1、高等数学 11-22022年8月10日星期三11.利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分2.利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分3.二重积分的变量变换二重积分的变量变换高等数学 11-22022年8月10日星期三2dy.yf(xdxdyxfba(x)(x)D),(21 若若 (x,y)0)0 仍然适用。仍然适用。注意注意:为方便，上式也常记为：为方便，上式也常记为：积分次序积分次序:X-型域型域 先先 y 后后 x;积分限确定法积分限确定法:“域中一线插域中一线插”,须用平行须用平行 于于 y 轴的射线穿插区域轴的射线穿插区域 。说明说明:二重积分可化为二次定积分计算二重积分
2、可化为二次定积分计算;DbaA(x)dxf(x,y)dxdydxdy.yf(xba(x)(x)21 高等数学 11-22022年8月10日星期三3c y d D：1(x)x 2(x)(2)Y型区域型区域xoycdDx=2(y)x=1(y)yY型区域的特点：型区域的特点：平行于平行于 x 轴且穿过区域轴且穿过区域内部的直线与区域边界的交点不多于两个。内部的直线与区域边界的交点不多于两个。积分限确定法：积分限确定法：Ddcxyxfyyyyxfd),()()(dd),(12注意注意:积分次序积分次序:Y-型域型域 ,先先 x 后后 y;积分限确定法积分限确定法:“域中一线插域中一线插”,须用平行于须
3、用平行于 x 轴的射线穿插区域。轴的射线穿插区域。高等数学 11-22022年8月10日星期三4注意：二重积分转化为二次积分时，关键在于正确注意：二重积分转化为二次积分时，关键在于正确 确定积分限，一定要做到熟练、准确。确定积分限，一定要做到熟练、准确。(5)利用直角系计算二重积分的步骤利用直角系计算二重积分的步骤 画出积分区域的图形画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；确定积分限，化为二次定积分；确定积分限，化为二次定积分；根据积分区域类型根据积分区域类型,确定积分次序；确定积分次序；计算二次积分，即可得出结果计算二次积分，即可得出结果.高等数学 11-22022年
4、8月10日星期三5解：解：),1,1(,)0,0(22 yxxyX型型xyxxD210:Ddxdyyx)(21022)(xxdyyxdx.14033dxxxxxx)(21)(421022xy 2yx ox高等数学 11-22022年8月10日星期三6Y型型10:2yyxyD Ddxdyyx)(21 0 22)(yydxyxdy.14033 2xy 2yx oy高等数学 11-22022年8月10日星期三7例例2.解：围成由其中计算2,1,.22xxyxyDdyxDX-型xxDdyyxdxdyx1222122 2112dxyxxx 213)(dxxx.4921:xD），（左边交点坐标为11xyx
5、1Doxxyxy1高等数学 11-22022年8月10日星期三8例例3.计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22xy214oyxy21y22yxy2y2y2 xy及直线则 高等数学 11-22022年8月10日星期三9注：若将注：若将D视为视为 x-型，则需对型，则需对D分割如下图。分割如下图。Dxyd xxxydydx xxxydydx Dxy22 xy214oyx高等数学 11-22022年8月10
6、日星期三10例例4.计算,ddsinDyxxx其中D 是直线,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解解:由被积函数可知,因此取D 为 X 型域:xyxD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.高等数学 11-22022年8月10日星期三11例例5.交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解:积分域由两部分组成:,20210:21xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域
7、,则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy高等数学 11-22022年8月10日星期三12画出积分区域如图xyo231yx 3yx2 原原式yydxyxfdydxyxfdy20303110),(),(练习：练习：改变积分次序解:积分域由两部分组成:,1020:1yyxD3130:2yyxD21DDD:D改为 X 型xyx32120 xxxdyyxfdx32120),(高等数学 11-22022年8月10日星期三13例例6.计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx12D1D24xyxy31x解解:令)1ln(),(
8、2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224高等数学 11-22022年8月10日星期三142.利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分 当一些二重积分的积分区域当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。例如其计算问题。例如:等22222222222)cos(,)s
9、in(,2222ayxayxayxyxdxdyyxdxdyyxdxdye高等数学 11-22022年8月10日星期三15直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系(1)直角坐标系与极坐标系的关系)20,0(sincosrryrx。Rxyo2Rxyo2R。RxyoRR-R-RRrRyx222cos2)(222RrRyRxsin2)(222RrRRyx高等数学 11-22022年8月10日星期三16.)sin,cos(),(DDddrrrrfdxdyyxf（3）注意：注意：“三换三换”：)sin,cos(),(rrfyxfryxDDddrrd被积函数：积分区域：面积元
