1、第二章第二章 质点动力学质点动力学(2)2.2 动量动量 角动量角动量一、动量定理一、动量定理(动量的变化与作用量的关系）动量的变化与作用量的关系）由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：tpFdd=tFd表示力的时间累积，叫时间表示力的时间累积，叫时间d t 内内合外力合外力 的冲量的冲量。FtFIdd 1）微分形式：）微分形式：2）积分形式：）积分形式：21dtttFI若为恒力：若为恒力：tFI ptFdd=1、冲量冲量(impulse)力对时间的积累产生的效果是什么呢力对时间的积累产生的效果是什么呢？冲量是力对时间的积累。冲量是力对时间的积累。2、动量定理动量定理PtFdd 动量定理的微分式动量
2、定理的微分式1）微分形式：微分形式：由由 得：得：tPFdd 在一个过程中，质点所受合外力的在一个过程中，质点所受合外力的冲量冲量等于质点等于质点动量的增量动量的增量。2）积分形式：积分形式：2121ddppttPtF对上式积分，对上式积分，PtFtt 21d 动量定理的积分式动量定理的积分式即：即：1、反映了过程量与状态量的关系。、反映了过程量与状态量的关系。同同向向。与与、pI 23、只适用于惯性系。、只适用于惯性系。动量比速度更能恰当地动量比速度更能恰当地反映物体的运动状态反映物体的运动状态说明说明 从动量定理可以知道，在相等的冲量作用下，不同质从动量定理可以知道，在相等的冲量作用下，不
3、同质量的物体，其速度变化是不相同的，但它们的动量的变化量的物体，其速度变化是不相同的，但它们的动量的变化却是一样的，所以从过程角度来看，动量比速度能更恰当却是一样的，所以从过程角度来看，动量比速度能更恰当地反映了物体的运动状态。因此，一般描述物体作机械运地反映了物体的运动状态。因此，一般描述物体作机械运动时的状态参量，用动量比用速度更确切些。动时的状态参量，用动量比用速度更确切些。动量和位矢动量和位矢是描述物体机械状态的状态参量。是描述物体机械状态的状态参量。3、动量定理分量形式、动量定理分量形式xxttxxPPtFI1221d yyttyyPPtFI1221d zzttzzPPtFI1221
4、d 即即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。动量在该方向上分量的增量。在直角坐标系中，动量定理的在直角坐标系中，动量定理的分量式分量式为为 在在低速运动低速运动情况下，质点的质量是恒量，动量定理可写为情况下，质点的质量是恒量，动量定理可写为)d(dd)(d12vvmtFIt1221)d(vmvmttFIt t 1)冲力冲力:碰撞过程中物体间相互作用碰撞过程中物体间相互作用时间极短时间极短，相互作用，相互作用力力 很大很大，而且往往，而且往往随时间变化随时间变化，这种力通常称为，这种力通常称为冲力冲力。tPtPPt
5、ttFFtt 121221d若冲力很大若冲力很大,其它外力可忽略时其它外力可忽略时,则：则：若其它外力不可忽略时若其它外力不可忽略时,则则 是合外力的平均。是合外力的平均。FOFF1t2t2)平均冲力平均冲力:冲力对碰撞时间的平均值。冲力对碰撞时间的平均值。即：即：tPF 4、动量定理的应用、动量定理的应用 例题例题1 人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞击力。击力。若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？解解 设人的质量为设人的质量为M，从高从高h 处跳向地面，落地的速率为处跳向地
6、面，落地的速率为v0，与地面碰撞的时间为与地面碰撞的时间为t，重心下移了重心下移了s 。由由动量定理动量定理得：得：tMvtPPtttFFtt 0121221d设人落地后作设人落地后作匀减速运动匀减速运动到静止，则：到静止，则：02vst sMvF220 ghv220 shMgF 设人从设人从 2m 处跳下，重心下移处跳下，重心下移 1cm，则：则：MgshMgF200 可能发生骨折。可能发生骨折。讨论讨论 例题例题2 质量为质量为m=0.2kg的皮球，向地板落下，以的皮球，向地板落下，以8m/s的速率的速率与地板相碰，并以近似相同的速率弹回，接触时间为与地板相碰，并以近似相同的速率弹回，接触
