1、yx,实数实数xdttfxF)()(有有0)(xf若若(X,Y)是是二维二维连续型连续型随机变量随机变量0),(yxf若若二维连续型随机变量二维连续型随机变量X 是是(一维一维)连续型连续型随机变量随机变量 类比类比 yxdudvvufyxF),(),(有有badxxfbXaPxfxFdxxfxf)()()(1)(0)(2(,)0(,)1(,)(,)(,)(,)Df x yf x y dxdyx yFf x yx yPx yDf x y dxdy 位于位于xOy 面上方的曲面面上方的曲面.它与它与xOy 面围成的空间区域面围成的空间区域体积为体积为1.随机点随机点(X,Y)落在落在平面区域平面
2、区域D内的概率内的概率=以以D为底、曲面为底、曲面f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积1),(0),(dxdyyxfyxf=F(+(+,+)非负性非负性 规范性规范性 x (-,+)随机变量随机变量X 的分布函数的分布函数F(x)f(x)是是 X 的的概率密度概率密度二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)f(x,y)是是X 和和Y 的联合概率密度的联合概率密度 P(0 X 1,0 Y 2)Gdxdyyxf),()0,1()2,0()0,0()2,1(FFFF 例例4(P P88 例例4)34()0,0;(,),0.其他xyxyCf x y e e 试
3、求：试求：常数常数C;分分布函数布函数F(x,y);P(0X 1,0Y 2)与与P(Y X).解解 dxdyyxf),(1由规范性知：由规范性知：,12C C=12;yxdudvvufyxF),(),(记为记为D()340012,0,0;xyuvdudvxy e e yxoG43(1)(1)0,0;,(,),.0yxxyF x y 其其他他eeeexy()340012xxydxdy e e.74 3400 xydxdyC eeee,0其他其他38(1)(1)；eeeeG()()(,),GDf x y dxdyPX YP(Y X)例5 设 r.v.(X,Y)的联合 d.f.为其他,0,10,0,
4、),(yyxkxyyxf其中k 为常数.求(1)常数 k;(2)P(X+Y 1),P(X 0.5);(3)联合分布函数 F(x,y);(4)边缘 d.f.与边缘分布函数y=x10 xy10,0),(yyxyxD解解 令D(1)1),(dxdyyxf1),(Ddxdyyxf10210082kdyyykkxydxdyy8kx+y=1y=x10 xy(2)1(YXP0.5x+y=1y=x10 xy15.018yyxydxdy.6/5y=x10 xy0.5)5.0(XP5.0018xxydydx.16/7的分段区域0 x),(yxF0yy=x10 xyD10 xxy 01 yx1y1x10 y1y当0
5、 x 1,0 y x 时，1(3)xydvduvufyYxXPyxF),(,),(当x0 或 y0 时,F(x,y)=04008yuvdudvyv当0 x1,x y1时，422028),(xyxuvdvduyxFxyuv=u10uv),(yxF当0 x 1,y 1时，xuuvdvduyxF018),(v=u10uv1422xx 当x 1,0 y 1时，v=u10uv1当 x 1,y 1 时，1),(yxF4yyvuvdudv008),(yxFF(x,y)=0,x 0 或 y 0y4,0 x 1,0 y x，2x2y2y4,0 x 1,x y 1，2x2x4,0 x 1,y 1，y4,x 1,0
6、 y 1，1,x 1,y 1，(4),()(xFxFX=0,x 0，2x2x4,0 x 1,1,x 1),()(yFyFY0,y 0y4,0 y X 2);(3)(X,Y)在平面上的落点到 y 轴距离小于0.3的概率.求解解(1)y=x10 xy1其他,010,0,2),(xxyyxfG(2)y=x21022xxdydx.3/1)(2XYP(3)3.03.0()3.0|(|XPXP09.0)3.0(2122y=x10 xy10.3例例7 7 甲乙约定甲乙约定8:008:00 9:009:00在某地会面在某地会面.假设两人都在假设两人都在这期间的任一时刻随机到达，先到者最多等待这期间的任一时刻随
7、机到达，先到者最多等待1515分分钟后就离开钟后就离开.求两人能见面的概率求两人能见面的概率.2022-8-917 0,601,060,060;(,)36000,XYXYXUXYxyf x y解：设、分别表示甲、乙到达的时刻，则 与 同分布，又因为 与 相互独立，所以它们的联合概率密度函数为否则.2022-8-9187P|15360016XY所以，两人能见面的概率为：阴影图像的面积|15XY根据题意，两人能见面6060606015xy15yx 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度 )1(21exp121),(222 1yxf)()()(2)(2222211211 yy
8、xx其中其中均为常数均为常数,21212.正态分布正态分布 则称则称(X,Y)服从参数为服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.,2121记作记作(X,Y)N().().,22221122()21(),2xxf x e e,0,021 1,|且且 二维正态分布剖面图二维正态分布剖面图),(limyxFy ),(xF,YxXP2 边缘分布边缘分布 联合分布联合分布F(X,Y)（X,Y）整体地看整体地看 局部地看局部地看 FY(y)FX(x)X Y 二维联合分布二维联合分布F(X,Y)全面地反映了二维随机变量全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值的取值及其概率规律及其概率规律.问题：二者之间有
