1、前页后页返回机动第八节第八节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点n一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义 n二、函数的间断点函数的间断点n三、三、内容小结内容小结返回前页后页返回机动一、函数连续性的定义一、函数连续性的定义 yf(x)yx0 x0 x1yx0 x0 x1y=f(x)连续间断前页后页返回机动，时时，记记由由当当 01 10 xxxxxxyx0 x0 x1y=f(x)间断间断xyxyyx0 x0 x1连续连续yf(x)x0 x称称为为自自变变量量增增量量；0110 xfxfyxfxfy，记记由由对对应应;称称为为函函数数增增量量 00 xfxxfy一一般般记记作作前页后页返
2、回机动 1 定定义义 b b a aC C)(b b a a )(b b a a )(，记记作作连连续续。内内，在在内内点点点点连连续续，则则称称，在在若若 xfxfxf 内内有有定定义义，在在设设 U )(0 xxfy ，对对应应00U xxxx 0 ，有有 00 x fxxfy若若 0 lim 0 yx 点点处处连连续续。在在则则称称函函数数 )(0 xxfy前页后页返回机动的连续性。的连续性。），（在在讨论讨论例例 sinsin )(xxf解：解：)2cos(2sin20 xxx 0 0 0 yxxlim,时时当当由由夹夹挤挤准准则则可可知知：连连续续。在在点点的的任任意意性性推推知知再
3、再由由),(sin 0 xyx ),(0 x任取任取00sin)sin(xxxy )2cos(2sin20 xxx xx 2sin2前页后页返回机动 点点处处连连续续。在在则则称称若若内内有有定定义义，在在设设定定义义 )()()(l li im m U U )(2 2 0 00 00 0 xxfxfxfxxfy xx 0 点处连续。点处连续。在在则称则称成立。成立。恒有恒有时，时，使当使当，若若内有定义，内有定义，在在设设定义定义 )()()(0 0 U)(3 0000 xxfxfxfxx xxfy 前页后页返回机动 注注：续续性性单单侧侧连连续续及及闭闭区区间间的的连连 3 3 baxfb
4、axfbxaxbaxf C C )()，记记作作上上连连续续。，在在闭闭区区间间点点左左连连续续，则则称称在在点点右右连连续续内内点点点点连连续续，且且在在在在若若)(;),()(2 2 0 0点点连连续续在在 xxf 点点左左连连续续；在在，则则称称若若 )()()(000limxxfxfxf xx点点右右连连续续。在在则则称称，若若 )()()(000limxxfxfxf xx等等价价；”与与“定定义义”“定定义义 2 1 1存存在在)(0 xf存存在在)(x f xx 0lim)()(0 x fx f xx 0lim返回前页后页返回机动)()(lim00 xfxfxx设0 x在点)(xf
5、的某去心邻域内有定义,则下列 不连续:0 x情形之一函数 f(x)在点在(2)函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;虽有定义,但在(3)函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在,但虽有定义,且这样的点0 x称为间断点间断点.(1)函数)(xf0 x在无定义;前页后页返回机动第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在,)()(00 xfxf若称0 x,)()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在,称0 x若其中有一个为振荡,称0 x若其中有一个为,为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点
6、振荡间断点.前页后页返回机动123456X510152025303540Y232)(xy .)(点点处处的的连连续续性性在在检检查查例例 3 3 2 1 2xx xf解：解：点间断。点间断。在在不存在，不存在，3 3 xxff)()(无穷型间断点前页后页返回机动点点是是否否连连续续？在在问问例例 0 2 x xy1sin 解：解：点间断。点间断。在在不存在，不存在，0 0 xxff)()(振荡型间断点xy1sinxy0前页后页返回机动.11,1,)(21点点的的连连续续性性，在在讨讨论论例例 3 xxxxxfy 解：解：)1(1)(lim1fxfx 1 x为其可去间断点.xoy1211.00,
7、10,00,1)(点的连续性点的连续性，在，在讨论讨论例例 xxxxxxxfy 4 解：解：1)(lim1)(lim00 xfxfxx 0 x为其跳跃间断点.xyo11返回前页后页返回机动三、内容小结三、内容小结返回)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(.2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(.1xf0 x在点连续的等价形式前页后页返回机动返回1.设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf为连续函数.2.试确定函数间断点的类型.xxexf111)(0 x为无穷间断点;1x为跳跃间断点.答案答案:
