1、第第 二二 章章行行 列列 式式v行列式的概念行列式的概念v n 阶行列式阶行列式的定义的定义v行列式的性质行列式的性质v行列式按行（列）展开定理行列式按行（列）展开定理v行列式的计算行列式的计算v再论可逆矩阵再论可逆矩阵设二元线性方程组设二元线性方程组 a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2(1)(2)1 1 行列式的概念行列式的概念若令若令 ，22211211aaaaA21xxX21bbbbAX 则方程组可表示为定义定义3.1 二阶行列式二阶行列式1112112212212122aaa aa aaa注：注：二阶行列式是一个数。二阶行列式是一个数。用消元法解方程组，当用消
2、元法解方程组，当 时，时，021122211aaaa211222111222211aaaaababx211222111212112aaaababax为了简洁明了的表示以上结果，我们引进一个为了简洁明了的表示以上结果，我们引进一个符号符号回忆中学回忆中学方程组有 唯一解：引入行列式的定义后，二元一次线性方引入行列式的定义后，二元一次线性方程组的解可以用二阶行列式表示。程组的解可以用二阶行列式表示。dd1,222112112221211aaaaababx 111212211122122,ababxaaaadd2111221220aaaa 当当 时，有时，有同样，可以用消元法求解三元一次线性方程组同
3、样，可以用消元法求解三元一次线性方程组 a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3定义定义3.2111213212223313233aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 对角线法则三阶行列式三阶行列式 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa当系数行列式当系数行列式3332312322211312
4、11aaaaaaaaaD ,0时时 相应的三元线性方程组相应的三元线性方程组方程组有唯一解方程组有唯一解,11DDx ,22DDx .33DDx ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 其中其中说明：说明：对角线法则对角线法则只适用于二阶与三阶行列只适用于二阶与三阶行列式式(1)项数：项数：2阶行列式含阶行列式含2项，项，3阶行列式含阶行列式含6项项,这恰好就是这恰好就是2!,3!.(2)每项构成每项构成:2阶
5、和阶和3阶行列式的每项分别是位于阶行列式的每项分别是位于不同行不同列的不同行不同列的2个和个和3个元素的乘积个元素的乘积.(3)各项符号各项符号:2阶行列式含阶行列式含2项项,其中其中1正正1负负,3阶阶行列式行列式6项项,3正正3负负.例例1 计算行列式计算行列式.542303241D例例2 解方程解方程29432111xx=0注：方程左端必须展成代数形式，利用代数方程的形式来解=0+24+(-24)-0-(-60)-(-12)=72例例2 解方程组解方程组12313231,22,3;xxxxxxx注意：注意：系数行列式为系数行列式为111201 .011D 以及以及DDx11DDx22DD
6、x33问：问：表示方程组解的这一结果是否可以推广到n元 线性方程组呢？从而给出n阶行列式的定义定义定义1 1由由n 个不同的数字构成的一个有序数组个不同的数字构成的一个有序数组称为这称为这n 个数字的一个个数字的一个n 级级排列排列.例如：例如：1 2 3 4 55 1 2 3 45 3 2 1 4都是数都是数1 1，2 2，3 3，4 4，5 5的一个排列的一个排列.注：注：n个数的不同排列有个数的不同排列有 个个.n!自然排列自然排列.按照由小到大的顺序排成的排列称为按照由小到大的顺序排成的排列称为定义定义2 22 n阶行列式的定义阶行列式的定义一、排列的一、排列的 逆序数逆序数在一个排列
7、中，若某个较大的数排在某在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这个排列含有一个较小的数前面，就称这个排列含有一个个逆序逆序.一个排列中出现的逆序的总数一个排列中出现的逆序的总数12()nk kk定义定义3 3称为这个排列的称为这个排列的逆序数逆序数，排列排列 12nk kk的的逆序数逆序数通常记为通常记为 例如：排列例如：排列1212的逆序数为的逆序数为 ，排列排列2121的逆序数为的逆序数为 ，排列排列231231的的逆序数为的的逆序数为 ，排列排列213213的逆序数是的逆序数是 。0121 定义定义4 4 逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列，逆序，逆
8、序数为奇数的排列称为数为奇数的排列称为奇排列奇排列。n 级排列级排列1 2ni ii的逆序数的计算的逆序数的计算),(21niii 小小的的数数的的个个数数后后面面比比数数 11ii小小的的数数的的个个数数后后面面比比数数 22ii 小小的的数数的的个个数数后后面面比比数数 11 nnii或者或者),(21niii 大大的的数数的的个个数数前前面面比比数数 nnii大大的的数数的的个个数数前前面面比比数数 11 nnii 大大的的数数的的个个数数前前面面比比数数 22ii 求排列求排列 32514 32514 的逆序数的逆序数.例例1例例2 求排列求排列 453162453162 的逆序数的逆
9、序数.例例3 求排列求排列 423165423165 的逆序数的逆序数.定义定义5 5把一个排列中的两个数交换位置，其余把一个排列中的两个数交换位置，其余的数不动，叫做对该排列作一次的数不动，叫做对该排列作一次对换对换.将相邻的两个数对换，称为将相邻的两个数对换，称为相邻对换相邻对换.定理定理3.13.1 一个排列中的任意两个元素对换，一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性排列改变奇偶性证明：证明：设排列为设排列为mlbbabaa11对换对换 ，abmlbbbaaa11除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.b,aabbaab的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后
10、 的逆序数增加的逆序数增加1,1,当当 时时，ba 当当 时，时，ba 经对换后经对换后 的逆序数不变，的逆序数不变，的逆序数减少的逆序数减少1.1.ab因此，一次相邻对换，排列改变奇偶性因此，一次相邻对换，排列改变奇偶性.设排列为设排列为nmlcbcbabaa111现来对换现来对换 与与a.b次相邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相邻对换次相邻对换12 m,111nmlcacbbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.abnmlcc
11、bbbaaa111abab定理定理3.23.22 n 时，时，n 个数的所有排列中，奇偶排个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为列各占一半，各为 个个.2!n推论推论1 1偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次对换改变排列的奇偶性。对换改变排列的奇偶性。推论推论2 2任意一个任意一个n 级排列都可以经过一系列对换级排列都可以经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换的次数与该变成自然排列，并且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性排列有相同的奇偶性.三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211
12、aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明：说明：（1）三阶行列式共有三阶行列式共有 项，即项，即 项项6!3（2 2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义（3 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列指标排列（当行指标排列为自然的三个元素的列指标排列（当行指标排列为自然排列时）排列时）例如例如322113aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 ,211312 322311aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 ,10
13、1132 偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号,负号负号.)1(321321321)(333231232221131211 ppppppaaaaaaaaaaaa 12212111212122212(1).nppnpnnnnnnnnnaaaaaaaaaDaaa由由个个数数组组成成的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有取取自自不不同同行行不不同同列列的的个个元元素素的的乘乘积积的的代代数数和和记记作作定义定义 6 det().ija记记作作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaannijaA)(A当当时，也可记为时，也可记为为为这这个个排排列列的的逆逆序序数数的的一一个个排排列列，为为
14、自自然然数数其其中中 npppn2121 nnnnpppppppppnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而引入的引入的;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn5、一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 4、的符号为的符号为nnpppaaa2121 .1 2、阶行列式是阶行列式是
