五年级苏教版数学上册《钉子板上的多边形》教案、课件、研究单（校内大组教研）.zip

1钉子板上的多边形教案（校内大组教研）教学内容：五年级上册 p108-109 探索规律“钉子板上的多边形”教学目标：1.使学生探索并发现钉子板上围成的多边形的面积，与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。2.使学生经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。3.使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。教学重点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系.教学难点：综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系.教学过程：一、问题引入，揭示课题师：师：同学们，你们认识这是什么吗?老师已经上面围了一些多边形，今天这节课我们就来研究钉子板上的多边形。为了研究的方便，我们通常用这样的点子图代替钉子板。这里每相邻两个钉子之间的距离都是 1cm，相邻 4 个点围成的一个正方形的面积是 1cm。师：师：这些都是在钉子板上围成的多边形，你想研究多边形的哪些内容呢？师：师：好的，今天这节课我们就先来研究一下和钉子板上这些多边形的面积有关的知识。你们猜想一下，这些多边形的面积会和哪些什么因素有关？师：师：是否和你们说的这些因素有关呢？下面我们就借助这些多边形来研究。二、分层探索，发现规律（一）引导尝试，初步感知。1.课件出示图，引导学生观察。引导：请大家观察多边形，按要求数一数，算一算，在教材第 108 页的表格里填一填。2（1）数一数或算一算每个多边形的面积各是多少平方厘米；（2）数一数每个多边形上的钉子各有多少枚；（3）想一想多边形的面积和边上的钉子数有怎样的关系。2.学生交流，板书完成下面表格。3.观察数据，比较发现。引导：你能看出这些多边形的面积和边上钉子数的关系吗？同桌先说一说。交流：你发现这里的多边形面积和边上的钉子数有什么关系？（板书：多边形的面积=多边形上的钉子数2）说明：为了更简洁、方便地表示出这个规律，我们可以用字母来表示。如果用 n 表示多边形上的钉子数，用 S 表示多边形的面积，那上面发现的这个规律可以怎样表示？教师确认、说明字母表示的关系式，并板书：S=n24.观察比较，反思质疑。引导：是不是所有的钉子板上多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系呢？请在第二行中选择一个多边形数一数，看看是不是也有这样的关系。交流：你数的第二行哪一个，结果怎样？（结合交流对应板书面积和钉子数：6 10 5.5 9 6.5 9 7 8）追问：现在多边形的面积和边上钉子数还有上面发现的规律吗？提问：这是为什么呢？回过去再看第一行的多边形，它们还有什么共同的地方吗？找找看。第二行和它们有什么不同？小结：第一行符合规律的多边形内部的钉子数都为 1，第二行多边形内部的钉子数都不是 1。这说明多边形的面积不仅和多边形的钉子数有关，还与多边形内部的钉子数有关。刚才我们只是研究了内部钉子数为 1 的情况。说明：如果用 a 表示多边形内部的钉子数，那当 a=1 时，S=n2。（在上面得出的关系式前补充板书：a=1）（二）继续研究，拓展认识。1.提出问题，引发思考。3引导：如果多边形内部都有 2 枚钉子，多边形面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？现在请大家进一步观察，数一数、比一比，看看有没有规律。2.小组合作，探究规律。引导：现在请你们四人小组合作，按照下面的办法研究多边形的面积。出示活动要求：（1）每人画一个内部有 2 枚钉子的多边形，数出边上的钉子数，算出它的面积；（2）每人把获得的数据在小组内交流，并记录在课本第 109 页的表格里；（3）观察表格中的数据，小组讨论交流：你有什么发现？学生操作、填表、比较、思考，教师巡视。3.交流引导，发现规律。出示表格，指名学生交流结果，在表格里呈现。引导：我们刚才已经知道，这里的面积不等于 n2，但和 n2 有点什么关系吗？同桌互相讨论，看看有什么发现。提问：通过数据比较，你有什么发现？小结：通过这里的多边形的比较，可以发现，当多边形内部钉子数 a=2 时，面积 S=n2+1。（板书：a=2 S=n2+1）追问：检查你画的内部有 2 个钉子的多边形，面积符合这个规律吗？如果不符合，把你的例子在全班交流。指出：现在没有学生提出反例，所以的都符合这里的规律。从大家的图形和数据可以发现，当多边形内部有 2 个钉子时，也就是 a=2 时，S=n2+1。（三）引导猜想，概括规律。1.