10、素：rr坐标变量的转换坐标变量的转换边界曲线的转换边界曲线的转换面积元素的转换面积元素的转换高等数学 11-22022年8月10日星期三17.)sin,cos(),(DDddrrrrfdxdyyxf总结上述：在极坐标系下总结上述：在极坐标系下)sin,cos(),(rrfyxfryxDDddrrd被积函数：积分区域：面积元素：rr二重积分化为两个单积分。适合：1.被积函数含有22yx 形式的;2.积分区域是圆、环、扇形域的。注意：根据极点在区域外、边界上、区域内把高等数学 11-22022年8月10日星期三182D1xyo例例8.计算计算,d2Dx其中其中.41|),(22yxyxD解解:在极
11、坐标系下在极坐标系下,2021:rD原式原式rrrdcos212221441r41520d故故20d22cos1202sin21815高等数学 11-22022年8月10日星期三19例例9.计算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解:在极坐标系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角2reddrr20d由于故坐标计算.rO高等数学 11-22022年8月10日星期三20例例10.求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0(a所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解解:设由对称性可知2/0,cos20:arD
12、dd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1(3322033a)322(3323aoxyza2oxyDa2高等数学 11-22022年8月10日星期三21解解)(2)(222222yxayx,2cosar 40,2cos0ar 14Ddxdy2cos0044adrrdDdxdy2a例例10.计算双纽线所围成的图形的面积)()(222222yxayx根据对称性有 14DD o高等数学 11-22022年8月10日星期三22备选：备选：围成。围成。由由其中其中计算计算xyyxDdeDy ,.xyo11 yxy 解：解：画出积分区域画出积分区域D如右如右(X-型型)原式原
13、式 xydyedx 原函数求不出！原函数求不出！把积分区域把积分区域D视为视为Y-型型)(edyyedxedyyyy 原式原式高等数学 11-22022年8月10日星期三23所围立体的体积。与求备选：22222 yxzyxz解：解：如图，由曲面方程消去z得立体在xoy面投影区域为1:22 yxDdyxyxVD)()2(222210220)22(drrrd xyzo高等数学 11-22022年8月10日星期三2420,.1222RrRyxoyxrRxyx2.222oyxr0,22RrxRy20,cos222RrxRxy222)(RyRx或22,cos2RrRyyx2.322oyxr2,sin22
14、2RryRyx222)(RRyx或0,sin2Rr22,cos.4arax0,sin.5brbyoyxr常用曲线的极坐标曲线：高等数学 11-22022年8月10日星期三25一、三重积分的概念三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算高等数学 11-22022年8月10日星期三26二、三重积分的计算二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1.投影法(“先一后二”)方法方法2.截面法(“先二后一”)方法方法3.三次积分法,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函
15、数,方法:高等数学 11-22022年8月10日星期三27zxyx+y+z=10例例1.1.计算计算,dddzyxx其中其中 是由平面是由平面x+y+z=1与三个坐标面与三个坐标面所围闭区域所围闭区域.解：解：D:0 y 1x,0 x 1 zyxxdddyxxzxyx101010ddd24111Dx+y=1 xyyxDzxyx10ddd高等数学 11-22022年8月10日星期三28例例2.2.计算计算,ddd)cos(zyxzxy其中其中 是由抛物是由抛物柱面柱面xy 及平面及平面y=0,z=0,2xz所围闭区域,ddd)cos(zyxzxyxDzzxyyx20d)cos(dd解解：D:0
16、y ,0 x x2xxzzxyyx20020d)cos(dd21162yxz2xz0 xy D02yx高等数学 11-22022年8月10日星期三29例例4.4.计算,ddyxz其中其中 是由是由 z=x2+y2 和和 z=1所围成的闭区域所围成的闭区域.xyz01D(z)1解解：D(z):x2+y2zz0,110ddddzzzyxz)(ddzDyx10dzzz1033z3zz2)(高等数学 11-22022年8月10日星期三30其中 为三个坐标例例6.计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域.1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21(dxyyxxxyxz210d
