1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第一节第一节 中值定理中值定理 一、罗尔定理一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理三、柯西中值定理 四、小结四、小结 思考题思考题 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、罗尔(Rolle)定理)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3(xx,3,1上连续上连续在在 ,)3,1(上可导上可导在在 ,0)3()1(ff且且)3,1(1(,1 取取.0)(f),1(2)(xxf上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停物理解释物理解释:变
2、速直线运动在变速直线运动在折返点处折返点处,瞬时速瞬时速度等于零度等于零.几何解释几何解释:ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回证证.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.mM 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(Mxf 则则.0)(xf由此得由此得),(ba .0)(f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf.取得取得最值不可能同时在端点最值不可能同时在端点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),
3、()(fxf,0)()(fxf上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回,0 x若若;0)()(xfxf则有则有,0 x若若;0)()(xfxf则有则有;0)()(lim)(0 xfxffx;0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存在在 f).()(ff.0)(f只只有有上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,;2,2,xxy,)0(2,2的一切条件的一切条件满足罗尔定理满足罗尔定理不存在外不存在外上除上除在在f .0)(2-2 xf使使内找不到一点能
4、内找不到一点能，但在区间但在区间;0,01,0(,1 xxxy.1,0,xxy又例如又例如,上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1 1.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证,15)(5 xxxf设设,1,0)(连续连续在在则则xf.3)1(,1)0(ff且且由介值定理由介值定理.0)(),1,0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1,0(011xxx 设设另另有有.0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),
5、(10 xx.0)(f)1(5)(4 xxf但但)1,0(,0 x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二、拉格朗日(Lagrange)中值定理)1()2().()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()(fabafbf结论亦可写成结论亦可写成上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中
6、与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线.,两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF.0)(,),(Fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()(abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函
7、数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回,),(,)(内可导内可导在在上连续，上连续，在在设设babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也可写成也可写成.的精确表达式的精确表达式增量增量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒
8、为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1,1,arccosarcsin)(xxxxf设设)11(11)(22xxxf .0 1,1,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设,0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,
9、11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三、柯西(Cauchy)中值定理上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回几何解释几何解释:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗
10、罗尔尔定定理理的的条条件件x.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回,0)()()()()()(FaFbFafbff即即.)()()()()()(FfaFbFafbf.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba,)(xxF 当当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例4 4).0()1(2)(),1,0(:,)1,0(,1,0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可
11、导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析:结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1,0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1,0(2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF)()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间
12、的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可缺一不可.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题解答思考题解答 1,310,)(21xxxxf不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页
13、返回返回一、一、填空题：填空题：1 1、函数函数4)(xxf 在区间在区间1,21,2上满足拉格朗日中值上满足拉格朗日中值定理，则定理，则=_=_ _ _.2 2、设设)4)(3)(2)(1()(xxxxxf，方 程方 程0)(xf有有_个根，它们分别在区间个根，它们分别在区间_上上.3 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是_._.4 4、微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_与函数在这区间内某点处的与函数在这区间内某点处的_之间之间的关系的关系.5
14、5、如果函数如果函数)(xf在区间在区间I上的导数上的导数_ _，那，那么么)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数.练练 习习 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二、试证明对函数二、试证明对函数rqxpxy 2应用拉氏中值定理应用拉氏中值定理 时所求得的点时所求得的点 总是位于区间的正中间总是位于区间的正中间.三、证明等式三、证明等式21arctan1arcsin22 xxx )1,0(x.四、设四、设0 ba，1 n，证明，证明 )()(11banababanbnnnn .五、五、证明下列不等式：证明下列不等式：1 1、baba arctanarctan；2 2、时
15、时当当1 x，exex .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回六六、设函数、设函数)(xfy 在在0 x的某邻域内且有的某邻域内且有n阶导数，阶导数，且且)0()0()0()1(nfff试用柯西中值定理试用柯西中值定理 证明：证明：!)()()(nxfxxfnn ，（，（10 ）.七七、设、设)(xf在在 ba,内上连续，在内上连续，在(ba,)内可导，若内可导，若 ba 0,则在则在(ba,)内存在一内存在一 点点，使，使 )()()()(baffabfbaf .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、1 1、3415；2 2、3,(1,2),(2,3),(3,4)3,(1,2),(2,3),(3,4)；3 3、前者是后者的特殊情形、前者是后者的特殊情形,加加)()(bfaf 即可；即可；4 4、增量、增量,导数；导数；5 5、恒为零、恒为零.练习题答案练习题答案