15、 项的代数和项的代数和,其中正负项各其中正负项各n!n占一半，行列式是一个数占一半，行列式是一个数;6、上式称为、上式称为n阶行列式的完全展开式阶行列式的完全展开式.行列式的行列式的等价定义等价定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1(nnniiiniiiiiiaaa21212121)()1(结论结论：1、共有n！项。2、每项有n个元素。3、每项这n个元素一定处于不同行不同列中。4、每项符号与逆序数的 奇偶有关例例1 1 在在6 6阶行列式中，下列项应带什么符号阶行列式中，下列项应带什么符号.;651456423123
16、aaaaaa解解651456423123)1(aaaaaa431265的逆序数的逆序数为为012201 ,6 所以所以 前边应带正号前边应带正号.651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa651456423123)2(aaaaaa,566514234231aaaaaa342165的逆序数的逆序数为为002301 ,6 所以所以 前边应带正号前边应带正号.651456423123aaaaaa例例2 1211123111211xxxxxf .3的系数的系数求求 x解解含含 的项有两项的项有两项,即即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于 4334
17、221112431aaaa 44332211)1234(1aaaa ,1344332211)1234(xaaaa 343342211124321xaaaa .13 的系数为的系数为故故 x例例 3 计算计算4阶行列式阶行列式4443424133323122211100 00 0 0 aaaaaaaaaaD 解：解：根据定义，根据定义，D是是4！24项的代数和，但每一项的代数和，但每一项的乘积项的乘积 中只要有一个元素为中只要有一个元素为0，乘积，乘积就等于就等于0，所以只需展开式中不明显为，所以只需展开式中不明显为0 的项。的项。njjjjaaaa4321321行列式展开式中不为行列式展开式中
18、不为0的项只可能是的项只可能是a11a22a33a44，而，而列标排列列标排列1234的逆序数为的逆序数为0，即此项符号为正，因，即此项符号为正，因此行列式此行列式Da11a22a33a44。l 主对角线以上的元素全为零（即主对角线以上的元素全为零（即ij时元素时元素aij0）的行列式称为的行列式称为上三角行列式上三角行列式，它等于主对角线上各，它等于主对角线上各元素的乘积。元素的乘积。l 行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为零（即为零（即ij时元素时元素aij0）的行列式称为）的行列式称为对角行列式对角行列式，它等于主对角线上元素的乘积。它等
19、于主对角线上元素的乘积。例例4 证明证明 11121121211 21111 211(),nn nnnnnnnnaaaa aaaaaa 上面的行列式中，未写出的元素都是上面的行列式中，未写出的元素都是0。证证:行列式的值为行列式的值为121121nnjjnjjja aa若乘积非零，若乘积非零，j1j2jn只能是排列只能是排列n(n1)2 1，它的逆序数为它的逆序数为 1(1)(2)2 12nnnn 所以行列式的值为所以行列式的值为 12,11,21211nnnnnnaaaa 4132231441323123222114131211000000aaaaaaaaaaaaaaD 例如例如312213
20、312221131211000aaaaaaaaaD而而n 21 .12121nnn ;21n n 21例例 5 5 证明证明 利用行列式的定义去计算行列式，显然是利用行列式的定义去计算行列式，显然是很麻烦的对于阶数较高的行列式这样去计算很麻烦的对于阶数较高的行列式这样去计算几乎是不可能的，所以我们有必要去研究行列几乎是不可能的，所以我们有必要去研究行列式的性质和找到能够比较快地进行计算的方法式的性质和找到能够比较快地进行计算的方法3 行列式的性质行列式的性质 性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等。,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD 11211
21、1222212nnTnnnnaaaaaaDaaa 行列式行列式DT 称为行列式称为行列式D的的转置行列式转置行列式。即：即：证证：记记 111212122212,nnTnnnnbbbbbbDbbb 即即bijaji(i，j1，2，n)DDT nnijaAAAT*或者设或者设则则121 2121nnTjjnjj jjDb bb121 2121nnjjj nj jja aaD性质性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。互换行列式的两行（列），行列式反号。证证 nnnqnpnnqpnqpaaaaaaaaaaaaD12222111111 交换第交换第p、q两两列，得行列式列，得行列式 nnnpnq
