1、第二节 二重积分的计算法,Df x y d一一 利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分 利用几何意义计算二重积分（求曲顶柱体的体积）。利用几何意义计算二重积分（求曲顶柱体的体积）。ddxdy面积元素面积元素xy积分区域积分区域bax0 12yxDyxybax0 xyDxy21y 12:,DxyxaxbX-型区域1()xy2()xyyxODdccd1()xy2()xyxOyD 12:,DyxycydY-型区域bax0 12yxDyxycd1()xy2()xyxOyDcd1()xy2()xyxOyD1()xy2()xyyxODdc1()xy2()xyyxODdc(,)zf x y2()y
2、x1()yxxyzab0 x0()A xO21()()(,)(,)bxaxDf x y dxdydxf x y dy 12,xyxaxb设D（X型）：201000,xxA xf xy dy00,:xa bA x取，则有曲边梯形积分后先对xy 210,babxaxxxVA x dxf x y dy dx 将 换成，得利用平行截面面积已知利用平行截面面积已知,求立体体积的方法求立体体积的方法:若D为（Y型）：12,yxycyd21()()(,)(,)dycyDf x y dxdydyf x y dx则积分后先对yx求二重积分的方法：求二重积分的方法：将二重积分化为两个定积分（二次积分）来计算将二重
3、积分化为两个定积分（二次积分）来计算21()()(,)(,)()bxaxDf x y dxdydxf x y dyyx则先 后 积分 12,xyxaxb若D（X型）：若D不是X型（或Y型），则将D分为几个区域，使它们为X型（或Y型），几个区域上的积分之和就是所给二重积分的值。1212,DDDf x y df x y df x y dDDD1D2D 例例1 计算 ，其中D是由直线y=1,x=2,及y=x所围区域。Dxyd解法解法 1 把D看成X型域，则21123221114221()2229848xDxxydxydy dxyxxxdxdxxx DxyOyx1y x12:1,12,Dyxx解法 2
4、 把D看成Y型域，则221222132142212(2)2988yyxydx dyxydyyydyyy DxydDOyx12y2x xy例例2 计算 ，其中D是由抛物线 及直线 所围成的区域。Dxyd2=yx解解 把D看作Y型域y122xy2xyD2yx2:2,12,D yxyy(4,2)yOx(1,1)则Dxyd22222221122514632212(2)1422436558yyyyxxydx dyydyy yydyyyyy2221yydyxydx把D看作X型域 由于在0，1和1，4上下边界的表达式不同，所以要用直线x=1将D分成两个区域 和 2D1D2:2,Dxyx14x01x1:,Dx
5、yxyOx12DDx1(1,1)(4,2)yx yx42yxx14012xxxxxydy dxxydy dx Dxyd12DDxydxyd它们分别用以下不等式表示：例例3 求221,:,1,1DIyxy dD yx xy 所围.112213122211112133xIdxyxy dyxydxx 若Y型:1,11Dxyy 122111yIdyyxy dxD1110yx:1,11D xyx 解解 X型则积分较繁。Yxy先 后 积分，解型:0,01Dxyy22221100001120011122yyyyyyIdye dxex dyye dye dye11yx0D2,:,1,0yDIe dD yx y
6、x例例4 求 所围成。2110yxIdxe dyyx分析 若先 后 积分，则 无法积分。例例5 交换二次积分的顺序1220010(,)(,)xxdxf x y dydxf x y dy分析 要将按X型域确定积分限改为按Y型域确定积分限。为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新确立积分限，得到二次积分。1220010120(,)(,)(,)xxyydxf x y dydxf x y dydyf x y dx解解 将所给积分限还原成D的图形，由12DDD2012DD11xy知D是由y=x，y=2x，y=0三条直线所围成，:2,01D yxyy于是按Y型域定限1
