1、第第 八八 章章多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用第七节第七节 方向导数与梯度前页后页返回机动返回前页后页返回机动一、方向导数一、方向导数的的变变化化率率。方方向向方方向向和和处处沿沿在在点点分分别别表表示示，我我们们知知道道，对对于于 ),(),(),(),(lim),(),(),(lim),(),(yxyxyxfyyxfyyxfyxfxyxfyxxfyxfyxfzyyxx0000000000000000 前页后页返回机动率率。该该处处沿沿各各个个方方向向的的变变化化力力必必须须知知道道气气压压在在如如预预报报某某地地的的风风向向和和风风沿沿任任意意方方向向的的变变化化率率。或或要
2、要了了解解函函数数许许多多实实际际问问题题，常常常常需需 ),(),(zyxfyxf，即即方方向向导导数数。指指定定方方向向的的变变化化率率问问题题在在某某一一点点处处沿沿任任意意数数学学上上，研研究究多多元元函函数数前页后页返回机动若若的的转转角角。轴轴正正向向到到为为，记记线线点点引引射射的的某某邻邻域域内内有有定定义义，自自在在点点设设 ),(),(lxlPyxPyxfz 定定义义：),(yxPP xyxy0l),(),(limyxfyyxxf 0的方向导数。的方向导数。方向方向沿沿在点在点存在，则称其为存在，则称其为),(),(lyxPyxfz lzlf 或或记记作作前页后页返回机动l
3、zlf 或或记记作作异同？方向导数与偏导数有何想一想：),(),(lim yxfyyxxflf 0即即 )22yx （前页后页返回机动的的方方向向导导数数均均存存在在。数数在在该该点点沿沿任任意意方方向向则则函函 l可可微微，在在点点若若),(),(yxPyxfz 定理：定理：sin cos yfxflf 且且证明的的转转角角）轴轴正正向向到到为为（其其中中 lx),(yxPxy0l前页后页返回机动证：证：点可微点可微在在 Pyxfz),(yyfxxfz),(yxPP xyxy0l sincosyfxf即得即得在上式两边，令在上式两边，令 0#得证得证 yyfxxfz sincos yfxfl
4、z 前页后页返回机动推推广广：数数存存在在，点点沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导则则函函数数在在 Pcoscoscos zfyfxflu 且且）的的方方向向角角为为（其其中中 ,l可可微微，在在点点若若),(),(zyxPzyxfu 前页后页返回机动）（其其中中，求求点点的的向向径径为为设设由由原原点点到到例例 .),(1 P22yxrrlrryxP l ),(yxPxy0 解：解：sincosryrx sinsincoscos )cos(sincosyrxrlr 前页后页返回机动方方向向的的方方向向导导数数。外外法法线线沿沿球球面面处处在在点点求求函函数数例例 ),(),(2 11112
5、2222 zyxyxezyxfxyz 解：解：处处在点在点),(1111222 zyxzyxF),(令令，球面上任意点的法矢球面上任意点的法矢 ,zyxn222 ,),(222111 n32 n，方向余弦：方向余弦：,cos 31,cos31 31 cos前页后页返回机动),(111nf ),(),(),(311113111131111zyxfff 4331 e所求方向导数为所求方向导数为前页后页返回机动二、梯度二、梯度定义定义 ),(),(yxfyxgradf 或或记为记为 Pfxy0，内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数在区域在区域设设Dyxfz),(jyfixfyxPD ),(可定义
6、向量可定义向量中任意点中任意点则对则对点的梯度。点的梯度。在在称为称为 ),(Pyxfz 前页后页返回机动),(jyfixfyxgradf 即即，模：模：),(22yxffyxgradf ,yfxfxyff tan 方向：方向：前页后页返回机动方向导数与梯度的关系方向导数与梯度的关系？点点沿沿哪哪个个方方向向增增大大最最快快在在问问题题),(),(yxPyxfz sin,cos el方方向向的的单单位位向向量量为为如如图图所所示示，设设 lgrad fP(x,y)xy0esincos yfxflf 则则 )cos(),(yxf的转角）的转角）轴正向到轴正向到为为 (fx 大大！方方向向一一致致
7、时时方方向向导导数数最最方方向向与与梯梯度度当当 fl),cos(),(),(efyxfeyxf 22yxffyxflf ),(max前页后页返回机动注：；大大值值模模：该该点点方方向向导导数数的的最最数数的的方方向向方方向向：该该点点最最大大方方向向导导是是个个向向量量 ),(o yxf1线；线；值等高线指向高值等高值等高线指向高值等高处的法向量，方向由低处的法向量，方向由低上点上点的等高线的等高线为为),(),(),(),(2oyxPcyxfyxfzyxf 视图Gzyxczyxfu ),(),(3o，推广：推广：1kzfjyfixfzyxgradf ),(则则),(,zyxfzfyfxf
8、记记前页后页返回机动三、场的概念三、场的概念前页后页返回机动连续偏导数，连续偏导数，内具有一阶内具有一阶在空间区域在空间区域若若Gzyxfu),(梯度场又称作：势场）(由由则则 GM kzfjyfixfMfA )(梯度场的势。梯度场的势。称为该称为该其中其中确定了一个梯度场，确定了一个梯度场，)(Mfu 前页后页返回机动 性质：性质：能否证明上述性质？试一试：1czyxvvzyxuu ),(),(设设 ；则则 )(1 vuvu ；)(2vuuvvu .)()(3uuFuF 前页后页返回机动并并求求出出该该方方向向。方方向向导导数数，处处最最大大在在点点求求例例 ),(1 1122yxyxz 解
9、：解：),(，jigradz 11211),(gradz，z ),(max211 gradzl 一致一致方向与方向与 ,11 l前页后页返回机动等等于于零零。沿沿法法线线方方向向的的方方向向导导数数上上任任意意点点在在椭椭圆圆证证明明：函函数数例例 2 22222cyxxyz 证：证：yxyxnyx,),(2224 处的法矢处的法矢椭圆上任意点椭圆上任意点 22220442yxyyxxn,则则前页后页返回机动 xyxyyxzyxxyz2222,),(),(的的梯梯度度为为：在在点点函函数数#.),(的的任任意意性性，命命题题得得证证由由点点yx0),(),(nyxznzyx 故故0424222
10、2222 yxyxyyxxxy前页后页返回机动四、内容小结四、内容小结1.方向导数方向导数 三元函数),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l(方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l(方向角为yfxfcossin前页后页返回机动2.梯度梯度 三元函数),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(,),(gradyxfyxffyx3.关系关系方向导数存在偏导数存在 可微0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.返回前页后页返回机动v梯度与等高线22yxyxfz ),(fP