22、nnpqnpqaaaaaaaaaaaaD122221111111 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.对于对于D中任一项中任一项 112121pqniii pi qi na aaaa在在D1中必有对应一项中必有对应一项 212121qpniii qi pi na aaaa与与 只经过一次对换只经过一次对换nqpiiii1npqiiii11211与与相相差差一一个个符符号号niqipiiinipiqiiinqpnpqaaaaaaaaaa21212121 所以对于所以对于D中任
23、一项，中任一项，D1中必定有一项与它的符号中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又相反而绝对值相等，又D与与D1的项数相同。的项数相同。1DD 推论推论 若行列式有两行（列）元素对应相等，则若行列式有两行（列）元素对应相等，则行列式为零。行列式为零。性质性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数同一个数k，等于用数，等于用数k乘以此行列式。乘以此行列式。性质性质4 行列式中若有两行（列）元素对应成比例，行列式中若有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。则此行列式为零。推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素
24、的公因子可以提到行列式的外面。子可以提到行列式的外面。nnnininaakakaaaD11111;11111nnnininaaaaaak*设设A为为n阶方阵，阶方阵，,Fk则则AkkAn性质性质5 若行列式的某行（列）的元素都是两个数之若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，例如和，例如 nnnnininiiiinnaaaaaaaaaaaaaaaD2122112222111211 则行列式则行列式D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnnniniinnnnnniniinnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD2121222211121121212222111211
25、性质性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。以数以数k乘以第乘以第i行上的元素加到第行上的元素加到第j行对应元素上行对应元素上，有，有111211112112121211221212()()()()nniiiniiinjjjnjijijninnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaji kaaaakaakaakaaaaaaa71100251020214214例例1 求求=(。=0)解：原式解：原式7110025104214202121rr 71102021504
26、2702021124rr 1310rr 42702021507110202142rr 45900851700711020212315rr 247rr 例例2 计算四阶行列式计算四阶行列式abbbbabbDbbabbbba 解观察此行列式知，它具有以下特点：各行的元素之和都相等因此，把第，4行都加到第行上，提取公因子，然后各行减去第1行，得abbbbabbbbabbabababaD3333abbbbabbbbabba1111)3(babbabbbaba0000001111)3(3)(3(babacbbaacbaaccbaccbba例例3 求求 例例 4 计算行列式计算行列式 efcfbfdecd
27、bdaeacab0例例5 证明证明 2221112222221111112cbacbacbabaaccbbaaccbbaaccb例例6 证明：证明：43610363234232adcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba4 行列式按行（列）展开定理行列式按行（列）展开定理 定义定义 n阶行列式中，划去元素阶行列式中，划去元素aij所在的行和列，所在的行和列，余下的元素按其原有的位置构成的余下的元素按其原有的位置构成的n1阶行列式叫阶行列式叫做元素做元素aij的的余子式余子式，记为，记为Mij。ijjiijMA )1(Aij叫做元素叫做元素aij的的代数余子式代数余子式
28、。显然，显然，Aij与行列式中第与行列式中第i行、第行、第j列的元素无关。列的元素无关。（先观察上节例（先观察上节例1 P41）引理引理 n阶行列式阶行列式D，如果其中第，如果其中第i行元素除行元素除aij外全部外全部为零，则行列式等于为零，则行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，与它的代数余子式的乘积，即即DaijAij证证 先证先证i1，j1的情形的情形 nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD3232323211)1(3212232221111000 nnnjjjnjjjjjjaaaa32323232)(111 111111111111113233332223
