1、一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构第四模块微积分学的应用第四模块微积分学的应用第十三节第十三节二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法三、应用举例三、应用举例一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构二阶微分方程的如下形式二阶微分方程的如下形式y +p(x)y +q(x)y=f(x)称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程，简称简称二阶线性方程二阶线性方程.f(x)称为称为自由项自由项，当当 f(x)0 时时，称为称为二阶线性非齐次二阶线性非齐次微分方程微分方程，简称简称二阶线性非齐次方程二
2、阶线性非齐次方程.当当 f(x)恒为恒为 0 时时，称为称为二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程，简称简称二阶线性二阶线性齐次方程齐次方程.方程中方程中 p(x)、q(x)和和 f(x)都是自变量都是自变量的已知连续函数的已知连续函数.这类方程的特点是：右边是已知这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含函数或零，左边每一项含 y 或或 y 或或 y，且每项均为且每项均为 y 或或 y 或或 y 的一次项，的一次项，例如例如 y +xy +y=x2 就就是二是二阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程.而而 y +x(y)2+y=x2 就不是二就不是二阶线性方程阶线性方程.定理定理 1如果
3、函数如果函数 y1 与与 y2 是线性齐次方程的是线性齐次方程的两个解，两个解，y=C1 y1+C2 y2仍为该方程的解仍为该方程的解，证证因为因为 y1 与与 y2 是方程是方程 y +p(x)y +q(x)y=0 的两个解，的两个解，,0)()(111 yxqyxpy与与.0)()(222 yxqyxpy所以有所以有其中其中 C1，C2 是任意常数是任意常数.则函数则函数,2211yCyCy 又因为又因为,2211yCyCy 于是有于是有y +p(x)y +q(x)y)()()(221122112211yCyCxqyCyCxpyCyC )()()()(22221111yxqyxpyCyxq
4、yxpyC =0所以所以 y=C1y1+C2y2 是是 y +p(x)y +q(x)y=0 的解的解.定义定义设函数设函数 y1(x)和和 y2(x)是定义在某区间是定义在某区间 I 上上的两个函数，的两个函数，k1 y1(x)+k2 y2(x)=0不失一般性，不失一般性，考察两个函数是否线性相关，考察两个函数是否线性相关，我们往往采用另一种我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，事实上，事实上，当当 y1(x)与与 y2(x)线性相关时，有线性相关时，有 k1 y1+k2 y2=0，其中其中 k1,k2 不全为不全为 0，,01221
5、1kkyyk 则则设设如果存在两个不全为如果存在两个不全为 0 的常数的常数 k1和和 k2，使使在区间在区间 I 上恒成立上恒成立.则称函数则称函数 y1(x)与与 y2(x)在区间在区间 上上是是线性相关线性相关的，否则称为的，否则称为线性无关线性无关.即即 y1 与与 y2 之比为常数之比为常数.反之，若反之，若y1 与与 y2 之比为常数，之比为常数，,21 yy设设则则 y1=y2，即，即 y1-y2=0.所以所以 y1 与与 y2 线性相关线性相关.因此，如果两个函数的比是常数，则它们因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；线性相关；例如函例如函数数 y1=ex，y2=e-x
6、，常数，常数，而而 21yy所以，它们是线所以，它们是线性无关的性无关的.如果不是常数，则它们线性无关如果不是常数，则它们线性无关.定理定理 2如果函数如果函数 y1 与与 y2 是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=0 的两个线性无关的特解，的两个线性无关的特解，y=C1 y1+C2 y2是该方程的通解，是该方程的通解，证证因为因为 y1 与与 y2 是方程是方程 y +p(x)y +q(x)y=0 的的解，解，所以，由定理所以，由定理 1 知知 y=C1 y1+C2 y2 也是该方程的解也是该方程的解.又因为又因为 y1 与与 y2 线性无关，即线性无关，即
7、 y1 与与 y2 之比不为常数，之比不为常数，故故C1 与与C2不能合并为一个任意常数，不能合并为一个任意常数，因此因此 y=C1 y1+C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解是二阶线性齐次方程的通解.则则其中其中 C1,C2为任意常数为任意常数.所以它们中任一个都不能用另一个所以它们中任一个都不能用另一个(形如形如 y1=ky2 或或 y2=k1 y)来表示来表示.定理定理 3如果函数如果函数 y*是线性非齐次方程的一个是线性非齐次方程的一个特解，特解，y=Y+y*，是线性非齐次方程的通解是线性非齐次方程的通解.证证因为因为 y*与与 Y 分别是线性非齐次方程分别是线性非齐次方程 y +p(
8、x)y +q(x)y=f(x)和线性齐次方程和线性齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=0 的解，的解，所以有所以有y*+p(x)y*+q(x)y*=f(x)，Y +p(x)Y +q(x)Y=0.Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则则又因为又因为 y =Y +y*，y =Y +y*，所以所以y +p(x)y +q(x)y =(Y +y*)+p(x)(Y +y*)+q(x)(Y+y*)=(Y +p(x)Y +q(x)Y)+(y*+p(x)y*+q(x)y*)=f(x).求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1)
9、求线性齐次方程求线性齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=0 的线性的线性无关的两个特解无关的两个特解 y1 与与 y2，得该方程的通解得该方程的通解 Y=C1 y1+C2 y2.(2)求线性非齐次方程求线性非齐次方程 y +p(x)y +q(x)y=f(x)的的一个特解一个特解 y*.那么，线性非齐次方程的通解为那么，线性非齐次方程的通解为 y=Y+y*.又又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，数，故故 y=Y+y*中含有两个任意常数中含有两个任意常数.即即 y=Y+y*是线性非齐次方程是线性非齐次方程 y +p(x)y +q(x
10、)y=f(x)的通解的通解.这说明函数这说明函数 y=Y+y*是线性非齐次方程的解，是线性非齐次方程的解，y +p(x)y +q(x)y=f1(x)+f2(x)，分别是分别是与与且且*2*1yyy +p(x)y +q(x)y=f1(x)，和和y +p(x)y +q(x)y=f2(x)则则*2*1yy 是方程是方程 的特解的特解.定理定理 4设二阶线性非齐次方程为设二阶线性非齐次方程为的特解，的特解，证证因为因为 y1*与与 y2*分别是分别是 与与 的特解，的特解，y1*+p(x)y1*+q(x)y1*=f 1(x)，与与y2*+p(x)y2*+q(x)y2*=f 2(x).于是有于是有)()
11、()(*2*1*2*1*2*1yyxqyyxpyy =f 1(x)+f 2(x)，所以有所以有=y1*+p(x)y1*+q(x)y1*+y2*+p(x)y2*+q(x)y2*即即 y1*+y2*满足方程满足方程，二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法如果二阶线性微分方程为如果二阶线性微分方程为y +py +qy=f(x)，其中其中 p、q 均为常数，均为常数，则称该方程为则称该方程为二阶常系数线二阶常系数线性微分方程性微分方程.设二阶常系数线性齐次方程为设二阶常系数线性齐次方程为y +py +qy=0.考虑到左边考虑到左边 p，q 均为常数，均为常数，我们可以猜想该方
12、程我们可以猜想该方程具有具有 y=erx 形式的解，其中形式的解，其中 r 为待定常数为待定常数.将将 y =rerx,y =r2erx 及及 y=erx 代入上式，代入上式，erx(r2+pr+q)=0.1.二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的解法由于由于erx 0，因此，只要，因此，只要 r 满足方程满足方程r2+pr+q=0，即即 r 是上述一元二次方程的根时，是上述一元二次方程的根时，y=erx 就是就是式的解式的解.方程方程称为方程称为方程的的特征方程特征方程.特征方特征方程根称为程根称为特征根特征根.得得1 特征方程具有两个不相等的实根特征方程具有两个不相等的实根
13、r1 与与 r2，xrxryy21ee21 和和,e)(2121常数常数且且 xrryy.ee21211xrxrCCy 2 特征方程具有两个相等的实根，特征方程具有两个相等的实根，这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解特解 y1=erx.还需再找一个与还需再找一个与 y1 线性无关的特解线性无关的特解 y2，为此，设为此，设 y2=u(x)y1，其中其中 u(x)为待定函数为待定函数.将将 y2 及及其一阶、二阶导数其一阶、二阶导数 y 2=(uerx)=erx(u(x)+ru(x)，y 2=erx(u(x)+2ru(x)+r2u(x)，代
14、入方程代入方程 y+py +qy=0 中，得中，得因而它的通解为因而它的通解为所以所以 y1 与与 y2 线性无关，线性无关，都是都是 的解，的解，即即 r1 r2.那么，这时函数那么，这时函数.221prr 即即.0)()2(e2 uqprruprurx2pr 注意到注意到 是特征方程的重根，是特征方程的重根，所以有所以有 r2+pr+q=0及及 2r+p=0.且且 er x 0，因此只要因此只要 u(x)满足满足,0)(xu则则 y2=uerx就是就是 式的解，式的解，.e)(ee2121rxrxrxxCCxCCy 为简便起见，取方程为简便起见，取方程 u(x)=0 的一个解的一个解 u=
15、x，于是得到方程于是得到方程 且与且与 y1=erx 线性无关的解线性无关的解 y2=xerx.因此，因此，式的通式的通解为解为3 特征方程具有一对共轭复根特征方程具有一对共轭复根 r1=a a+ib b 与与 r2=a a ib b.这时有两个线性无关的特解这时有两个线性无关的特解 y1=e(a a+ib b )x 与与 y2=e(a a-ib b )x.这是两个复数解，这是两个复数解，为了便于在实数为了便于在实数范围内讨论问题，范围内讨论问题，我们再找两个线性无关的实数解我们再找两个线性无关的实数解.由欧拉公式由欧拉公式xxxsinicosei (这公式我们将在无穷级数章中补证这公式我们将
16、在无穷级数章中补证)，可得，可得),sini(cose1xxyxb bb ba a )sini(cose2xxyxb bb ba a 于是有于是有,cose)(2121xyyxb ba a .sine)(i 2121xyyxb ba a 由定理由定理 1 知，以上两个函数知，以上两个函数 ea ax cosb bx 与与 ea ax sinb bx均为均为 式的解，式的解，).sincos(e21xCxCyxb bb ba a 且它们线性无关且它们线性无关.因此，这时方程因此，这时方程的通解为的通解为 上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，
17、其步骤是：为特征根法，其步骤是：(1)写出所给方程的特征方程；写出所给方程的特征方程；(2)求出特征根；求出特征根；(3)根据特征根的三种不同情况，写出对应的根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解特解，并写出其通解.例例 1求方程求方程 y -2y -3y=0 的通解的通解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2-2r 3=0,它有两它有两个不等的实根个不等的实根 r1=-1，r2=3,其对应的两个线性无其对应的两个线性无关的特解为关的特解为 y1=e-x 与与 y2=e3x,所以方程的通解为所以方程的通解为.ee321xxCCy 例例 2求方程求方程 y -4y +4
18、y=0 的满足初始条件的满足初始条件 y(0)=1，y(0)=4 的特解的特解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2-4r+4=0，,e)221xxCCy （.e)(2e22122xxxCCCy 将将 y(0)=1，y(0)=4 代入上两式，得代入上两式，得 C1=1，C2=2，y=(1+2x)e2x.其对应的两个线性无关的特解为其对应的两个线性无关的特解为 y1=e2x 与与 y2=xe2x因此，所求特解为因此，所求特解为 它有它有重根重根 r=2.例例 3求方程求方程 2y +2y +3y=0 的通的通解解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 2r2+2r+3=0，它，它有
19、共轭复根有共轭复根424422,1 r.i 52121 ,21 a a即即,521 b b对应的两个线性无关的解为对应的两个线性无关的解为,25cose211xyx ,25sine212xyx .521sin521cose2121 xCxCyx例例 4求方程求方程 y +4y=0 的通解的通解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2+4=0，它有共轭，它有共轭复根复根 r1,2=2i.即即a a=0，b b=2.对应的两个线性对应的两个线性无关的解无关的解 y1=cos 2x.y2=sin 2x.所以方程的通解为所以方程的通解为.2sin2cos21xCxCy 2.二阶常系数线性非齐次
20、方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法1 自由项自由项 f(x)为多项式为多项式 Pn(x).设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y +py +qy=Pn(x),其中其中 Pn(x)为为 x 的的 n 次多项式次多项式.),(*xQxynk 当原方程当原方程 中中 y 项的系数项的系数 q 0 时时，k 取取 0；当当 q=0，但但 p 0 时时，k 取取 1；当当 p=0，q=0 时，时，k 取取 2.因为方程中因为方程中 p、q 均为均为常数且多项式的导数仍为多项式，常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设所以可设 式的式的特解为特解为其中其中 Qn(x)与与 Pn(x
21、)是同次多项式，是同次多项式，例例 5求方程求方程 y -2y +y=x2 的一个特解的一个特解.解解因为自由项因为自由项 f(x)=x2 是是 x 的二次多项式，的二次多项式，,2*CBxAxy 则则,2*BAxy ,2*Ay 代入原方程后，有代入原方程后，有.)22()4(22xCBAxBAAx 且且 y 的系数的系数 q=1 0，取，取 k=0.所以设特解为所以设特解为比较两端比较两端 x 同次幂的系数，有同次幂的系数，有 .022,04,1CBABAA解得解得A=1，B=4，C=6.故所求特解为故所求特解为.642*xxy例例 6求方程求方程 y +y =x3 x+1 的一个特解的一个
22、特解.解解因为自由项因为自由项 f(x)=x3 x+1 是一个是一个 x 的三的三次多项式，次多项式，).(*23DCxBxAxxy 则则,234*23DCxBxAxy ,2612*2CBxAxy 代入原方程后，有代入原方程后，有)2()26()312(423DCxCBxBAAx .13 xx且且 y 的系数的系数 q=0，p=1 0，取取 k=1.所以设方程的特解为所以设方程的特解为比较两端比较两端 x 同次幂的系数：同次幂的系数：.12,126,0312,14DCCBBAA解得解得.4,25,1,41 DCBA故所求特解为故所求特解为.4254123*xxxxy2 自由项自由项 f(x)为
23、为 Aea ax 型型设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y +py +qy=Aea ax，其中其中 a a，A 均为常数均为常数.由于由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，数函数，其中其中 B 为待定常数，为待定常数，.e*xkBxya a 当当 a a 不是不是 式所对应的线性齐式所对应的线性齐次方程的特征方程次方程的特征方程 r2+pr+q=0 的根时的根时，取取 k=0；当当 a a 是其特征方程单根时是其特征方程单根时，取取 k=1；当当 a a 是其特征是其特征方程重根时方程重根时，取取 k=2.因此，我们可以设因此，
