1、自动控制原理自动控制原理中国科学技术大学中国科学技术大学工业自动化研究所工业自动化研究所第六章第六章线性反馈系统稳定性线性反馈系统稳定性目录6.1 6.1 稳定性的概念稳定性的概念6.26.2 Routh-Hurwitz稳定性判据稳定性判据6.3 6.3 反馈控制系统相对稳定性反馈控制系统相对稳定性6.4 6.4 状态变量系统稳定性状态变量系统稳定性6.5 6.5 设计实例设计实例6.6 6.6 应用控制设计软件分析系统稳定性应用控制设计软件分析系统稳定性6.7 6.7 系列设计案例：磁盘驱动器读取系统系列设计案例：磁盘驱动器读取系统6.8 6.8 总结总结习题习题6.1 6.1 6.36.3
2、节：节：E6.7E6.7、E6.8E6.8、E6.14E6.14、E6.19E6.19、P6.4P6.4、P6.7P6.7、P6.8P6.86.4 6.4 6.66.6节：节：E6.22E6.22、E6.23E6.23、P6.9P6.9、P6.12P6.12、P6.13P6.13、P6.17P6.176.7 6.7 6.86.8节：节：AP6.2AP6.2、AP6.4AP6.4、DP6.2DP6.2、DP6.6DP6.6、DP6.8DP6.8作业说明：题目中要求高阶特征方程根的用作业说明：题目中要求高阶特征方程根的用MATLABMATLAB求解，在作业本上直接写出答案即可，另求解，在作业本上直
3、接写出答案即可，另外要求画曲线和稳定区域的请用外要求画曲线和稳定区域的请用MATLABMATLAB作图，并作图，并集中在一起打印，贴到作业本上。集中在一起打印，贴到作业本上。稳定是对自动控制系统最重要、最基本的要求稳定是对自动控制系统最重要、最基本的要求稳定性稳定性stability是控制工程、控制理论最重要的是控制工程、控制理论最重要的问题问题分析、设计控制系统时，首先要考虑稳定性分析、设计控制系统时，首先要考虑稳定性不稳定系统，受到外部或内部扰动时，系统偏不稳定系统，受到外部或内部扰动时，系统偏 离原来的平衡工作点，并随时间推移而发散，即离原来的平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失
4、后，也不可能恢复原来的平衡状态使扰动消失后，也不可能恢复原来的平衡状态李雅普诺夫李雅普诺夫.（Lyapunov）是常）是常微分方程运动稳定性理论的创始人，微分方程运动稳定性理论的创始人，1892年他的年他的博士论文博士论文运动稳定性的一般问题运动稳定性的一般问题奠定了常微奠定了常微分方程稳定性的理论基础分方程稳定性的理论基础6.1 稳定性的概念稳定性的概念稳定稳定stable、不稳定、不稳定unstable、临界稳定、临界稳定critical stable绝对稳定性绝对稳定性absolute stability相对稳定性相对稳定性relative stability6.1 稳定性的概念稳定性的
5、概念Tacoma Narrows Bridge塔科马市纽约湾海峡悬索桥，位于美国华盛顿州普吉特海湾地区的塔科马市，全长1.6公里。第一座桥1938年开始建造，1940年7月1日通车，1940年11月7日倒塌，现在使用的是1950年重建的桥梁。当时共有两个设计方案，第一个方案由克拉克埃德里奇提出，桥面设计厚度7.6米；另一个方案由金门大桥设计师之一里昂莫伊塞弗提出，为了降低造价，桥面设计厚度2.4米，成本从1100万美元降至800万美元。从经济角度考虑，采用了莫伊塞弗方案。6.1 稳定性的概念稳定性的概念通车仅几个星期，桥面便开始出现上下摆动。有关人士安装了摄影机，以便观测摆动。大风时，桥面摆动
6、幅度甚至可达1.5米。许多人慕名驾车而来，感受振荡的刺激。后来桥面的波动幅度不断增加，工程技术人员试图加建钢缆、液压缓冲装置降低波动，但不成功。在持续数月的摆动下，桥梁最终于1940年11月7日倒塌，当天早上，桥面的上下摆动突然停止，出现左右的扭力摆动。有两人被困在桥上，后來逃离现场。桥面在几分钟內陆续崩塌。倒塌过程被人们拍摄记录。6.1 稳定性的概念稳定性的概念华盛顿州政府并未获得保险公司的赔偿，因为本该付给保险公司的保险费全部被保险经纪侵吞。调查显示，原设计为了追求美观、省钱，桥面厚度不足，使用物料过轻，造成发生共振的破坏频率与自然风接近，从而受到强风吹袭引起共振而不停摆动。新桥的厚度增至