29、22111AaMaMaaaaaaaaaaannnnnn 设设 D 的第的第 i 行除了行除了ija外都是外都是 0.nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 把把 D 的第的第i行依次与第行依次与第1 i行，第行，第2 i行，行，第第2行，第行，第1行交换；再将第行交换；再将第j列依次与第列依次与第1 j列列第第2 j列，列，第第2列，第列，第1列交换，这样共经过列交换，这样共经过2)1()1(jiji次交换行与交换列的步骤次交换行与交换列的步骤.对一般情形，只要适当交换对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，的行与列的位置，即可得到结论。即可得到结论。得得nnjnnjnijijii
30、jjiaaaaaaaD1,11,1,1200)1(ijijjiMa )1(ijjiA )1(定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即对应的代数余子式乘积之和，即),2,1(),2,1(22112211njAaAaAaDniAaAaAaDnjnjjjjjininiiii 或或证证nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110000000 nnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaa21211211211112110000 .2211ininiiiiAaAaAa nnnninnaaaaaaa211121
31、100 04422189443221829010353101221314001035351012221311471100251020214214例例1xyyxyxyx00000000 xyxyxx0000yxyxyy0000)1(14同样的道理和方法，计算同样的道理和方法，计算dcdcbabaDn2)(22 nDbcad（思考题）（思考题）例例2 计算.621721744354353274274D621100744310053271004D解：解：62117443153271410017802116013271410017821161100)232178(100.5400推论推论 行列式一行行
32、列式一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应元的对应元素的代数余子式乘积之和等于零素的代数余子式乘积之和等于零,即即)(02211jiAaAaAajninjiji )(02211jiAaAaAanjnijiji 或或证证111111 niinjjnnnnaaaaaaaa1122jjjjjnjna Aa Aa A当当i j,将式中将式中ajk换成换成aik(k=1,2,n),可得可得111111 niiniinnnnaaaaaaaa同理可证同理可证02211 njnijijiAaAaAa1122ijijinjna Aa Aa A0 代数余子式的重要性质代数余子式的重要性质:10,;
33、nikjkkDija Aij 当当当当10,;nkikjkDija Aij 当当或或当当例例4 已知2135111142312531.D 求求（1）41424344AAAA34333231432MAMA(2)定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A则则.2 运算性质运算性质 ;1AAT ;2AkkAn ;3BAAB .BAAB 1111111111110mmmmmnnnmnnnaaaaDccbbccbb 设设11111det(),mijmmmaaDaaa,)de
34、t(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明设设定理定理4 4(),(),ijm mijn nAOAaBbA BCB 则则证明证明1111110;mmmmmpDpppp设设为为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对22,DkccDji 1121110.nnnnnqDqqqp设设为为,ijijDmrkrnckcD 对对的的前前行行作作运运算算，再再对对后后列列作作运运算算把把化化为为下下三三角角形形行行列列式式11111111110,mmmmnnmnnnpppDccqccqq 11
35、11mmnnDppqq 故故.21DD 推论推论1 设设(),(),ij m mij n nA CAaBbABO B 则则推论推论2 设设1(),(),()m nij m mij n nOAAaBbA BB C 则则同时BABOOA同时BAOBAOOBADmn1;CABA B定理定理5 设设A,B是是 n 阶方阵，则阶方阵，则证明证明:nnnnnnnnnbbbbaaaaD111111112110BEA 0A B 另：另：对上述行列式作行变换，将第对上述行列式作行变换，将第n+1行的行的a11倍，倍，第第n+2行的行的a12倍，倍，第第2n行的行的a1n倍加到第一行，倍加到第一行，1112212