24、我们可以设 的特解的特解例例 7求方程求方程 y +y +y=2e2x 的通解的通解.解解a a=2 它不是特征方程它不是特征方程 r2+r+1=0 的根，的根，取取 k=0，,e2*xBy 则则,e2*2xBy ,e4*2xBy 代入方程，得代入方程，得故原方程的特解为故原方程的特解为.e72*2xy 所以，设特解为所以，设特解为.B72 例例 8求方程求方程 y +2y -3y=ex 的特解的特解.解解a a=1 是特征方程是特征方程 r2+2r-3=0 的单根，的单根，取取 k=1，,e*xBxy 则则,ee*xxBxBy ,ee2*xxBxBy 代入方程，得代入方程，得故原方程的特解为
25、故原方程的特解为.e41*xxy 所以，设特解为所以，设特解为,41 B3 自由项自由项 f(x)为为 ea ax(Acos w wx+Bsin w wx)型型设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y +py +qy=ea ax(Acos w wx+Bsin w wx)，其中其中 a a，A，B 均为常数均为常数.由于由于 p，q 为常数，且指数函数的各阶导数仍为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，为指数函数，正弦函数与余弦函数的导数也总是正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，余弦函数与正弦函数，因此因此,我们可以设我们可以设 有特解有特解).sincos(e
26、*xDxCxyxkw ww wa a 其中其中 C，D 为待定常数为待定常数.取取 k=0，是根时是根时，取取 k=1，代入代入 式，求得式，求得 C 及及 D.当当 a a +w wi 不是不是 式所对式所对应的齐次方程的特征方程的根时应的齐次方程的特征方程的根时，例例 9求方程求方程 y +3y -y=ex cos 2x 的一个特解的一个特解.解解自由项自由项 f(x)=ex cos 2x 为为 ea ax(Acosw wx+Bsinw wx)型的函数，型的函数，),2sin2cos(e*xDxCyx 则则,2sin)2(2cos)2(e*xCDxDCyx .2sin)34(2cos)34
27、(e*xDCxCDyx 且且 a a +w wi=1+2i，它不是对应的，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程常系数线性齐次方程的特征方程 r2+3r 1=0 的根，的根，取取 k=0，所以设特解为，所以设特解为代入原方程，得代入原方程，得.2cos2sin)10(2cos)10(xxCDxCD 比较两端比较两端 cos 2x 与与 sin 2x 的系数，得的系数，得 .010,110CDCD解此方程组，得解此方程组，得.10110,1011 DC故所求特解为故所求特解为.2sin101102cos1011e*xxyx例例 10求方程求方程 y +y=sin x 的一个特解的一个特解.解解
28、自由项自由项 f(x)=sin x 为为 ea ax(Acosw wx+Bsinw wx)型的函数，型的函数，且且 a a =0，w w=1，).sincos(*xDxCxy 则则),sincos(sincos*xCxDxxDxCy ).sincos(sin2cos2*xDxCxxCxDy 代入原方程，得代入原方程，得.sincos2sin2xxDxC 且且 a a +w wi=i 是特征是特征方程方程 r2+1=0 的根，的根，取取 k=1，所以，设特解为，所以，设特解为比较两端比较两端 sinx 与与 cosx 的系数，得的系数，得.021 DC，故原方程的特解为故原方程的特解为.cos2
29、1*xxy 而对应齐次方程而对应齐次方程 y +y=0 的通解为的通解为Y=C1cosx+C2sinx.故原方程的通解为故原方程的通解为.sincoscos2121*xCxCxxYyy 例例 11方程方程 y +4y=x+1+sinx 的通解的通解.解解自由项自由项 f(x)=x+1+sinx可以看成可以看成 f1(x)=x+1 和和 f2(x)=sin x 之和，之和，y +4y=x+1，y +4y=sin x.和和方程方程 的特解易求得，的特解易求得，,sin*2xAy 设方程设方程 的特解为的特解为,cos*2xAy .sin*2xAy ,4141*1 xy的特解的特解.所以分别求方程所
