12已知向量 ，满足|=3，|=1，若存在不同的实数 1,2(12 0)，使得 =+3 ，且()()=0(=1,2),则|12|的取值范围是 二、单选题二、单选题13设 0 ，则“=1 ”是“+2 恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件14已知0 ，若lim+1+2=25，
3、则（）B=5C=25Db=-5A=25415已知函数()=sincos（、为常数 0，R）在=处取得最小值，则函数3(4)是（）A偶函数，且图象关于点(，0)对称B3C3偶函数，且图象关于点(2，0)对称奇函数，且图象关于点(2，0)对称D奇函数，且图象关于点(，0)对称16已知数列，以下两个命题：若+，+，+都是递增数 列，则，都是递增数列；若+，+，+都是等差数列，则，都是等差数列，下列判断正确的是（）A都是真命题B都是假命题C是真命题，是假命题三、解答题三、解答题17如图，正四棱锥中.D是假命题，是真命题（1）求证：平面；（2）若=2，=4 2，求二面角的余弦值.318已知()=3sin
4、+3cos(0)（1）设=(+)(0 )是周期为的偶函数，求，；223（2）若()=(3)在(，)上是增函数，求的最大值；并求此时()在0，的取值范围.19.如图，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路 上一游客休息区，已知 tan=3，=6（百米），Q 到直线，的距离分别为 3（百米），6 10（百米），现新修一条自 A 经过 Q 的有轨观光直路并延5伸至道路 于点 B，并在 B 处修建一游客休息区.1求有轨观光直路 的长；2已知在景点 Q 的正北方 6 百米的 P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为 9 分 钟，表演时，喷泉喷洒区域以 P
5、为圆心，r 为半径变化，且 t 分钟时，=2 （百米）（0 9，0 1）.当喷泉表演开始时，一观光车 S（大小忽略不计）正从休息区 B 沿（1）中的轨道 以2（百米/分钟）的速度开往休息区 A，问：观光车在行驶途中是否会被喷 泉喷洒到，并说明理由.20定义符号函数sgn()=11 1满足=1？请说明理由答案解析部答案解析部分分1 【答案】0，22【答案】153【答案】2435(，)4【答案】25【答案】1336【答案】(2)17【答案】50058【答案】199【答案】y=2x1 0【答案】3342，11【答案】4，601 2 【答案】2,2 2)2 2，2 3)13.【答案】A14.【答案】D
6、15.【答案】D16.【答案】D1 7【答案】（1）证明：因为是正棱锥，在面内射影是与的交点，即 面，又 ，与在面内相交，面；33（2）解：=1 22 =4 2，=2，=2+2=2，则 与 为边长是 2 的正三角形，取的中点，连，则 ，是二面角的平面角，3+38cos=1，2 3 3313=cos()1 8【答案】（1）解：()=3sin+3cos=2 3sin(+3)，设(+)=2 3sin(+)+=2 3sin(+)，33因为(+)的周期为，故2=，故=2.所以(+)=2 3sin(2+2+3)，而(+)为偶函数，32212所以2+=+，即=+，因为0 ，故=，21212综上，=2，=.（
7、2）解：()=(3)=2 3sin(3+3)，2 532+3令22 3+3 2+2，解得6 6，2 532+3故函数()的单调递增区间为6，6，32 52+所以存在 使得6 2 0，所以=0，故6 2 3 6 即 0 0）.105由|30+3|=6 10，解得 0=3，所以(3,3).故直线 的方程为 =(6)，由=3+6=0得=3,=9,即(3,9)，故 =(36)2+92=9 2，答：水上旅游线 的长为 9 2.（2）解：将喷泉记为圆 P，由题意可得(3,9)，生成 t 分钟时，观光车在线段 上的点 C 处，则 =2，0 9，所以(3+,9).若喷泉不会洒到观光车上，则 2 2 对 0,9
8、 恒成立，即 2=(6)2+2=2212+36 4，当 =0 时，上式成立，当 (0,9 时，2 +18min18 6 ，(+6)=6 26，当且仅当 =3 2 时取等号，因为 (0,1)，所以 1，(0)=0，所以(1)(0)或 1，1，1+2 0，32 0，解得：1或 3，22所以实数的取值集合为(1322，+).（2）解：当=1时，()=22(21)，21 0，2+2(21)，21 0，所以()=22(21)，1 或 1，2+2(21)，1 1，因为()=()在区间(2，0)上有唯一零点，所以方程=()在区间(2，0)上有唯一的根，所以函数=与=()在区间(2，0)上有唯一的交点，函数=
9、()的图象，如图所示：17当8 1时，()(1)2+2(2)322(1)23+23，所以2 23+23=22+3+3在 0，1)恒成立，1所以2 2+3+3=8 4.当0 1时，()(1)22(2)sgn(2)21，）当 1时，上式22(2)21，所以2 22+1在 ，1)恒成立，所以2 2+1，此时0 1的数都成立；）当0 时，()(1)2+2(2)21，所以2 22+1在 0，)恒成立，当 1，即0 1 时，2 2 +10 1，41616所以0 1；1 1 4161 2 144 7 16当 1，即 1时，2 2()+1，所以 1 7；161616所以0 7；16综合可得：0 0，所以数列单调递增 再证“必要性”+12假设存在 使得 为偶数，则=1满足=1，理由如下：2因为1=1，为奇数，所以2=1+2且2为偶数，3=1+假设为奇数时，；为偶数时，2当为奇数时，+1=+2，且+1为偶数；+12当 为偶数时，=所以若+1为奇数，则+1 ；若+1为偶数，则+1 2因此对 都有 2所以正整数数列中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项 设集合=(，)|=，1且1=1(1 时，11=1，11=1，所以11=11 所以若1 1，则11 且11 1，与1是中的最小元素矛盾所以1=1，且存在1 1满足=11