36、1111100000011nnnnnnnnnnccaaDaabbbb 再依次将第再依次将第n+1行的行的ak1倍倍(k=2,3,n)，第，第n+2行的行的ak2倍，倍，第第2n行的行的akn倍加到第倍加到第k行，得行，得得：得：111221212111100000011nnnnnnnnnccccDccbbbb 由定理由定理4 的推论得的推论得1()n nnABAB 21()n nnDABE 证明完毕。证明完毕。;ABA BB ABA*设设A,B是是 n 阶方阵阶方阵,则则AOEB A B 11122112111100000011nnnnnnnnccccccbbbb OABEB 证明过程：证明过
37、程：ABAOEB OABEB EAOE 有了上述定理的结论之后，再换个角度看定理的结论。有了上述定理的结论之后，再换个角度看定理的结论。AOEB OABEB EAOEAOEB A BAB设A、B均为n阶方阵，为一实数，ABE BAE 证明证明：当=0时显然等式成立。当0时，根据分块矩阵的广义初等变换与初等方阵的关系可知，EOAEEBAEEBOAE EBAE EBOABE ABE 例例 5EBAEEOAEBAEBOE另外，有BAEBAEEBAEBOEEBAEABE BAE 故 例例1 1 计算计算5 5 行列式的计算行列式的计算一、对角线法则一、对角线法则 此时，要结合行列式的各种性质，加以简化
38、此时，要结合行列式的各种性质，加以简化计算。另外，这个方法只适合二阶及三阶行列式。计算。另外，这个方法只适合二阶及三阶行列式。二、化为三角形行列式二、化为三角形行列式axaaaaaxaaaaaxaaaaaxD 122nxnaxa()()baaaaabaaaaabaaaaabaDnnnn 32132132132111312 rrrrrrn bbbbbbaaaban 000000321nccc 21例例2 2 计算计算bbbaaabaaann 000000000)(3221121)()(nnbbaaa例例 3阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和
39、求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 解解 第一行各元素的代数余子式之和可以第一行各元素的代数余子式之和可以表示成表示成nAAA11211 n001030100211111.11!2 njjnnn00003000020111131211jcnj121例例4 4证明证明范德蒙德范德蒙德(Vandermonde(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD三、数学归纳法三、数学归纳法 证明证明用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx (1)(1)当当n=2=2时时,结论成立结论成立.,)(12
40、jijixx（只适合证明题）（只适合证明题）(2)(2)设对设对n1 1阶范德蒙德行列式结论成立，来阶范德蒙德行列式结论成立，来证对证对n阶范德蒙德行列式结论也成立阶范德蒙德行列式结论也成立.112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxD11 nnrxr211 nnrxr112rxr )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn ,)(11提提出出因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第xxi 223223211312111)()(nnnnnnxxxxxxxx
41、xxxx n-1-1阶阶范德蒙德范德蒙德行列式行列式)()()(211312jjininxxxxxxxx ).(1jjinixx 证毕证毕.有的行列式可以利用范德蒙行列式的结论进行计算有的行列式可以利用范德蒙行列式的结论进行计算例例5 5 计算计算222abcDabcbccaab 例例6计算计算.333222111222nnnDnnnn 222333nn312n312n312n312nnDn 2221111111312312312!nnnnnnn 1!()!(21)(31)(1)(32)(42)(2)(1)!(1)!(2)!2!1!.nijnijnDnnnnnnnnxx 例例7证明证明.cos
42、cos21000100000cos210001cos210001cos nDn 证明证明对阶数对阶数n用数学归纳法。用数学归纳法。2212121221coscos,coscos,.()nD 当当时时 结结论论成成立立2(),.,nnnD假假设设对对阶阶数数小小于于 的的行行列列式式结结论论成成立立 下下证证对对于于阶阶数数等等于于 的的行行列列式式也也成成立立 现现将将按按最最后后一一行行展展开开 得得.cos221DDDnnn 212 ()()n-1nDcos n,Dcos n,;cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .结结论论成成立立所所以
