1、宗子安谌霖霖第三章 几何构型与几何变换一、概述一、概述1.几何构型的基本概念几何构型的基本概念 内部模型：存放在计算机系统内进行内部模型：存放在计算机系统内进行各种处理的几何模型。各种处理的几何模型。外部模型：实际中存在的或是设计人外部模型：实际中存在的或是设计人员构思的几何模型。员构思的几何模型。两者关系两者关系：以内部模型模拟外部模型。两者：以内部模型模拟外部模型。两者之间完全相符是理想状态，但实之间完全相符是理想状态，但实际上做不到，很多情况下也无必际上做不到，很多情况下也无必要完全相同。要完全相同。几何构型：研究如何将空间形体以计算机几何构型：研究如何将空间形体以计算机能够理解的形式定
2、义，应用适当的数据结能够理解的形式定义，应用适当的数据结构对形状定义进行描述。以文件的形式存构对形状定义进行描述。以文件的形式存放在计算机中，要求尽可能真实、全面、放在计算机中，要求尽可能真实、全面、准确地描述空间形体，并可通过不同的处准确地描述空间形体，并可通过不同的处理或运算产生各种所需的信息，为设计、理或运算产生各种所需的信息，为设计、制造阶段所运用。制造阶段所运用。点、线、面、体是构造空间形体的基本元素。点、线、面、体是构造空间形体的基本元素。目前目前CAD系统中最常用的几何模型有线系统中最常用的几何模型有线架架(框框)模型、表面模型，实体模型。模型、表面模型，实体模型。2.三维形体的
3、几何模型三维形体的几何模型(1)线架线架(框框)模型模型用点、线、线框表示实际的三维形用点、线、线框表示实际的三维形体。其数据结构主要描述每一构架棱边，体。其数据结构主要描述每一构架棱边，通常包括顶点的坐标与编号；各棱边起通常包括顶点的坐标与编号；各棱边起点、终点的编号。点、终点的编号。特点：为最简单的几何模型，所占内存少，特点：为最简单的几何模型，所占内存少，易于处理，应用十分广泛。易于处理，应用十分广泛。缺点：虽然描述了缺点：虽然描述了实际形体表面不连续处实际形体表面不连续处的的准确信息，但几乎不包含实际形体表准确信息，但几乎不包含实际形体表面的信息及内部特征信息，对实际形面的信息及内部特
4、征信息，对实际形体的描述不完全，对它的理解有时也体的描述不完全，对它的理解有时也会产生歧义。会产生歧义。(a)(c)(b)例如下面三个模型是不同的。但它们的例如下面三个模型是不同的。但它们的线架模型却相同。线架模型不能作为工程分析线架模型却相同。线架模型不能作为工程分析时用的几何模型，也不能用于数控加工，通常时用的几何模型，也不能用于数控加工，通常用于图形处理。用于图形处理。(2)表面模型表面模型表面模型是比线框模型更为复杂的几表面模型是比线框模型更为复杂的几何模型，可以在线框模型的基础上定义表何模型，可以在线框模型的基础上定义表面生成，也可以通过定义多个截面用导线面生成，也可以通过定义多个截
5、面用导线生成如下面图例所示。生成如下面图例所示。表面模型的数据结构在线框模型的基础表面模型的数据结构在线框模型的基础上增加了面的有关信息，其中表面特征码用上增加了面的有关信息，其中表面特征码用于表示面的类型，如可以用特征码于表示面的类型，如可以用特征码“0”表示表示平面，特征码平面，特征码“1”表示球面等，同时每条棱表示球面等，同时每条棱边还用向量表示，边还用向量表示，表面的有形部分定义在有表面的有形部分定义在有向棱边的左边向棱边的左边，见下面图例。，见下面图例。特点特点：消除了线框模型上许多模糊的地方，更：消除了线框模型上许多模糊的地方，更为精确地定义了实际形体的形状，如较为精确地定义了实际