7、10米，并在路面上加入气孔，使空气可在路面上穿越。新桥于1950年10月14日启用，两车道改为四车道，是目前全美第五长的悬索桥。1998年在原桥东面加建一座新桥，是塔科馬海峡第三条悬索桥。6.1 稳定性的概念稳定性的概念线性定常系统输入线性定常系统输入r(t)=0，在任何初始条件下，在任何初始条件下，当当t时，系统输出及各阶导数都为时，系统输出及各阶导数都为0 0，即：，即：则称该系统是则称该系统是渐近稳定渐近稳定的的线性定常系统渐近稳定的充分必要条件：系统线性定常系统渐近稳定的充分必要条件：系统全部极点都位于开左半全部极点都位于开左半S平面，即系统特征方程平面，即系统特征方程的根都具有负实部
8、的根都具有负实部特征方程至少有一个根具有正实部，特征方程至少有一个根具有正实部，t时，时，系统输出及各阶导数都趋于无穷大，系统系统输出及各阶导数都趋于无穷大，系统不稳定不稳定特征方程至少有一个根具有零实部，其余都具特征方程至少有一个根具有零实部，其余都具有负实部，当有负实部，当t时，系统输出趋于常数或等幅时，系统输出趋于常数或等幅振荡（一对虚极点），系统振荡（一对虚极点），系统临界稳定临界稳定 1limlimlim0nttty ty tyt6.1 稳定性的概念稳定性的概念n阶系统有一对共轭复极点，一个阶系统有一对共轭复极点，一个k重实极点，重实极点，其余为单实极点，系统零输入响应为：其余为单实
9、极点，系统零输入响应为：1120311203111120cossincossin cossiniiikn kp ttiptiiiikn kp ttiptiiiiiknp tntiptiiiiiy tbtbt ec teAey tdtdt eetep Aeytftft eg tepAe3n k6.1 稳定性的概念稳定性的概念如果系统特征方程的根都具有负实部，则有：如果系统特征方程的根都具有负实部，则有：1limlimlim0nttty ty tyt因而系统渐近稳定因而系统渐近稳定线性定常系统在零初始条件下，有界输入产生线性定常系统在零初始条件下，有界输入产生的输出响应也是有界的，则称为的输出响应
10、也是有界的，则称为有界输入有界输有界输入有界输出稳定出稳定系统（系统（BIBO稳定系统稳定系统）。即当：）。即当：112000000nttyyyr tky tk 如果，则6.1 稳定性的概念稳定性的概念线性定常系统线性定常系统BIBO稳定的充分必要条件是：系稳定的充分必要条件是：系统传递函数全部极点都位于开左半统传递函数全部极点都位于开左半S平面平面BIBO稳定只表明系统对输出而言是稳定的，并稳定只表明系统对输出而言是稳定的，并不能保证系统内部所有状态都是稳定的。不能保证系统内部所有状态都是稳定的。BIBO稳稳定反应了系统外部特性定反应了系统外部特性系统传递函数中可能出现零极点对消系统传递函数
11、中可能出现零极点对消6.1 稳定性的概念稳定性的概念渐近稳定性反应了系统内在特性，因为渐近稳定性反应了系统内在特性，因为 1limlimlim0nttty ty tyt而而 表示系统的所有状态，故渐表示系统的所有状态，故渐近稳定性表明系统内部所有状态都是稳定的近稳定性表明系统内部所有状态都是稳定的渐近稳定系统是渐近稳定系统是BIBO稳定的，反之不一定成立稳定的，反之不一定成立 1ny ty tyt，不稳定系统的特征方程至少有一个根位于右半不稳定系统的特征方程至少有一个根位于右半S平面，系统的输出对任何输入都是不稳定的。平面，系统的输出对任何输入都是不稳定的。如果特征方程有一对共轭根在虚轴上，而