43、以对对一一切切自自然然数数 n四、降阶递推法四、降阶递推法例例8 8 计算计算dcdcdcbababaDn 20000方法方法:降阶降阶找递推公式找递推公式.2022-8-10解解 按第按第1 1行展开行展开,有有ddcdcbabaaDn00002 0000)1(12cdcdcbababn )1(2)1(2 nnbcDadD)1(2)(nDbcad2022-8-10递推公式递推公式2nD)1(21)(nDbcad)2(22)(nDbcad 121)(Dbcadn21)(Dbcadn nbcad)(五、加边升阶五、加边升阶 法法例例9 9 计算计算121212111nnnnaaaaaaDaaa
44、（可以用化上三角的（可以用化上三角的 方法）方法）1212121211010101nnnnnnaaaaaaaaaDaaa 1211110010101001nnaaa 12111010000100001nininaaaa 11niia 例例 10 计算行列式计算行列式 (加边法加边法)yyxxD 1111111111111111解解 当当x0 或或y0时，显然时，显然D0，现假设，现假设x0，且且y00，由定理知，由定理知 1111101111011110111101111xDxyy 22000000000000000011111yxyyxx 把第二、三、四、五列的常数倍加到第一列上去，1111
45、11000100010001000 xxyy 122221212111111111nnnnnnnxxxxxxDxxx 例例11 11 计算计算122221212111111011101110111()nnnnnnnnxxxxxxDxxx 122221212111111111()nnnnnnnxxxxxxxxx 12222121221111000nnnnnnxxxxxxxxx12222121211111111nnnnnnxxxxxxxxx122221121111211112nniinnnnnxxxxxxxxxx 111()()niijij i nxxx 11112()()nniiijiij i
46、nxxxx 说明：计算行列式的方法是多种多样的，这里计算行列式的方法是多种多样的，这里仅列出了比较常见的几种方法。在计算行列式仅列出了比较常见的几种方法。在计算行列式的时候，需要将行列式的有关性质、结论以及的时候，需要将行列式的有关性质、结论以及多种方法结合起来使用，才能更容易的求出行多种方法结合起来使用，才能更容易的求出行列式的值。列式的值。利用分块矩阵的广义初等变换，可以证明以下结果：利用分块矩阵的广义初等变换，可以证明以下结果：设设ABMA,B,C,DnPnCD，是是 阶阶方方阵阵，是是任任一一 阶阶方方阵阵则：则：u ABPAPBAPBPCDCDCPDu ABABAAPBCDPACPB
47、DCCPD A,B,C,DnAAC=CA是是 阶阶方方阵阵，且且 可可逆逆，,则例例1212ABADCBCD1ABEO ABCDCAE CD 证明：1ABODCA B 1A DCA B 1ADACA B ADCBA,Bn 是是 阶阶方方阵阵，明明：为一实数证证例例1313E-ABEAB证明EAAEABEOBEEE E-ABOBE E-AB AEAEABEBEOEE EOBABE-BAE E-E-BA E-AB E-BA nAn ，明明：阶可逆方阵是列向量是是两两个个 维维证证例例1313证明 111TTTA A+AA-11111+TTT-A A AA-OA 11TTTA A+A+-O 111T
48、TTA A+AA-定义定义行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.A6 再论可逆矩阵再论可逆矩阵nAnBEBAABAAAA如果一个阶方阵阶方阵能够找到一个能够找到一个阶方阵阶方阵使得使得则称则称是可逆的是可逆的可逆和可逆和对应的行列式对应的行列式有什么关系呢？有什么关系呢？矩阵矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵具有如下性质：具有如下性质：A*AAA AA E 证明：证明：nnnnnnnnAAAAAaaaaA1111*1111 AAAAA*EAAA
49、*定义定义 设设A为为n阶方阵阶方阵,若若 A=0,则称则称 A为奇异矩阵为奇异矩阵;否则否则,A为非奇异矩阵为非奇异矩阵。定理定理6 设设A是是n阶方阵阶方阵,A可逆的充分必要条件为可逆的充分必要条件为A是是非奇异矩阵非奇异矩阵.（）证证 先证充分性先证充分性。设设A为非奇异矩阵为非奇异矩阵,设设A的伴随矩阵为的伴随矩阵为A*,则有则有 EAAAAA *0 A因为因为EAAAAAA )1()1(*有有11*AAA 0A再证必要性。再证必要性。由于由于A是可逆的是可逆的,即有即有A-1,使使A-1 A=E 11 EAA故故11 AA0A推论推论 设设A，B是是n阶方阵阶方阵,如果如果AB=E，则则 A可逆，可逆，且且 B=A-1。（。（第一章的结论第一章的结论）EAB 1 EAB1BA0AAEAB 11)(AABA11)(ABAA1 AB可逆可逆例例5 5 求方阵求方阵 222123136A 的逆矩阵。的逆矩阵。解解 因为因为 02 A，所以，所以A-1存在存在,先求先求A的伴随矩阵的伴随矩阵A*A11=3,A12=-3,A13=1,A21=-6,A22=10,A23=-4,A31=2,A32=-4,A33=2 3623104142*A 13621131042142*AAA
