1、第三章 多维随机变量及其分布第一节第一节 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布第二节第二节 边缘分布边缘分布第三节第三节 相互独立的随机变量相互独立的随机变量第四节第四节 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布大纲要求：大纲要求：1 1 了解二维随机变量的概念及其实际意义，了解二维随机变量的概念及其实际意义，理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。2 2 理解二维随机变量的边缘分布以及与联合理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系。分布的关系。3 3 掌握二维均匀分布和二维正态分布。掌握二维均匀分布和二维正态分布。4 4 理解随机变量的独立性
2、。理解随机变量的独立性。5 5 会求二维随机变量的和、及多维随机变量会求二维随机变量的和、及多维随机变量的极值分布。的极值分布。6 6 了解了解n n维随机变量的概念及其分布。维随机变量的概念及其分布。二、分布函数二、分布函数三、二维离散型随机变量三、二维离散型随机变量 四、二维连续型随机变量四、二维连续型随机变量 第一节第一节 二维随机变量二维随机变量一、多维随机变量一、多维随机变量一一、多维随机变量多维随机变量1.1.定义定义：将将n 个随机变量个随机变量X1 1，X2 2，.,.,Xn n构成一个构成一个n维向维向量量(X1,1,X2 2,.,.,Xn n)称为称为n维随机变量维随机变量
3、。一维随机变量一维随机变量XR1上的随机点坐标上的随机点坐标 二维随机变量二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标上的随机点坐标 n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标，上的随机点坐标，多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律概率密度、或分布律来描述其统计规律实例实例1 炮弹的弹着点的炮弹的弹着点的位置位置(X,Y)就是一个二维就是一个二维随机变量随机变量.二维随机变量二维随机变量(X,Y)的性质不仅与的性质不仅与X、Y 有关有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两
4、个随机变量的相互关系.实例实例2 考查某一地考查某一地 区学区学前儿童的发育情况前儿童的发育情况,则儿则儿童的身高童的身高 H 和体重和体重 W 就就构成二维随机变量构成二维随机变量(H,W).说明说明 二二、分布函数分布函数设设(X,Y)是二维随机变量，是二维随机变量，(x,y)R2 2,则称则称 F(x,y)=)=P X x,Y y 为为(X,Y)的的分布函数分布函数，或，或X与与Y的联合分布函数。的联合分布函数。xoy),(yx yYxX ,.),(域内的概率域内的概率在如图所示区在如图所示区的函数值就是随机点落的函数值就是随机点落yxF对于对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1
5、x2，y1y2),则则Px1X x2，y10、20、|0 即：即：对一切对一切x,y,均有：均有：故故X,Y 独立独立)()(),(ypxpyxpYXy 0 其它,00,)(xxexpxX 其它,00,)(yeypyY解：解：dyxexpyxX0)()(xxe dxxeypyxY 0)()(ye 例例3 一负责人到达办公室的时间均匀分布在一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时时,设他们两人到达的时间相互独立设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办求他们到达办公室的时间相差不超过公室的时间相差不超过 5 分钟的概
6、率分钟的概率.解解,达办公室的时间达办公室的时间书到书到分别是负责人和他的秘分别是负责人和他的秘和和设设YX的概率密度分别为的概率密度分别为和和由假设由假设YX ,0,128,41)(其它xxpX ,0,97,21)(其它xypY,相互独立相互独立由于由于YX的的概概率率密密度度为为得得),(YX)()(),(ypxpyxpYX .,0,97,128,81其它其它yx121 YXP Gyxyxpdd),().(81的面积的面积G Oxy 8 1279ABB CC G的面积的面积的面积的面积的面积的面积而而CBAABCG 22121121121321 .61 于是于是121 YXP)(81的面积
7、的面积G .481.4815分分钟钟的的概概率率为为不不超超过过到到达达办办公公室室的的时时间间相相差差因因此此负负责责人人和和他他的的秘秘书书Oxy 8 1279ABB CC G.),(,),(,2的联合概率密度的联合概率密度求求上服从均匀分布上服从均匀分布在在服从服从并且并且相互独立相互独立和和设随机变量设随机变量YXbbYaNXYX;,21)(222)(xexpaxX又)()(),(ypxpyxpYX 所以解解由于由于X 与与Y 相互独立相互独立,例例4 .,0,21)(其它bybbypY,2121),(222)(axebyxp 得.0),(,yxpby时当.,bybx 其其中中小结小结
8、则则有有边边缘缘概概率率密密度度分分别别为为的的联联合合概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量),(),(),(),(.2ypxpyxpYXYX)()(),(ypxpyxpYX.,jijiyYPxXPyYxXP 相互独立相互独立和和YX.)()(,.3也相互独立也相互独立和和则则相互独立相互独立和和YgXfYX相互独立相互独立和和YX1.若离散型随机变量若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为.,2,1,jipyYxXPijji独立性独立性二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 四、小结四、小
9、结一、问题的引入一、问题的引入3.43.4两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布.,),(,的分布的分布分布确定分布确定的的如何通过如何通过的函数关系的函数关系与与并且已知并且已知表示该人的血压表示该人的血压年龄和体重年龄和体重分别表示一个人的分别表示一个人的和和令令有一大群人有一大群人ZYXYXfZYXZZYX 为了解决类似的问题为了解决类似的问题,下面下面我们讨论两个随机变量函数的分布我们讨论两个随机变量函数的分布.一、问题的引入一、问题的引入例例1 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量X 与与Y 的分布律为的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0求随机变量求随
10、机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.,jijiyYPxXPyYxXP 得得YX421318.012.042.028.0因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,所以所以解解二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18.012.042.028.0YXZ 3557所以所以YXZ P35718.054.028.0YX421318.012.042.028.0结论结论的的联联合合分分布布律律为为若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量,2,1,jipyYxXPijji的分布律为的分布律为则随机变量函数则随机变量函数),(YXf
11、Z ),(kkzYXfPzZP .,2,1 ,),(kpjikyxfzij的分布函数为则的概率密度为设YXZyxpYX ),(),()(zZPzFZ yxyxpzyxdd),(xyOzyx yxyxpyzdd),(yux yuyyupzdd),(.dd),(uyyyupz 三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 1.Z=X+Y 的分布的分布由此可得概率密度函数为由此可得概率密度函数为.d),()(yyyzpzpZ.d),()(xxzxpzpZ 由于由于X 与与Y 对称对称,当当 X,Y 独立时独立时,也也可可表表示示为为)(zpZ,d)()()(yypyzpzpYXZ.d)(
12、)()(xxzpxpzpYXZ 或,21)(22 yeypyY 例例2 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 都服从标准正都服从标准正态分布态分布,求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.,21)(22 xexpxX 由于由于解解.d)()()(xxzpxpzpYXZ 由由公公式式.)2,0(分布分布服从服从即即NZ2zxt teetzd21242 .2142ze xeezpxzxZd21)(2)(222 xeezxzd212242 得得说明说明).,(,).,(),(,222121222211NZYXZNYNXYX 且有且有仍然服从正态分布仍然服从正态分布则则相互独立且相互独
13、立且设设一般一般 有限个有限个相互独立相互独立的正态随机变量的线性组合的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布仍然服从正态分布.例如，设例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布也具有正态分布.为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例3 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.其它其它,)(0101xxp dxxzpxpzpYXZ)()()(解解:由卷积公式由卷积公式 1010 xzx也即也即 zxzx110为确定积分限为确定积分限,先找出使被
14、积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 其它其它,)(021210110zzZzzdxzzdxzp如图示如图示:1010 xzx也即也即zxzx110于是于是 dxxzpxpzpYXZ)()()(),min(),max(YXNYXM 及及令令),()(,yFxFYXYX和和的分布函数分别为的分布函数分别为它们它们变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机设设的分布的分布及及),min(),max(.2YXNYXM 则有则有)(maxzMPzF ,zYzXP zYPzXP ).()(zFzFYX)(minzNPzF 1zNP ,1zYzXP 1zYPzXP ).(1)(11zFzFY
15、X 1 1 1zYPzXP 故有故有),()()(maxzFzFzFYX).(1)(11)(minzFzFzFYX 推广推广的的分分布布函函数数分分别别为为及及则则),min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ),2,1(),(,21nixFnXXXiXni 它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为量量个相互独立的随机变个相互独立的随机变是是设设).(1)(1)(11)(21minzFzFzFzFnXXX 则则分布函数分布函数相互独立且具有相同的相互独立且具有相同的若若,)(,21xFXXXn,)()(maxnzFzF.)(11)(
16、minnzFzF 若若 X与与Y 相互独立同分布且为连续型随机变量相互独立同分布且为连续型随机变量,X的的分布密度为分布密度为p(x),则则M与与N的分布密度为的分布密度为 上述结论可以推广到上述结论可以推广到n维情形维情形,即若设随机变量即若设随机变量 相互独立同分布相互独立同分布,令令 则它们的分布函数分别为则它们的分布函数分别为 )().(1 2)()().(2)(zpzFzpzpzFzpNM nXXX.,21)maxnnXXXXM.,min(N ),.,(1,1,它们的概率密度函数分别为它们的概率密度函数分别为)(.)(n1)()(.)(n)(1-n1-nzpzFzpzpzFzpNM
17、n)()(zFzFM n)(11)(zFzFN .),(iii),(ii),(i),2121图所示图所示如如开始工作开始工作系统系统损坏时损坏时当系统当系统备用备用并联并联串联串联连接的方式分别为连接的方式分别为联接而成联接而成统统由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系设系统设系统LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L例例4度分别为度分别为已知它们的概率密已知它们的概率密的寿命分别为的寿命分别为设设,21YXLL ,0,0,0,)(xxexfxX由由解解串联情况串联情况(i),21就就停停止止工工作作系系统统中中有有一一个个损损坏坏时时由由于于当当LLL的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,min(YXZ .0,0的的概概率率密密度度的的寿寿命命接接方方式式写写出出试试分分别别就就以以上上三三种种联联且且其其中中ZL ,0,0,0,1)(xxexFxX ,0,0,0,)(xxexfxX ,0,0,0,)(yyeyfyY