12、其他如果特征方程有一对共轭根在虚轴上，而其他根均位于左半平面，则系统在有界的输入下，其根均位于左半平面，则系统在有界的输入下，其稳态输出保持振荡；当输入为正弦波，且正弦波稳态输出保持振荡；当输入为正弦波，且正弦波的频率等于虚轴上根的幅值时，其输出变成无界的频率等于虚轴上根的幅值时，其输出变成无界的。系统称为临界稳定系统。的。系统称为临界稳定系统。例如，若闭环系统的特征方程为：例如，若闭环系统的特征方程为：6.1 稳定性的概念稳定性的概念210160ss系统就是临界稳定的，如果系统由频率为系统就是临界稳定的，如果系统由频率为=4 =4 的正弦信号所激励，则其输出变成无界的的正弦信号所激励，则其输
13、出变成无界的 11101212121 22 31 331 2 31 2 41 2 310 1 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsq sa sasa saasrsrsra sarrrsarrr rrrsarr rrr rsarr rra sasas所有根之和所有根两两乘积之和23 1nnnnnasa所有根三三乘积之和所有根相乘通过系统极点或特征方程的根判断稳定性，需通过系统极点或特征方程的根判断稳定性，需要求解特征方程，比较麻烦。如果只需要判别系要求解特征方程，比较麻烦。如果只需要判别系统是否稳定，有没有简便方法，不用求解方程？统是否稳定，有没有简便方法，不用求解方程？Routh-
14、Hurwitz稳定性判据不用求解系统特征方稳定性判据不用求解系统特征方程即可确定系统稳定性程即可确定系统稳定性系统特征方程为：系统特征方程为：6.2 Routh-Hurwitz稳定性判据稳定性判据 2322428sq sssssss 6.2 Routh-Hurwitz稳定性判据稳定性判据所有系数都同号，也不缺项（没有系数为所有系数都同号，也不缺项（没有系数为0 0），），但共轭复极点的实部为但共轭复极点的实部为0.50.5，系统不稳定，系统不稳定一阶、二阶系统，特征方程所有系数同号，且一阶、二阶系统，特征方程所有系数同号，且不缺项（没有系数为不缺项（没有系数为0 0），则系统稳定），则系统稳定
15、三阶系统，特征方程所有系数同号，且：三阶系统，特征方程所有系数同号，且：则系统稳定则系统稳定必要条件：如果系统稳定，特征方程各系数同必要条件：如果系统稳定，特征方程各系数同号，并且不能有系数为号，并且不能有系数为0 0不满足，肯定不稳定；满足，不一定稳定。不满足，肯定不稳定；满足，不一定稳定。1203a aa a 1212102411352135313521211010nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsa sasasa sasaaasaaasbbbsccnsffsghs6.2 Routh-Hurwitz稳定性判据稳定性判据Routh-Hurwitz稳定性判据是判断线性系统稳
16、定稳定性判据是判断线性系统稳定性的充分必要条件性的充分必要条件将特征方程系数按阶次排作阵列或顺序表：将特征方程系数按阶次排作阵列或顺序表：231211311413311513111211212111111010nnn nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaa aaabaaaaaaaabcaabbabfffgfhfggg ，其中：其中：Routh-Hurwitz判据判据：特征方程正实部根的个数特征方程正实部根的个数等于等于Routh阵列第一列符号的变化次数。系统稳阵列第一列符号的变化次数。系统稳定的充分必要条件是，定的充分必要条件是，Routh阵列第一列中所有阵列第一列
17、中所有系数具有相同符号，且不能为系数具有相同符号，且不能为06.2 Routh-Hurwitz稳定性判据稳定性判据计算计算Routh阵列时，为了简化计算，可以用一个阵列时，为了简化计算，可以用一个正数除任一行中的各个数字，而不影响最后的稳正数除任一行中的各个数字，而不影响最后的稳定性判断结果定性判断结果Routh阵列第一列的构成，分为阵列第一列的构成，分为4 4种不同情况：种不同情况：n首列中没有元素为零首列中没有元素为零n首列中有首列中有1 1个元素为零，零元素所在行中其余个元素为零，零元素所在行中其余元素非零元素非零n首列中有首列中有1 1个元素为零，零元素所在行中其余个元素为零，零元素所