7、时间为10-3s。求求 1)地板对球的平均冲力地板对球的平均冲力 2)冲力的冲量和重力的冲量。冲力的冲量和重力的冲量。解解 1)取地板为参考系，向上为正，由取地板为参考系，向上为正，由 得：得：12d21PPtFtt kgm/s232)(d1121221.mvmvmvPPtFtt N32001023d321 .ttFFtt 21dtttF中的中的F 实为合外力，除冲力外实为合外力，除冲力外还有重力。还有重力。即即mgFFFF 冲冲重重冲冲N320023200 mgFF冲冲kgm/s23213100.tdFtdFtt 冲冲冲冲2)冲力的冲量：冲力的冲量：重力的冲量：重力的冲量：kgm/s1021
8、02043 .tmg外力的冲量外力的冲量可忽略可忽略oomv定义定义:r质量为质量为m的质点以速度在空间运动，某时刻对的质点以速度在空间运动，某时刻对O 点点的位矢为的位矢为 ，则它，则它对对O 点的角动量点的角动量(动量矩动量矩)为为vvmrPrL SI 中中：kgm 2/s m sinp cospPL sinrrOxyz大小大小sinrPL 1、矢量性矢量性sinmrv的方向：用的方向：用右手螺旋法则右手螺旋法则确定。确定。L2、相对性相对性(1)参考系不同，矢径不同，动量不同，角动量也不同。参考系不同，矢径不同，动量不同，角动量也不同。(2)原点原点O选取的不同，则位置矢量不同，角动量也
9、不同。选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。质点对参考点的角动量质点对参考点的角动量二、角动量（动量矩）（二、角动量（动量矩）（angular momentum）yzxzPyPLzxyxPzPLzyxPPPzyxkjiPrLxyzyPxPL3、的直角坐标系中的的直角坐标系中的分量式分量式L三、几个特例三、几个特例1、做圆周运动质点、做圆周运动质点 m 对圆心对圆心O 的角动量的角动量vmrL 2rmmvrL 大大小小：rvOmzL方向：方向：与与 同向，垂直于转动平面，同向，垂直于转动平面，与质点转动绕向成与质点转动绕向成右手螺旋关系右手螺旋关系L L做匀速圆周运动的质点做匀速圆周运动的质
10、点对圆心的角动量是恒量。对圆心的角动量是恒量。质量为质量为m 的质点作直线运动。的质点作直线运动。vmrprL 大小：大小：sinmvrL 方向：由右手螺旋定则确定。方向：由右手螺旋定则确定。t时刻质点对时刻质点对O点的角动量为：点的角动量为：vmrprL 大小：大小：2 sinrvmL 方向：与方向：与 同向。同向。L1）若物体作匀速直线运动，对同一参考点）若物体作匀速直线运动，对同一参考点O，则则。CL 3）若）若O 取在直线上，则：取在直线上，则：。0 Lt 时刻质点对时刻质点对O点的角动量为：点的角动量为：sinrvm 2 2）对不同的参考点，质点有不同的恒定角动量）对不同的参考点，质
11、点有不同的恒定角动量说明说明2、做直线运动质点的角动量、做直线运动质点的角动量 sinr mpr2 omp rrosinr作匀速圆周运动质点的角动量作匀速圆周运动质点的角动量取圆心为参考点取圆心为参考点vmrprL 大小：大小：sinmvrL 方向：图中情况向上。方向：图中情况向上。如果选中心轴线上任意一点如果选中心轴线上任意一点O为参考点为参考点 rezmvkrmvvmRL 其中其中大小一定，方向不变大小一定，方向不变大小一定，方向变化大小一定，方向变化krmvLz rrezmvL 可以作为状态量可以作为状态量krmvLz 3、参考点的选取和状态量的确定、参考点的选取和状态量的确定如果选中心
12、轴线外任意一点如果选中心轴线外任意一点 o 为参考点为参考点 vmRRvmRL )(vmRvmR 比比多出一项多出一项vmR vmR ：当当 不变时，由于不变时，由于 之间的夹角随时间变之间的夹角随时间变化，所以化，所以 的大小也随时间变化，在质点运动一周的时的大小也随时间变化，在质点运动一周的时间内间内 的方向沿转轴方向的指向，翻转一次，的方向沿转轴方向的指向，翻转一次，方向也方向也不确定不确定 vmR vmR和 vmR vmR 所以所以不能作为状态量不能作为状态量vmRRvmRL )(但是它的一个分量但是它的一个分量可以作为状态量可以作为状态量krmvLz 选取参考点的原则是：选取参考点的
13、原则是：要使定义的角动量有用，参考点要使定义的角动量有用，参考点的选取就必须有一定限制例如，质点作圆周运动时，参考的选取就必须有一定限制例如，质点作圆周运动时，参考点不能选在中心轴线以外，只能选轴线上的任意一点角动点不能选在中心轴线以外，只能选轴线上的任意一点角动量可以，而且只能定义成：量可以，而且只能定义成：质点对转轴上任意一点的角动量质点对转轴上任意一点的角动量沿转轴方向的分量，称为质点的角动量沿转轴方向的分量，称为质点的角动量这样定义的角动量这样定义的角动量与参考点在转轴上的位置无关，常选择圆心处。对于作直线与参考点在转轴上的位置无关，常选择圆心处。对于作直线运动的质点，参考点不能选在轨