9、什么关系吗问题：二者之间有什么关系吗?分别称为分别称为(X,Y)关于关于X和和Y的的边缘分布函数边缘分布函数 但作为一维随机变量但作为一维随机变量,X,Y 也有自己的分布函数也有自己的分布函数.)(xXPxFX.),()(yFyFY;),(xF由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布由边缘分布一般不能确定联合分布由边缘分布一般不能确定联合分布 反之反之?转化为一维转化为一维时的情形时的情形FX(x)=F(x,+)X 和和Y 的联合分布函数为的联合分布函数为F(x,y),),则则(X,Y)关于关于X 的的边缘分布函数边缘分布函数为为(X,Y)关于关于Y 的的边缘分布函数边缘分布函数为
10、为),(limyxFy 二、连续型二维随机变量的二、连续型二维随机变量的边缘概率密度边缘概率密度xdudyyuf),(xyydudvvuf),(limxdudyyuf),(xXXtdtfxF)()(yYdvdxvxfyF),()(X,Y)关于关于Y 的的边缘概率密度边缘概率密度为为dxyxfyfY),()(则则(X,Y)关于关于X 的的边缘概率密度边缘概率密度为为dyyxfxfX),()(例例2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是,0;10,6),(2其它其它xxyxyxf解解 dyyxfxfX),()(求求边缘密度边缘密度.dxyxfyfY),()(分段函数积分应注意其表达式分段函数积分
11、应注意其表达式;10 x;10 y ,62xxdy ，yydx6 yx 0 1 y=x y=x2 yx .,0其他其他.,0其他其他 在求连续型随机变量的边缘密度时，往往在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分.当联合密度是当联合密度是分段分段函数函数时，在计算积分时应特别注意积分限时，在计算积分时应特别注意积分限.yx -a 0 a 例例设设(X,Y)服从椭圆域服从椭圆域 上的均匀分布上的均匀分布,求求12222 byax(1)求求(X,Y)的的边缘密度函数边缘密度函数 ;)(),(yfxfYX 解解(1),0;1,
12、1),(2222其它其它byaxbayxf 由题知由题知(X,Y)的概率密度为的概率密度为 dyyxfxfX),()(同理可得同理可得 .,0;,12)(22bybybybyfY(2)AdxdyyxfAYXP),(),(2),其中其中A为区域为区域:0,0,yxayx),(AYXPX 与与Y 不服从不服从均匀分布均匀分布 ,1222211axaxbbdyba;1222axa ，ax|,0001aaxdxdyab;|ax .2 ba 二维均匀分布的两个二维均匀分布的两个边缘密度未必是边缘密度未必是均匀分布的均匀分布的二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布221a
13、xby221axby yx a0 a Ax+y=a 122112222211221()2()()()2(1)1(,)21yyxxf x y e e22122122()()()2yxy 解解例例4dyyxfxfX),()(求求二维正态分布二维正态分布的边缘密度的边缘密度.2222112211()()yxx 1222211221()()yxx 212211()1yxt ，221,1dtdy 2222()221(),2yYyfy e e),(),(222211 NYNX二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布 2121()211(),2xXxfx e e均与均与
14、无关无关 逆命题成立吗逆命题成立吗？2xdx e e由边缘分布一般由边缘分布一般不能确定联合分布不能确定联合分布22121()2211()2xtXfxdt eeee22211221211)()2 12yxxdy eeee22121 1请看下例请看下例 例例5 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的的概率密度为概率密度为 222,1()(,)1 sinsin,2xyxyf x yxy e e求边缘密度函数求边缘密度函数 .)(),(yfxfYX 解解dyyxfxfX),()(2222221()sinsin2yxyxy dy eeeee e22222211,;22yxxxdy eeeeee同理同
15、理 221(),.2yYyfy e e.)1,0(;)1,0(NYNX 但反之不真但反之不真二维正态分布性质二维正态分布性质二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的正态分布的联合分布未必是正态分布正态分布的联合分布未必是正态分布但反之不真但反之不真联合分布和边缘分布的关系联合分布和边缘分布的关系:我们与一维情形相对照，采用类比和转化的手段我们与一维情形相对照，采用类比和转化的手段,介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布.由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布
16、一般不能确定联合分布.在什么情况下在什么情况下,由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？正态分布的联合分布未必是正态分布正态分布的联合分布未必是正态分布(3)(3)定理定理 设随机变量设随机变量X X与与Y Y相互独立，令相互独立，令 其中其中 为连续函数，则为连续函数，则U U与与V V也相互独也相互独 立立)Y(V),X(Ugh)(),(ygxh(2)(2)二维正态随机变量二维正态随机变量X X与与Y Y相互独立相互独立0),(),(222121NYX0 2222212121212)()(2)()1(21221121 yyxxe证证:必要性必要性 对任何对任何 x,y 有有21,yx取取),(),(222121NYXX与与Y相互独立相互独立附：附：212212121121故故0将将0代入代入),(yxf即得即得)()(),(yfxfyxfYX222221212)(22)(12121 yxee所以所以X与与Y相互独立相互独立充分性充分性