18、在行中其余元素均为零元素均为零n首列中有首列中有1 1个元素为零，零元素所在行中其余个元素为零，零元素所在行中其余元素均为零，且在虚轴上有重根元素均为零，且在虚轴上有重根6.2 Routh-Hurwitz稳定性判据稳定性判据情形情形1 1：首列中没有元素为零首列中没有元素为零例例6.16.1 二阶系统，特征多项式：二阶系统，特征多项式：2210220110120 12010111210100010q sa sa saRouthsaasasbaa aaabaaaaaaab 阵列：系统稳定，要求、同号6.2 Routh-Hurwitz稳定性判据稳定性判据二阶系统稳定，要求所有系数全为正或全为负二阶
19、系统稳定，要求所有系数全为正或全为负 32321033 01 23112202120 111001132101123 01 21 23 0 0000q sa sa sa saRoutha aa asaabsaaaaa bsbcabscaabacbaa aa aa aa a 阵列：系统稳定，要求、同号与 同号，则，即例例6.26.2 三阶系统，特征多项式：三阶系统，特征多项式：6.2 Routh-Hurwitz稳定性判据稳定性判据三阶系统稳定的充分必要条件是特征多项式各三阶系统稳定的充分必要条件是特征多项式各个系数同号，并且个系数同号，并且1 23 0a aa a 3217173224q ssj
20、sjssss 考虑特征多项式：考虑特征多项式：6.2 Routh-Hurwitz稳定性判据稳定性判据所有系数存在且为正，特征多项式满足系统稳所有系数存在且为正，特征多项式满足系统稳定的必要条件。定的必要条件。Routh阵列：阵列：321012124220240ssss首列中出现首列中出现2 2次符号变化，可以判断次符号变化，可以判断q(s)有有2 2个根个根在右半在右半S平面，系统不稳定平面，系统不稳定情形情形2：首列中有：首列中有1个元素为零，零元素所在行个元素为零，零元素所在行中其余元素非零。中其余元素非零。Routh阵列中有阵列中有1个元素为个元素为0，用小正数用小正数代替它，补全阵列后
21、令它趋于零代替它，补全阵列后令它趋于零6.2 Routh-Hurwitz稳定性判据稳定性判据 543254312111111022411101211124122410460 1061006 001000q sssssssscscscdcsds 多项式：Routh阵列首列两次变号，系统不稳定，有两阵列首列两次变号，系统不稳定，有两个根位于右半个根位于右半S平面平面例例6.3 不稳定系统不稳定系统6.2 Routh-Hurwitz稳定性判据稳定性判据 432432111011110 100000q sssssKRouthsKsKKKcsKscsK 特征多项式：阵列：K0，Routh阵列首列两次变号
22、，系统不稳定。阵列首列两次变号，系统不稳定。K0，Routh阵列首列一次变号，系统不稳定。所阵列首列一次变号，系统不稳定。所以对任何以对任何K值，系统都不稳定。值，系统都不稳定。情形情形3 3：首列中有：首列中有1 1个元素为零，零元素所在行个元素为零，零元素所在行中其余元素均为零中其余元素均为零情形情形3 3包括：某行所有元素都为零；某行仅有一包括：某行所有元素都为零；某行仅有一个元素，该元素为零。个元素，该元素为零。当多项式包含关于当多项式包含关于S平面原点对称的奇异值，平面原点对称的奇异值，即出现即出现 或或 的因子。的因子。采用辅助多项式采用辅助多项式U(s)解决这个问题。辅助多项解决