引发学生猜想。提问：上面发现图形内部钉子数 a=1 时，S=n2；a=2 时，S=n2+1。这里是不是有什么规律，猜一猜，如果多边形内部有 3 枚钉子，它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢？先想一想，再告诉大家你的猜想。交流：你猜想的规律是怎样的？（板书：a=3 S=n2+2？）怎样想的？2.画图举例，验证猜想。4让学生在点子图上画出图形，验证上面的猜想。交流：你画出的是怎样的图形，验证的结果有什么结论？（指名学生呈现图形验证结论）确认：当多边形内钉子数是 3 时，面积 S 就等于 n2+2。（擦除上面板书中的“？”）追问：现在我们又有什么发现？3.拓展延伸，揭示规律。引导学生观察关系式：a=1 S=n2a=2 S=n2+1a=3 S=n2+2引导：你觉得如果 a=4，会有什么规律？a=5 呢？那你能任选一个 a 等于几，画一画、算一算来验证吗？自己画图验证。指名学生交流，呈现不同例子的图形用数据验证，并板书关系式。提问：你现在能发现钉子板上多边形面积的规律了吗？指出：如果用 a 表示多边形内部的钉子数，n 表示多边形边上的钉子数，那么，多边形的面积 S 就等于边上的钉子数 n 除以 2，再加上内部的钉子数 a，然后减 1。（板书：S=n2+a-1）验证：当 a=0 或 a=1 的时候，也符合这样的规律吗？我们找几个图形来看一看。呈现几个相应的图形数一数，发现：当 a=0 时，可以看作 S=n2+0-1，符合规律；当 a=1 时，可以看作 S=n2+1-1，同样符合规律。追问：通过对钉子板上多边形的研究，我们发现了什么规律？请大家说出这个规律。4.适当介绍，拓展视野。说明：我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理（适当介绍）。有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求，那记住这本书：闵酮鹤的著作格点和面积，以后有兴趣、有条件了，可以去阅读。三、回顾过程，交流体会。5提问：回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？追问：还有什么疑问吗？小结：今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。在研究的过程中，我们从简单情形入手，通过画一画、数一数、算一算等方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。从上面的过程中我们发现，要从各种不同情况的多边形中研究，要善于发现不同多边形中的共同点，比如形状、大小不同的多边形中都有几个钉；发现的不同关系式中的共同规律等。在探索规律时，一定要注意认真观察、反复比较，举例验证。表示数学规律一般用含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记的特点。“钉子板上的多边形”研究单 1“钉子板上的多边形”研究单 1 厘厘米米11厘米多边形的面积/平方厘米图形编号厘厘米米11厘米我的发现：我的发现：我的发现：我的发现：（1）（2）图形编号多边形的面积/平方厘米（S）多边形边上的钉子数/枚（n）厘厘米米11厘米“钉钉子子板板上上的的多多边边形形”研研究究单单2画3个多边形，多边形内有枚钉子，即：多边形内钉子数a=图形编号多边形边上的钉子数/枚（n）多边形的面积/平方厘米（S）我我们们发发现现：厘厘米米11厘米钉子板上的多边形钉子板上的多边形苏苏 教教 版版 五五 年年 级级 数数 学（上）学（上）111cm厘米11厘米11图形形编号号多多边形的面形的面积/平方厘米平方厘米 2 4 33.56748、“钉子板上的多边形钉子板上的多边形”研究单研究单1多边形边上的钉子数多边形边上的钉子数/枚枚 S Sn n11图形形编号号多多边形的面形的面积/平方厘米平方厘米6105.59、“钉子板上的多边形钉子板上的多边形”研究单研究单1多边形边上的钉子数多边形边上的钉子数/枚枚S Sn n厘米11厘米 三人分别在点子图上三人分别在点子图上画一个画一个a=3或或4或或5的多边的多边形。形。得出得出S与与n的值，第四的值，第四人汇总填入表格。人汇总填入表格。观察、比较、分析，观察、比较、分析，表达出研究的结果。表达出研究的结果。4 4人人学学习习小小组组乔治乔治乔治乔治 皮克（奥地利）皮克（奥地利）皮克（奥地利）皮克（奥地利）该定理被誉为有史以来该定理被誉为有史以来“最重要的最重要的100个数学定理个数学定理”之一。之一。皮克定理皮克定理闵嗣鹤著987数一数下图中的格点，用你发现的公式计算出它们的面积。数一数下图中的格点，用你发现的公式计算出它们的面积。S7 =7 S8 =8.5 S9 =13.5