6、形体的形状，如较为精确地描述了表面形状及结构的范围，为精确地描述了表面形状及结构的范围，可以作为数控加工中的几何模型。可以作为数控加工中的几何模型。缺点缺点：由于不包含：由于不包含实际形体内部特征信息实际形体内部特征信息，很，很多工程分析无法进行，如有限元分析等。多工程分析无法进行，如有限元分析等。(3)实体模型实体模型目前目前CAD系统中最高水平的几何模系统中最高水平的几何模型，其数据结构在表面模型的基础上又型，其数据结构在表面模型的基础上又增加了实体的内部特征信息增加了实体的内部特征信息，如材料类，如材料类型、体积、重心、质量、惯性矩、惯性型、体积、重心、质量、惯性矩、惯性积等。积等。特点
7、：最为全面地描述了实际形体，可以特点：最为全面地描述了实际形体，可以通过剖切了解其内部结构，可以进通过剖切了解其内部结构，可以进行各种工程分析和数控加工分析。行各种工程分析和数控加工分析。缺点：占用内存大，其数据结构及相应算缺点：占用内存大，其数据结构及相应算法十分复杂，通常处理速度要慢得法十分复杂，通常处理速度要慢得多。多。(4)实体模型构造法实体模型构造法建立一个实体模型主要有两种方法：建立一个实体模型主要有两种方法：边界法：确定实体模型边界，采用拓边界法：确定实体模型边界，采用拓扑变形方法产生实体模型。扑变形方法产生实体模型。体素法：下面介绍。体素法：下面介绍。体素法体素法：就是在系统中
8、预置若干种简单几何：就是在系统中预置若干种简单几何形状的实体基本元素，如立方体、形状的实体基本元素，如立方体、球体、圆柱体等，称之为体素，再球体、圆柱体等，称之为体素，再利用这些体素进行联接、去除、拼利用这些体素进行联接、去除、拼合等手段组合成复杂的实体模型。合等手段组合成复杂的实体模型。也可以用一个简单的数学公式表示：也可以用一个简单的数学公式表示：V=G，OPV：待构造的实体模型G：基本体素集合 G=GijOP：布尔运算符的集合，OP=(并)(交)(差)C(补)下面以一个实例说明这一过程。下面以一个实例说明这一过程。ac=abE=cdbd:复制c并旋转903.几何变换的基本概念几何变换的基
9、本概念(1)几何变换的基本问题：研究不同的几几何变换的基本问题：研究不同的几何变换所遵循的法则、变换的形式、何变换所遵循的法则、变换的形式、性质。性质。(2)基本图形变换：缩放、旋转、平移。基本图形变换：缩放、旋转、平移。(3)几何变换的实质是几何变换的实质是点的坐标变换点的坐标变换，通，通常采用线性代数中矩阵计算来求解。常采用线性代数中矩阵计算来求解。4.二维几何变换二维几何变换图形是空间点的集合，图形的几何图形是空间点的集合，图形的几何变换实质就是点集中点的坐标变换，为此变换实质就是点集中点的坐标变换，为此在研究图形的几何变换之前，先讨论平面在研究图形的几何变换之前，先讨论平面图形几何变换
10、中的点的坐标变换。图形几何变换中的点的坐标变换。(1)点的坐标变换点的坐标变换二维空间中的点二维空间中的点P可用向量可用向量(x，y)表示。表示。设设 A，B，T均为矩阵且满足：均为矩阵且满足：AT=B当当A为一个点或一组点的坐标矩阵，为一个点或一组点的坐标矩阵，T为为变换矩阵时，则上面运算完成了一次几何变换矩阵时，则上面运算完成了一次几何变换，变换，B为变换的结果也是坐标矩阵。为变换的结果也是坐标矩阵。下面分析某点下面分析某点P与一个与一个22阶变换矩阶变换矩阵相乘会产生什么结果。阵相乘会产生什么结果。y,xeydx by,axebday x,2221点点P(x，y)通过上面变换而产生了一个
11、通过上面变换而产生了一个新点新点P(x，y)，且且x=ax+by,y=dx+ey下面分几种情况分析变换的意义：下面分几种情况分析变换的意义：当当a=e=1 b=d=0时时显然当显然当 为单位矩阵时，为单位矩阵时，P点位置不变。点位置不变。1001Ty ,xy x,1001 y x,当当e=1，d=b=0时时y ,xy ax,100a y x,此时此时p 的的x坐标分量按比例变化，而坐标分量按比例变化，而y坐坐标分量不变，变化情况如下图。标分量不变，变化情况如下图。p p p 0yx 当当d=b=0 时时又可以分以下几种情况讨论：又可以分以下几种情况讨论：y ,xey ax,e00a y x,有