23、这个问题。辅助多项式式U(s)对应于对应于Routh阵列中零元素的前一行，为偶阵列中零元素的前一行，为偶数次多项式，其阶次表示了对称根的对数。数次多项式，其阶次表示了对称根的对数。三阶系统特征多项式，三阶系统特征多项式，K为可调的环路增益为可调的环路增益：sssjsj6.2 Routh-Hurwitz稳定性判据稳定性判据 3224q ssssKRouth阵列：阵列：32101428020ssKKssK6.2 Routh-Hurwitz稳定性判据稳定性判据0K0，P0，则系统是开环不稳定的。开环系统的特征则系统是开环不稳定的。开环系统的特征方程为：方程为：2110s ssps spsp6.6 应
24、用控制设计软件分析系统稳定性应用控制设计软件分析系统稳定性32321202101111spsKp sKzsKpspKzsbsKzpKpKzbpRouth闭环系统的特征方程为：阵列其中6.6 应用控制设计软件分析系统稳定性应用控制设计软件分析系统稳定性20,10111011KzpbpKpKzKpzp pp pKpzRouthHurwitz根据判据，应有，则故 110 1 1 zppzpKzpK 31K23K下面分 种情况加以讨论：由于，因此只要，就能满足稳定性要求。：当0时，都不能满足稳定性要求。：当0时，只有满足上式的 值符合稳定性要求。6.6 应用控制设计软件分析系统稳定性应用控制设计软件分
25、析系统稳定性6.6 应用控制设计软件分析系统稳定性应用控制设计软件分析系统稳定性带有可选择的速度反馈的闭环磁盘驱动器读取系统带有可选择的速度反馈的闭环磁盘驱动器读取系统6.7 系列设计案例：磁盘驱动器读取系统系列设计案例：磁盘驱动器读取系统没有速度反馈时的闭环传递函数：没有速度反馈时的闭环传递函数：121212150001100020aaY sK Gs GsR sK Gs GsGsGsss s，32321110122010005000010202000050000120000500020000 102010205000 1020500040804080010205000 40800141.4a
26、aaaaaas ssKsssKRouthsKsKbsbsKKKbssj 阵列：为保证系统闭环稳定，要求0。时，系统临界稳定。由辅助方程：系统在虚轴上有极点6.7 系列设计案例：磁盘驱动器读取系统系列设计案例：磁盘驱动器读取系统闭环系统特征方程：闭环系统特征方程：6.7 系列设计案例：磁盘驱动器读取系统系列设计案例：磁盘驱动器读取系统速度反馈开关闭合时的等价系统速度反馈开关闭合时的等价系统有速度反馈时的闭环传递函数：有速度反馈时的闭环传递函数：121211121111 110aaaY sK Gs GsR sK Gs GsK sK sK Gs GsK s反馈因子等价于特征方程为：132131211
27、01111120100050001010202000050005000012000050001020500050005000 20000500010201020001000.050%2%aaaaaaaaaaas ssKK sssK KsKRouthsK KsKsbsKKK KbKKKbKK 阵列：为保证稳定，在时，选择，使选，百分比超调量，允许误差的1K调整时间260ms。再选可以满足调整时间6.7 系列设计案例：磁盘驱动器读取系统系列设计案例：磁盘驱动器读取系统性能指标性能指标期望值期望值实际值实际值百分比超调量百分比超调量5%0%调整时间调整时间250ms260ms单位扰动的最大响应单位扰
28、动的最大响应35 10 32 106.7 系列设计案例：磁盘驱动器读取系统系列设计案例：磁盘驱动器读取系统磁盘驱动器系统性能与设计指标的对比磁盘驱动器系统性能与设计指标的对比有速度反馈的系统响应：有速度反馈的系统响应：MatLab文件文件6.7 系列设计案例：磁盘驱动器读取系统系列设计案例：磁盘驱动器读取系统有速度反馈的系统响应：有速度反馈的系统响应：Ka=100、K1=0.05反馈控制系统稳定性反馈控制系统稳定性有界输入有界输出（有界输入有界输出（BIBO）稳定性）稳定性BIBO稳定性与系统传递函数极点在稳定性与系统传递函数极点在S平面上位平面上位置的关系置的关系RouthHurwitz稳定性判据稳定性判据相对稳定性相对稳定性6.8 总结总结THE END