17、1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x)1(021dxy10d xx481面及平面高等数学 11-22022年8月10日星期三31xyz例例7.计算三重积分,ddd2zyxz.1:222222czbyax其中解解:zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一”zDz高等数学 11-22022年8月10日星期三322、利用柱面坐标计算三重积分、利用柱面坐标计算三重积分(0 +,02,z 0)内部的那部分面积内部的那部分面积.解：解：由对称性由对称性 A=4 A1
18、 (A1第一卦限部分）第一卦限部分）曲面方程曲面方程 :222yxazDxy :x 2+y 2 a x,y 0.zyxDxy高等数学 11-22022年8月10日星期三3722222)()(1yxaayzxz,222yxaxxz,222yxayyzzyxDxy面积面积12224DdxdyyxaaAcos0220142adada.4222aa 高等数学 11-22022年8月10日星期三38例例1.计算,dLsx其中 L 是抛物线2xy 与点 B(1,1)之间的一段弧.(P189例例1)解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41(121x)155
19、(121上点 O(0,0)1Lxy2xy o)1,1(B高等数学 11-22022年8月10日星期三39例例2.计算其中 L 为,:,0aaxyyBAoaa x(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2)取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则（P197例例2）路径不同，积分不同！路径不同，积分不同！高等数学 11-22022年8月10日星期三40yA xo
20、L例例4.计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 为上半24xxy从 O(0,0)到 A(4,0).解解:为了使用格林公式,添加辅助线段,AOD它与L 所围原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周区域为D,则3648高等数学 11-22022年8月10日星期三41例例5.验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分,并求出这个函数.证证:设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使yyxxyxuddd22),()0,0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0,0(。),(yx)0,(xxxx0
21、d0yyxyd02yyxyd022221yx高等数学 11-22022年8月10日星期三42例例1.计算曲面积分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解:yxDyxyxaz),(,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd0)ln(2122222haaahaaln2yxDyxayxa222dd2a20da22022dhaaDxyhayxzo(P217例例1)高等数学 11-22022年8月10日星期三43例例2.计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.(P218例例2)ozyx111解解:设上的部分,则4321,4dSzyx
22、,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1(12031zyx与,0,0,0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式=分别表示 在平面 高等数学 11-22022年8月10日星期三44解两部分和分成把21;1:2211yxz,1:2222yxzxyz2 1 根据对称性0ddyxxyz 思考思考:下述解法是否正确:0,01:),(22yxyxDyxyxxyzdxdy1222zyx0,0yx例2.计算球面外侧在的部分.(P226例例2)其中是高等数学 11-22022年8月10日星期三4512xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdyxyxyDDdxdyyxxydx
23、dyyxxy)1(12222xyDdxdyyxxy2212xyDdd221cossin2d1210320d2sin152高等数学 11-22022年8月10日星期三46一、高斯一、高斯 (Gauss)公式公式定理定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先证:函数 P,Q,R 在面 所围成,的方向取外侧,则有(Gauss 公式公式)高等数学 11-22022年8月10日星期三47例例1.用Gauss 公式计算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的
24、外侧.解解:这里利用Gauss 公式,得原式=zyxzyddd)(zrrzrddd)sin(用柱坐标用柱坐标)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP,0QyxR及平面 z=0,z=3 所围空间思考思考:若 改为内侧,结果有何变化?若 为圆柱侧面(取外侧),如何计算?高等数学 11-22022年8月10日星期三48例例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设 为曲面21,222zyxz取上侧,求 解解:作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD)1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标