12、有当当a=e1时，时，p点坐标以原点为中心放大点坐标以原点为中心放大当当0a=e1时，时，p点坐标以原点为中心缩小点坐标以原点为中心缩小等比例等比例变换变换 当当a或或e中一个为中一个为1而另一个为而另一个为1时，则时，则产生镜面变换，变化情况如下图：产生镜面变换，变化情况如下图：p p y 0 1001T1001Ty 0 p p x 当当a和和e均为均为1时，则产生中心反射变换。时，则产生中心反射变换。如下图所示：如下图所示：1001Tp p y x 0 当 时，将产生旋转变换。cossinsincosT),(ycos xsin,ysin xcoscossin-sincos y x,yx此时
13、，此时，P点绕原点旋转点绕原点旋转 角且当角且当 0时，逆时针方向旋转，当时，逆时针方向旋转，当 0时顺时针方时顺时针方向旋转，示意图如下：向旋转，示意图如下：yxpp0以上分析中已介绍了缩放，旋转变换，以上分析中已介绍了缩放，旋转变换，但尚未解决平移变换的问题，科学家已证但尚未解决平移变换的问题，科学家已证明明在变换矩阵为在变换矩阵为22时是无法解决平移变时是无法解决平移变换的换的。为了解决这一问题有必要引入齐次。为了解决这一问题有必要引入齐次坐标及齐次变换的概念。坐标及齐次变换的概念。(2)齐次坐标变换齐次坐标变换22阶变换矩阵无法解决点的平移阶变换矩阵无法解决点的平移问题是因为在变换矩阵
14、中问题是因为在变换矩阵中无法引入平无法引入平移参数移参数 i、j，使，使P(x,y)点在平移后变为点在平移后变为P(x+i y+j)。为此须改造变换矩阵变为为此须改造变换矩阵变为32阶矩阵，即阶矩阵，即23j10i01 Ti：x方向的平移参数方向的平移参数j：y方向的平移参数方向的平移参数即完美地解决即完美地解决P点的平移问题。点的平移问题。相应地相应地P点坐标矩阵也要改为点坐标矩阵也要改为(x,y,1)。由：由：)y x(j)y i,(xj10i01 1)y (x 象这种以三维向量表示二维向量或象这种以三维向量表示二维向量或以以n+1 维向量表示维向量表示n维向量的方法称为齐次坐维向量的方法
15、称为齐次坐标表示法标表示法，以齐次坐标为基础的几何变换，以齐次坐标为基础的几何变换称为齐次坐标变换。称为齐次坐标变换。按以上思路我们还可改变变换矩阵按以上思路我们还可改变变换矩阵T为为33的满秩的矩阵的满秩的矩阵(所谓满秩的矩阵，即该所谓满秩的矩阵，即该矩阵的行列式之值不为矩阵的行列式之值不为0)则可以增加更多的则可以增加更多的变换功解。此时变换功解。此时T为：为：sjinebmdaT可以把可以把T分割成分割成4个分块子矩阵，其中个分块子矩阵，其中每一个子矩阵可以完成不同的变换。每一个子矩阵可以完成不同的变换。为为22阶子矩阵，使图形产生比例、阶子矩阵，使图形产生比例、旋转、反射变换。旋转、反
16、射变换。为为21阶子矩阵，使图形产生透视变换。阶子矩阵，使图形产生透视变换。为为12阶子矩阵，使图形产生平移变换。阶子矩阵，使图形产生平移变换。为为11阶子矩阵，使图形产生全比例变换。阶子矩阵，使图形产生全比例变换。S一般取值为一般取值为1。(3)二维图形的几何变换二维图形的几何变换任一图形均可视为一组特征点的集任一图形均可视为一组特征点的集合。因此二维图形的几何变换，就是该合。因此二维图形的几何变换，就是该点集的坐标变换。下面只介绍几种常见点集的坐标变换。下面只介绍几种常见的变换矩阵。的变换矩阵。图形以原点为中心的缩放图形以原点为中心的缩放1000k000kTk1 放大放大0k1 缩小缩小