14、迹上运动的质点，参考点不能选在轨迹上 状态量的必要条件是：状态量的必要条件是：当质点的运动状态确定时，状态量当质点的运动状态确定时，状态量有唯一确定的值，当运动状态不变时，状态量有唯一确定的不有唯一确定的值，当运动状态不变时，状态量有唯一确定的不变值；对于不同的运动状态，状态量有不同的值，并且，运动变值；对于不同的运动状态，状态量有不同的值，并且，运动状态变化时状态量的变化遵守确定的规律状态变化时状态量的变化遵守确定的规律 通过上述分析可以得到通过上述分析可以得到)Pr(ttL dddd rptrddtPdd rpvFFrtL dd定义：作用于质点上的定义：作用于质点上的合外力对参考点的力矩合
15、外力对参考点的力矩FrM 四、角动量变化遵守的规律四、角动量变化遵守的规律prL 将角动量将角动量 对对时间求导时间求导，可得：，可得：对动量，有：对动量，有：Ftp dd对角动量？对角动量？定义了角动量，需要找出当运动状态变化时，角动量的定义了角动量，需要找出当运动状态变化时，角动量的变化遵守的规律。即要找到变化遵守的规律。即要找到?tL dd0 pvzyxFFFzyxkjiFr 2、在直角坐标系中、在直角坐标系中yzxzFyFM zxyxFzFM xyzyFxFM 3、相对性：依赖于参考点、相对性：依赖于参考点O 的选择。的选择。FrM单位：牛单位：牛米（米（Nm）FdFrM sin1、大
16、小：、大小：d 为为力臂力臂。方向：由方向：由右手螺旋定则右手螺旋定则确定。确定。niFrFrFrM 214、作用于质点的、作用于质点的合外力矩等于合外力的力矩。合外力矩等于合外力的力矩。五、质点的角动量定理五、质点的角动量定理tLFrMdd MFrFFFrn 合合)(21质点的角动量定理质点的角动量定理质点所受的质点所受的合外力矩合外力矩等于它的等于它的角动量的时间变化率角动量的时间变化率。力矩满足叠加原理：作用于一个质点上的力矩满足叠加原理：作用于一个质点上的各个力的力各个力的力矩的矢量和（合力矩）矩的矢量和（合力矩）等于等于各个力的合力的力矩各个力的合力的力矩。和和 是对同一惯性系中同一
17、参考点而言的是对同一惯性系中同一参考点而言的ML说明说明1、微分形式微分形式LtMdd 2、积分形式积分形式 2121ddttLLtML 21dtttML角动量定理角动量定理质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。或或冲冲量量矩矩积积累累称称为为力力矩矩的的角角冲冲量量于于质质点点上上的的力力矩矩的的时时间间内内作作用用表表示示在在的的增增量量，内内表表示示在在21121221MttdtL-ttL-L=Ltt 力矩对时间的积累产生的效应是角动量的变化。力矩对时间的积累产生的效应是角动量的变化。例题例题1 质量为质量为m、线长为线长为l 的单摆，可绕点的单摆，
18、可绕点O 在竖直平面内在竖直平面内摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求:摆线与摆线与水平线成水平线成角时，摆球所受到的力矩及摆球对点角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O 的角动量；的角动量；摆球到达点摆球到达点 B 时，角速度的大小。时，角速度的大小。解解 任意位置时受力为：重力；张力。任意位置时受力为：重力；张力。由由角动量定理角动量定理：cosddmglMtL tLtLdddddd 瞬时角动量瞬时角动量：gm重力对重力对O 点的力矩点的力矩为：为：cosmglM 方向方向：垂直于纸面向里。：垂直于纸面向里。张力对张力对O 点的力矩为零点
19、的力矩为零。ddL 2mlLL dd 2lmmvlL o lmBATr sin232glmL 。点点时时，当当小小球球到到达达2/B cosdddd2mglmlLLtL lgmlL22 glmlglmL2sin232 olBA dcosd32glmLL dcosd3200glmLLL 五、五、质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若质点所受的合力矩若质点所受的合力矩。，则则CLtL,M0dd0 若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的角动量保持不变。此质点对该参考点的角动量保持不变。质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒
20、定律例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。1、孤立体孤立体，。外外外外00 iiM,f2、有心力有心力，与位矢与位矢 在同一直线上，从而在同一直线上，从而 。外外fr0 外外fr3、当作用在质点上的合外力矩对、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零某一方向的分量为零时，时，则质点的角动量沿此方向的分量守恒。则质点的角动量沿此方向的分量守恒。0 M并不等于：并不等于：0 F注意：注意：00 MF/r时，亦有时，亦有或或r,讨论讨论 rr|rr|S 21|rr|S 21 解解 如图，行星在太阳引力作如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆
21、轨道运动，用下沿椭圆轨道运动，t时间内行时间内行星径矢扫过的面积星径矢扫过的面积常常量量常常量量，tSLdd由于行星只受由于行星只受有心力作用有心力作用，其，其角动量守恒角动量守恒 sinrrS 21 例题例题2 利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积(面积速度面积速度)是常量。是常量。|trr|t|rr|tStdd2121limlimddS0t0t 面积速度面积速度:mL|vmr|m|vr|22121 例题例题3 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做用绳系一小球使它在光滑的水平
22、面上做匀速率匀速率圆周圆周运动，运动，其半径为其半径为r0，角速度为角速度为 。现通过圆心处的小孔缓慢地。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r 时小球的角速度。时小球的角速度。0 解解 选取平面上绳穿过的小孔选取平面上绳穿过的小孔O为原点。为原点。0=FrM所以小球对所以小球对O 点的点的角动量守恒角动量守恒。00rmvmvr 000 rvrv 0202 mrmr 0220 rr 因为绳对小球的的拉力因为绳对小球的的拉力 沿绳指向小孔，沿绳指向小孔，则力则力 对对O 点的力矩点的力矩：例题例题4 我国在我国在1971年发射的科学实验
23、卫星在以地心为焦年发射的科学实验卫星在以地心为焦点的椭圆轨道上运行已知卫星近地点的高度点的椭圆轨道上运行已知卫星近地点的高度h1=226km，远地，远地点的高度点的高度h2=1823km，卫星经过近地点时的速率，卫星经过近地点时的速率v1=8.13km/s，试求卫星通过远地点时的速率和卫星运行周期试求卫星通过远地点时的速率和卫星运行周期（地球半径（地球半径R=6.37103km）解解 卫星轨道如图所示由卫星轨道如图所示由于卫星所受地球引力为于卫星所受地球引力为有心力有心力，所，所以卫星对地球中心的以卫星对地球中心的角动量守恒角动量守恒(km)10646311 .hRr在远地点时，位矢的大小为在
24、远地点时，位矢的大小为 若坐标原点取在地心，则卫若坐标原点取在地心，则卫星在轨道的近地点时，位矢的大星在轨道的近地点时，位矢的大小为小为(km)10208322 .hRr 设卫星在远地点时的速率为设卫星在远地点时的速率为v1,且近地点和远地点处的且近地点和远地点处的速度与该处的径矢垂直，故由速度与该处的径矢垂直，故由角动量守恒定律角动量守恒定律可得可得2211mvrmvr=故有故有(km/s)5861381020810646331212.vrrv 设椭圆轨道的面积为设椭圆轨道的面积为S，卫星的面积速度为，卫星的面积速度为dS/dt，则卫，则卫星的运动周期星的运动周期111122ddvrab/vrabt/SST a、b分别为椭圆轨道的长半轴和短半轴，分别为分别为椭圆轨道的长半轴和短半轴，分别为2121221)(2rra-r-a;brra 可得可得(s)10376312121 .rrv)rr(T vmrprL vmP FrM FLtMdd PtFdd LtMtt 21dPtFtt 21dCLM 则则,0CPF 则则,0动量动量角动量角动量作业：作业：9、10、20、21、25