30、以分别求方程代入代入，得得3Asin x=sin x.31 A所以所以.sin31*2xy 得原方程的特解得原方程的特解.sin314141*2*1*xxyyy 原方程所对应的线性齐次方程为原方程所对应的线性齐次方程为 y +4y=0，其通解为其通解为Y=C1cos 2x+C2sin 2x，故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin2cossin31414121*xCxCxxYyy 三、应用举例三、应用举例例例 12 弹簧振动问题弹簧振动问题设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为 m 的物体，的物体，当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与当弹簧处于平衡
31、位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反，弹性恢复力大小相等，方向相反，设给物体一个初始位移设给物体一个初始位移 x0 初速初速度度 v0，则物体便在其平衡位置附则物体便在其平衡位置附近上下振动近上下振动.已知阻力与其速度已知阻力与其速度成正比，成正比，O 试求振动过程中位移试求振动过程中位移 x 的变化规律的变化规律.物体在振动过程中，受到两个力的作用：物体在振动过程中，受到两个力的作用：ma=-kx m mv,其中其中 a 为加速度，为加速度，,dd22txa v 为速度，为速度，,ddtxv 解解 建立坐标系，平衡位置为原点建立坐标系，平衡位置为原点,铅垂方向为铅垂方向为 x
32、 轴的正向，则物体位移轴的正向，则物体位移 x 是时间是时间 t 的函数的函数 x=x(t).根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 F=ma，知，知 负号表示阻力负号表示阻力 f2 与速度与速度 v 方向相反，方向相反，其中其中 m m 为为比例系数大于比例系数大于 0(或称阻尼系数或称阻尼系数)，阻力阻力 f2 与速度与速度 v 成正比，成正比，f2=m mv,负号表示弹性恢复力与位移负号表示弹性恢复力与位移 x 方向方向相反；相反；其中其中 k 为为弹性系数大于弹性系数大于 0，由胡克定律知，由胡克定律知，f1=-kx，弹性恢弹性恢复力复力 f1 与阻力与阻力 f2，,22mkmn w wm
33、m，记记则 上则 上式方程可表示为式方程可表示为.0dd2dd222 xtxntxw w称为振动的微分方程，称为振动的微分方程，是一个二阶常系数线性齐次是一个二阶常系数线性齐次方程，方程，它的特征方程为它的特征方程为 r2+2nr+w w2=0，其根为其根为.222,1w w nnr那么，上式变为那么，上式变为.dddd22kxtxtxm m m这里这里 n，w w 为正常数，为正常数，由题意列出初始条件由题意列出初始条件 ,dd,|0000 tttxxx于是，上述问题化为初值问题：于是，上述问题化为初值问题：.dd,|,0dd2dd0002220 w wttxxxxtxntxt下面分三种情况
34、来讨论下面分三种情况来讨论1 大阻尼情形，即大阻尼情形，即 n w w.,221w w nnr这时这时,222w w nnr是两个不相等的实根是两个不相等的实根.所以方程的通解为所以方程的通解为.ee)(2)(12222tnntnnCCxw ww w 2 临界阻尼情形，即临界阻尼情形，即 n=w w.这时，特征根这时，特征根 r1=r2=-n，所以方程的通解为，所以方程的通解为.e)(21nttCCx 3 小阻尼情形，即小阻尼情形，即 n w w.这时，特征根为共轭复数这时，特征根为共轭复数,i22nn w w所以方程的通解为所以方程的通解为).sincos(e222221tnCtnCxnt
35、w ww w上式也可写成上式也可写成),sin(e0 w w tAxnt.arctan,212221220CCCCAn w ww w其中其中对于对于 1，2 情形，情形，x(t)都不是振荡函数，都不是振荡函数，且当且当 t +时，时，x(t)0，即物体随时间即物体随时间 t 的增大而趋于平衡位置的增大而趋于平衡位置.对于对于 3 的情形，虽的情形，虽然物体的运动是振荡的，然物体的运动是振荡的，但它仍随时间但它仍随时间 t 的增的增大而趋于平衡位置，大而趋于平衡位置，总之，这一类振动问题均总之，这一类振动问题均会因阻尼的作用而停止，会因阻尼的作用而停止，称为弹簧的阻尼自由称为弹簧的阻尼自由振动振动.