17、图形以原点为中心的旋转变换图形以原点为中心的旋转变换1000cossin0sincosT0 逆时针方向旋转逆时针方向旋转0 顺时针方向旋转顺时针方向旋转 图形的拉伸压缩图形的拉伸压缩图形的拉伸压缩为图形缩放的一个图形的拉伸压缩为图形缩放的一个特例。即使图形沿某一方向缩放，而另特例。即使图形沿某一方向缩放，而另一方向尺寸不变，这是一种畸变，在工一方向尺寸不变，这是一种畸变，在工程中应用较少，但在一些特定场合可以程中应用较少，但在一些特定场合可以解决问题。解决问题。沿沿x方向变形：方向变形：10001000kTk1 拉伸拉伸0k1 压缩压缩沿沿y方向变形：方向变形：1000k0001Tk1 拉伸拉
18、伸0k1 压缩压缩下面以模型人为例说明拉伸、压缩变形的应用。下面以模型人为例说明拉伸、压缩变形的应用。图形的对称变换图形的对称变换下面介绍的图形对称变换是相对于下面介绍的图形对称变换是相对于x轴、轴、y轴和原点的轴和原点的相对于相对于x轴轴：100010001T相对于相对于y轴轴：100010001-T相对于原点相对于原点：100010001-T 图形的平移变换：图形的平移变换：相对于原点的位移量相对于原点的位移量1ji010001T(4)组合变换组合变换前面提及任一复杂的图形变换都可前面提及任一复杂的图形变换都可分解为由三种基本变换组合而成，我们可分解为由三种基本变换组合而成，我们可以通过逐
19、次实施基本变换达到目的。以通过逐次实施基本变换达到目的。设要对某点设要对某点P(x,y)进行三次基本变换进行三次基本变换完成一次组合变换，且各次变换的矩阵为完成一次组合变换，且各次变换的矩阵为T1、T2、T3。则可以则可以P1=P T1P2=P1 T2P*=P2 T3也可以：也可以：T=T1 T2 T3P*=P T要注意的是矩阵乘法无交换律要注意的是矩阵乘法无交换律即：即：T1 T2 T2 T1因此变换的次序不能改变。因此变换的次序不能改变。下面再以一个实际例子介绍组合变换。下面再以一个实际例子介绍组合变换。已知已知ABC的顶点的坐标为的顶点的坐标为A(3,0)B(0,2)C(2,6)将此三角
20、形绕将此三角形绕 D点点(-2,1)逆逆时针方向旋转时针方向旋转30并坐标缩小为原来的并坐标缩小为原来的1/2，求新的，求新的ABC 顶点的坐标。顶点的坐标。A(3,0)(0,2)BC(2,6)D(-2,1)xyo解：解：分析：分析：D点不是原点首先必须平移坐标系点不是原点首先必须平移坐标系到到D点，再绕点，再绕D点旋转点旋转30并以并以D点为中心点为中心缩小缩小1/2，再平移坐标系到原先的原点，为，再平移坐标系到原先的原点，为此要执行一次平移、一次旋转、一次缩放、此要执行一次平移、一次旋转、一次缩放、一次平移共一次平移共4个基本变换，过程如下：个基本变换，过程如下：162120103DJ 平
21、移：平移：112010001T1112010001162120103TDJDJ11154112115 旋转：旋转：10000.8660.500.50.8661000 cos30 sin300 sin30 cos30T210000.8660.5-00.50.86615411211-5TDJDJ212133.6964.01866.1232.11634.183.410000.50000.5T310000.50000.516.330.96411.8661.23211.6344.83TDJDJ32313.1650.48210.9330.61610.8172.415 缩放缩放112010001TT114
22、返回原坐标系返回原坐标系(平移平移)：112-01000113.1650.48210.9330.61610.8172.415TDJDJ4314.1651.51811.9331.384-11.8170.415所以：所以：A 为为(0.415,1.817)B 为为(-1.384,1.933)C 为为(-1.518,4.165)5.三维坐标变换三维坐标变换1）三维坐标变换的矩阵表达式）三维坐标变换的矩阵表达式P:(x y z 1)skjipqfcnhebmgdaT也可以类似地把也可以类似地把T分割成分割成4个分块子个分块子矩阵，各子矩阵的变换功能类似于二维情矩阵，各子矩阵的变换功能类似于二维情况。况