7、:0,01Dyxx，2:02,12Dyxx其中例例6 交换二次积分的顺序 1110001,;2,xyydxf x y dydyf x y dx故D是由 所围成的，于是0,1,0,1xxyyx Y:01,01,Dxyy 型11110000,xydxf x y dydyf x y dxx110y1xy 1:01,01,Dyxx 由二次积分限，有X型解解2:,01,D xyxx21100,yxyxdyf x y dxdxf x y dyx11,10y2yxyx0,1,yyxy xy故D是由 所围成的，于是:,01,D yxyyY型 102,yydyf x y dx由的积分限，有000()()()cy
8、cdyf x dxcx f x dx 0,7f xc 设在上连例续，证明证证 由等式左边，得:0,0Dxyyc改变积分顺序，得:,0D xycxc左边 右边00()()()cccxdxf x dycx f x dx所以，左边 右边00()()()cccxdxf x dycx f x dx所以，二二 极坐标计算二重积分极坐标计算二重积分 极坐标是由极点极点和极轴极轴组成，坐标 ，其中r为点p到极点o的距离，为or到op的夹角。r=常数；（从o出发的同心圆）=常数；（射线）Or(,)p r,r0,02r cossinxryr直角坐标与极坐标的关系为：面积元素为（矩形）(,)(,)DDf x y d
9、F rrdrd由直角坐标和极坐标的对应关系，得到二重积分在极坐标下的形式,cos,sinF rf rr其中,Df x y ddrd dr底高rd弧长于是得到极坐标下，二重积分化为二次积分的公式：21()()(,)(,)DF rrdrdF rrdr d 12()(),r AO1()r 2()r DAOD2()r 1()r 若积分区域 D：21()()(,)(,)DF rrdrddF rrdr 或写作若极点在D的内部则D可以用不等式 ，表示，这时有0210()r 2()00(,)(,)DF rrdrddF rrdr AOD()r 解解 利用 把积分区域的边界曲线化为极坐标形式：2,:11,081D
10、f x y dDxyxx 将 化为极坐标例下的二次积分.cossinxryr11,sincosrr圆：直线：1210sincos1:1,0sincos2,cos,sinDDrf x y ddf rrrdr1r 1sincosrxy11于是例例9 计算 ，其中D是以原点为圆心，半径为 的圆域。dxdyeDyx22解解 D可以表示成0,02ra222222222000020121(1)(1)2xyrDDarraaaedxdyerdrdderdrededea 问题 本题为何不用直角坐标计算？如何计算广义积分20?xedx解解 用极坐标，222222sin,:1,00014DxydDxyxyxy 计例
11、算:12,2Dr2122122sinsin21rdrdrrdrdrd 原积分0 x21y 例例11 计算 其中D为 和x轴所围成的区域，并说明该积分的几何意义。2224Daxy dxdy，222(0)xyaxy 解解 将 化为 ，可见D是一个半圆域。222()xaya222xyaxx02 cosrayaD2a02 cos2ra，0所以D可表示为2 cosra圆的方程表示成极坐标形式：于是，利用极坐标得：222222 cos2220033320444882(1 sin)3323DDaaxy dxdyar rdrddar rdrada（）几何意义几何意义是球面 ,圆柱面2224zaxy22,0ya
12、xxx zxoy面及面所围成的立体的体积。Dy0 xz2a练习练习1Dyxy由和围成.22222.:3.Dxy dxdyD xy求，2111.,.xxdxf x y dy改换积分顺序23.(2cos)Dxyx y dxdy求，2330012.232 33Idr rdr21212211122211121.,xxyydxf x y dydyf x y dxdyf x y dx3320014232 33Idr rdr或由对称性1112211203.(2cos)2202122 222215DDDxxyx y dxdydxdyx ydxdydxx ydy 小结小结1.如何选择合适的坐标系计算二重积分？如何选择合适的坐标系计算二重积分？2.利用对称性计算二重积分时，利用对称性计算二重积分时，应该注意什么？应该注意什么？