23、。下面介绍三维图形的三种基本变换矩阵下面介绍三维图形的三种基本变换矩阵 平移变换：平移变换：1kji010000100001T10000q0000e0000aT 缩放变换缩放变换a、e、q 分别表示分别表示x、y、z轴方向的缩放系数。轴方向的缩放系数。当当a=e=q时为等比例变换，应用最多。时为等比例变换，应用最多。当当a、e、q相等，绝对值为相等，绝对值为1时，有可能时，有可能产生对称变换。产生对称变换。(以坐标平面为对称面以坐标平面为对称面)当当a=e=q=-1时时 将产生中心反射。将产生中心反射。围绕坐标轴旋转围绕坐标轴旋转 角的变换。角的变换。绕绕 X 轴旋转轴旋转 x角。角。1000
24、0 xcosxsin-00 xsinxcos00001T10000ycos0ysin00100ysin-0ycosT 绕 Y轴旋转y角。绕绕 Z 轴旋转轴旋转 z角。角。1000010000zcoszsin-00zsinzcosT2)绕空间任意轴的旋转变换绕空间任意轴的旋转变换这也是一个组合变换，其基本思路这也是一个组合变换，其基本思路是首先实施一系列基本变换，使空间任是首先实施一系列基本变换，使空间任意轴成为新坐标系中的意轴成为新坐标系中的Z轴，再使图形轴，再使图形在新坐标系下绕在新坐标系下绕Z轴旋转轴旋转 角，然后通过角，然后通过逆变换再返回原坐标系。逆变换再返回原坐标系。设点设点P(x
25、y z)绕空间任意轴绕空间任意轴o1 o2旋旋转转 角，求旋转后角，求旋转后P的坐标。的坐标。o1(x1 y1 z1)o2(x2 y2 z2)oyxzxyzo1abcxyo2 将原坐标系将原坐标系oxyz平移到平移到o1点。点。1zyx010000100001T111P1=P T1 新坐标系新坐标系o1xyz先后绕先后绕o1x o1y轴轴旋转旋转 x y角使角使o1o2成新坐标系中的成新坐标系中的Z轴。轴。设a=x2x1 b=y2y1 c=z2z1则cb tgarcx22cba tgarcy10000cossin00sincos00001TRXxxxx10000cos0sin00100sin0
26、cosTRYyyyy有 P 2=P1 TRX P 3=P2 TRY 将将P3绕新绕新Z轴轴(o1 o2)旋转旋转。1000010000cossin00sincosT有：有：P4=P3 T 返回原坐标系：返回原坐标系：Tf =TRY-1 TRX-1 T1-1P*=P Tf6.投影变换投影变换 投影分为两大类，即投影分为两大类，即透视投影和平行投影透视投影和平行投影。它们的本质区别在于透视投影的投影中心是有限它们的本质区别在于透视投影的投影中心是有限的，而平行投影的投影中心是无限的。当投影中的，而平行投影的投影中心是无限的。当投影中心在无限远时，投影线互相平行，所以在定义平心在无限远时，投影线互相
27、平行，所以在定义平行投影时，给出投影线的方向就可以了，而定义行投影时，给出投影线的方向就可以了，而定义透视投影时，还需要明确地指出投影中心的位置。透视投影时，还需要明确地指出投影中心的位置。以下我们将主要就平行投影问题进行讲述以下我们将主要就平行投影问题进行讲述.平平行投影可根据投影方向和投影面的夹角分成两类行投影可根据投影方向和投影面的夹角分成两类：正投影和斜投影。当投影方向与投影面的夹角：正投影和斜投影。当投影方向与投影面的夹角为为900时，得到的投影为正投影，否则为斜投影。时，得到的投影为正投影，否则为斜投影。正投影根据投影面和坐标轴夹角可分成两类：正投影根据投影面和坐标轴夹角可分成两类
28、：三视图和正轴测，当投影面与某一坐标轴垂直时，三视图和正轴测，当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图，这时投影方向与这个坐标轴得到的投影为三视图，这时投影方向与这个坐标轴的方向一致。否则得到的投影为正轴测。的方向一致。否则得到的投影为正轴测。三视图有主视图、三视图有主视图、俯视图俯视图和和左视图左视图三种。投三种。投影影面面V(V(正面正面)、H(H(水平面水平面)、W(W(侧面侧面)分别与分别与X X、Y Y、Z Z轴垂直。轴垂直。形体在形体在H、V、W面上投影图的特点：面上投影图的特点：相应的相应的z、y、x坐标为坐标为0。所以有。所以有三视图的投影三视图的投影变换矩阵分别为：变换
29、矩阵分别为：1000010000100000WT1000010000000001VT1000000000100001HT 主视图：主视图：要得到要得到3 3个基本视图的二维坐标信息，可个基本视图的二维坐标信息，可以有不同思路。常采用以下方法：以有不同思路。常采用以下方法：先投影，后旋转，再平移。先投影，后旋转，再平移。俯视图俯视图 左视图左视图 三视图常用于工程制图，因为在三视图上可三视图常用于工程制图，因为在三视图上可以测量距离和角度。但一种三视图只有物体一个以测量距离和角度。但一种三视图只有物体一个面的投影，所以单独从某一个方向的三视图上是面的投影，所以单独从某一个方向的三视图上是很难想象
30、出物体的三维形状的，只有将主、俯、很难想象出物体的三维形状的，只有将主、俯、左三个视图放在一起，才有可能综合出物体的实左三个视图放在一起，才有可能综合出物体的实际形状。际形状。正轴测有等轴测、正二测和正三测三种。当正轴测有等轴测、正二测和正三测三种。当投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等时为等轴投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等时为等轴测；当投影面与两个坐标轴之间的夹角相等时为测；当投影面与两个坐标轴之间的夹角相等时为正二测；当投影面与三个坐标轴之间的夹角都不正二测；当投影面与三个坐标轴之间的夹角都不相等时为正三测。相等时为正三测。正轴测及一个方块的正轴测投影图正轴测及一个方块的正轴测投影图 1
31、、推导明连续的旋转变换矩阵：、推导明连续的旋转变换矩阵：1000)cos()sin(0)sin()cos(21212121T2、三角形、三角形A(2，0)，B(4，1)，C(1，4)首先首先绕点原点逆时针旋转绕点原点逆时针旋转45度，然后沿度，然后沿y轴负方向平轴负方向平移移5个单位，最后沿个单位，最后沿X轴正方向平移轴正方向平移4个单位，求个单位，求出三角形出三角形ABC变换后的新坐标。变换后的新坐标。练习练习3、对下图中的等腰三角形、对下图中的等腰三角形ABC绕绕A点顺点顺时针旋转时针旋转45后，以后，以A点为参考点将点为参考点将ABC的坐的坐标扩大一倍，试求变换过程中的各个变换矩阵标扩大
32、一倍，试求变换过程中的各个变换矩阵及变换后及变换后A，B，C的新坐标。的新坐标。C(2,3)B(3,0)A(1,0)4、在平面上点、在平面上点P（4,6）对直线）对直线x2y+2=0作对称变换，求作对称变换，求P点变换后所得的点变换后所得的P*点坐标及总变换矩阵点坐标及总变换矩阵T 5、已知、已知ABC各顶点的坐标分别为各顶点的坐标分别为A(2,0)，B(4,5)，C(6,2)，求，求ABC对直线对直线M（1,2）N（-1,-4）作镜像变换，求变换后）作镜像变换，求变换后三角形顶点的新坐标三角形顶点的新坐标A1B1C1。6、三维形体的计算机几何模型有哪几种？三维形体的计算机几何模型有哪几种？这些模型可包含什么样的信息？这些信息可以这些模型可包含什么样的信息？这些信息可以对产品的生命周期提供哪些支持？你认为现代对产品的生命周期提供哪些支持？你认为现代CADCAD技术中的设计模型应当包括哪些信息？技术中的设计模型应当包括哪些信息？
