1、目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的弧长二、曲线的弧长第六节一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学在几何上的简单应用 第五章 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面 1、空间曲线、空间曲线 的参数方程的参数方程:可以看作是从区间可以看作是从区间MrxzyO的一个连续映射的一个连续映射3R,r 的像的像,的轨迹就是曲线的轨迹就是曲线。:x=x(t),y=y(t),z=z(t),t.=(t),t,rr r(t)的像就是向径的像就是向径 OM 当当 t 在区间在区间上变化时向径上
2、变化时向径的终点的终点M,OM()()()()t=x t,y t,z tt.r 曲线也可以写为曲线也可以写为目录 上页 下页 返回 结束 zyxO例如例如,圆柱螺旋线圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为的参数方程为上升高度上升高度,称为称为螺距螺距.M目录 上页 下页 返回 结束 设空间曲线设空间曲线 的方程为的方程为2.简单曲线和有向曲线简单曲线和有向曲线上连续，上连续，为连续曲线；为连续曲线；()tt.(rr 如果向量值函数如果向量值函数r(t)在区间在区间,如果如果 为连续曲线，为连续曲线，且任取且任取1212,(,
3、),t ttt 都有都有 ，12()()ttrr即在即在,上上r(t)为单射，为单射，则称则称 为简单曲线。为简单曲线。如果如果 为简单曲线为简单曲线,且且()()rr则称则称 为简单为简单闭曲线。闭曲线。则称则称目录 上页 下页 返回 结束 对于选定了参数对于选定了参数t的曲线的曲线，我们规定我们规定t增大的增大的的方向为曲线的的方向为曲线的正方向正方向。对于规定了方向的曲线，。对于规定了方向的曲线，我们称为我们称为有向曲线有向曲线。一般讨论的曲线均为。一般讨论的曲线均为有向曲线有向曲线。3.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面设空间曲线设空间曲线 的方程为的方程为()()()()t
4、=x t,y t,z tt.r ()()()()t=x t,y t,z tt.0,r 其中向量值函数其中向量值函数r(t)在在,上可导上可导目录 上页 下页 返回 结束 切线方程。切线方程。我们来讨论我们来讨论 在点在点处的处的()()()x t,y t,z t0000P与平面曲线的切线一样，与平面曲线的切线一样，空间曲线上点空间曲线上点0P处的切线也定义为曲线处的切线也定义为曲线当点当点P沿曲线趋向于点沿曲线趋向于点0P时的极限位置时的极限位置0P T0P处的割线处的割线0P P上过点上过点目录 上页 下页 返回 结束 要求此切线方程。关键在于求出一个方向向量。要求此切线方程。关键在于求出一
5、个方向向量。ttt00(),()rr。从而向量。从而向量为此在为此在0P的临近取点的临近取点(+)(+)(+)x tt,y tt,z tt000P与与P对应的向径分别为对应的向径分别为0P000()()rrrp pttt为割线为割线0P P的一个方向向量的一个方向向量.易知易知0r p ptt也是割线也是割线0P P的一个方向向量。的一个方向向量。对上式取极限有对上式取极限有目录 上页 下页 返回 结束 从而割线变为曲线从而割线变为曲线 的的切线，切线，由此可见向径由此可见向径r(t)的导数的导数limlim0000()rr ttp pttt相应的方向向量变为切线的相应的方向向量变为切线的方向
6、向量方向向量t0().r 表示曲线表示曲线 在相应点在相应点t0()r 的的切线的方向向量。切线的方向向量。t00()P r处切线的向量方程为处切线的向量方程为曲线曲线 在相应点在相应点切向量切向量目录 上页 下页 返回 结束 其中其中为切线上动点为切线上动点M(x,y,z)的向径，的向径，t参数。参数。tt00()()rtr 时，时，曲线曲线 上都存在切线。上都存在切线。()=x,y,z000000()()():.()()()xx tyy tzz tx ty tz t 0P消去参数消去参数 处的切线方程为处的切线方程为 t0()0r 若切线方向连续变化，若切线方向连续变化，此时称曲线为光滑曲
7、线。此时称曲线为光滑曲线。如果如果 不是不是光滑曲线，光滑曲线，但将但将 分成若干段后，如果每分成若干段后，如果每目录 上页 下页 返回 结束 段都是光滑曲线，则称为分段光段都是光滑曲线，则称为分段光滑曲线。滑曲线。过点过点 且垂直于且垂直于 处切线处切线 的直线的直线,称为称为0P0P曲线曲线 的法线，的法线，这些法线显然位于一个平面内，这些法线显然位于一个平面内，此平面为此平面为在点在点 处的处的法平面法平面0P000000()()()()()()0.x txxy tyyz tzz法法平面平面 的方程为的方程为目录 上页 下页 返回 结束 例例 求曲线求曲线32,tztytx在点在点 M(
8、1,1,1)处的切线处的切线 方程与法平面方程方程与法平面方程.,3,2,12tztyx解：解：,10t点点(1,1,1)对应于对应于故点故点M 处的切向量为处的切向量为)3,2,1(T因此所求切线方程为因此所求切线方程为 111zyx123法平面方程为法平面方程为)1(x)1(2y0)1(3z即即632zyx)()(:xzxy思考思考:光滑曲线光滑曲线的切向量有何特点的切向量有何特点?),1(T答答:)()(:xzxyxx切向量切向量目录 上页 下页 返回 结束 时，当0),(),(zyGFJ曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF)()(xzx
9、yxydd曲线上一点曲线上一点),(000zyxM,且有且有xzdd,),(),(1xzGFJ,),(),(1yxGFJ 可表示为可表示为处的切向量为处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(,)(,100 xxT目录 上页 下页 返回 结束 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)(0 zz或或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),
10、(,),(),(xyz目录 上页 下页 返回 结束 0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyxGF(自己验证自己验证)目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求曲线求曲线0,6222zyxzyx在点在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程.MzyGF),(),(切线方程切线方程121zyx解法解法1 令令,6222zyxGzyxF则则即即0202yzx切向量切向量;0),(),(MxzGFMzy1122
11、Mzy)(2;606xyz66),(),(MyxGF)6,0,6(T目录 上页 下页 返回 结束 06222zyxzyx法平面方程法平面方程0)1(6)2(0)1(6zyx即即0 zxxxzzxyydddd解法解法2 方程组两边对方程组两边对 x 求导求导,得得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点曲线在点 M(1,2,1)处有处有:切向量切向量解得解得11zx,zyxzzyyx)1,0,1(MMxzxyTdd,dd,1目录 上页 下页 返回 结束 切线方程切线方程121zyx即即0202yzx法平面方程法平面方程0)1()1()2(0)1(1zyx即即0 zx点点
12、 M(1,2,1)处的处的切向量切向量011)1,0,1(T目录 上页 下页 返回 结束 6.2 6.2 曲线的弧长曲线的弧长弧长弧长折线的极限折线的极限对于空间简单曲线对于空间简单曲线 ：()(),(),()rr tx ty tz tt 的两个端点的两个端点A,BA,B分别对应分别对应 ,(),()rr 在在 上介于上介于A,BA,B之间之间分别沿分别沿t t增大的方向依次取增大的方向依次取n n-1-1个分点个分点，1,21,nP PP 他们把他们把 分成了分成了n n段。用直线段把相邻分点连接起来段。用直线段把相邻分点连接起来得得到一折线，它的长度为到一折线，它的长度为目录 上页 下页
13、返回 结束 定理定理6.1 6.1 弧长计算公式：弧长计算公式：222()()()()sr t dtx ty tz tdt 101limniidisP P 11nniiisP P 如果不论分点怎么选取，最大长度如果不论分点怎么选取，最大长度折线长度有确定的极限折线长度有确定的极限s,11max0iii ndP P 线弧为可求长的线弧为可求长的.并称此极限为曲线的长并称此极限为曲线的长,则称此曲则称此曲即即目录 上页 下页 返回 结束 01,nP PP证明：设分点 对应的参数分别为，这样便有首先来求01,nt tt01,nttt1iiP P 22211()()()()(),iiiiiiiP Pt
14、txyz rr利用拉格朗日中值公式得2221()()(),iiiiiiP Pxyzt 其中11,(,)iiiiiiiitttt t 目录 上页 下页 返回 结束 为使上式右端根式中的函数在 同一点处取值，将其变形得到于是有其中令2221()()(),iiiiiiiiP PxyztR t (),iiiitR t r222()()()iiiiRxyz222()()().(6.12)iiixyz1111(),(6.13)nnnniiiiiiiiisP PtR t r1maxii nt，由定积分的定义和存在定理可知目录 上页 下页 返回 结束 利用不等式利用不等式这样，这样，由由(6.13)(6.14
15、)两式可知，要想证明弧长两式可知，要想证明弧长因为因为222222123123112233 aaabbbababab公式，只需要证明公式，只需要证明01lim()()(6.14)rrniiitt dt 01lim0niiiR t 由由(6.12)可知可知|()()()()iiiiiRyyzz(),()y tz t在在,上连续，从而一致连续，上连续，从而一致连续，目录 上页 下页 返回 结束 证毕。证毕。于是于是只要只要 便有便有故故0,0,t ttt ()(),()()y ty tz tz t2iR特别当特别当 时有时有1maxii nt 12()niiiR t 01lim0niiiR t 目
16、录 上页 下页 返回 结束 22()()()sr t dtx ty tdt平面曲线为空间曲线的特例平面曲线为空间曲线的特例(z=0)：对于平面曲线：对于平面曲线 ()(),()rr tx ty tt 弧长为弧长为(1)(1)如果曲线弧由直角坐标方程给出如果曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy则参数方程为则参数方程为 x=x,y=f(x),于是有于是有xysbad12xxfbad)(12目录 上页 下页 返回 结束(2)曲线弧由极坐标方程给出:)()(rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得目录 上页 下页 返回 结
17、束 例例 计算摆线)cos1()sin(tayttax)0(a一拱)20(t的弧长.解解:)cos1(22tata22sin)cos1(2ta2sin2tattasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2 22()()x ty t 目录 上页 下页 返回 结束 例例：求平面曲线的弧长：求平面曲线的弧长：211ln 142xyyye例例：求螺旋线一个螺距之间的长度：求螺旋线一个螺距之间的长度：cos,sin,02xayazk目录 上页 下页 返回 结束 弧微分弧微分设曲线的参数方程为设曲线的参数方程为()rr t 可以将弧长视为参数可以将弧长视为参数 t t 的函数的函数0()()tt
18、s trd 这样，可得弧长的微分（弧微分）为：这样，可得弧长的微分（弧微分）为：222()()()()dsr tdtx ty tz tdt t.则则t t 增大的方向也是增大的方向也是 s s 增大的方向，且有增大的方向，且有 222()()()()dsr tx ty tz tdt 目录 上页 下页 返回 结束 自然参数自然参数既然弧长可以视为参数既然弧长可以视为参数 t 的函数的函数0()()ttss trd 将反函数将反函数 t t=t t(s s)代入曲线参数方程代入曲线参数方程()rr t s 即弧长即弧长 s s 成为曲线的参数，称之为成为曲线的参数，称之为自然参数自然参数性质性质：
19、2221dxdydzdsdsds,drdx dy dzdsds ds ds 即即为单位切向量为单位切向量 222()()()()dsr tdtx ty tz tdt 2222)()()()(dzdydxds 目录 上页 下页 返回 结束 6.3 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线曲面的参数方程圆柱面方程，222Ryx 其参数方程为zzRyRx ，sin,cos),(2,0),(z向量的形式),sin,cos(zRRr）（21.6).),(Dz 即圆柱面可以看作平面区域 到 的连续映射下D3R的像。目录 上页 下页 返回 结束）（22.4)cos,sinsin,cossin(),(RRRrr
20、解：任取一点).,(zyxP,如右图，则,cossinsin,cossinRzRyRx ，）（20,20 因此，球面可以看成是平面区域20,20|),(D到 的连续映射（6.22）的像。3R例6.6 建立半径为 的球面的参数方程。R目录 上页 下页 返回 结束 一般的，曲面S看做某区域D到空间Oxyz的某一连续映射的像，从而S的方程可表为，),(),(),(),(Dvuvuzzvuyyvuxx 或写成向量的形式),),(),(),(),(),(Dvuvuzvuyvuxvurr 此二式称为曲面的参数方程，曲面上的曲线的表示曲面上的曲线的表示若在D中固定,0vv 则此映射r下的像点的集合应是曲面S
21、上的一条曲线，称为曲面S上的u曲线，方程是),(),(),(),(),(10000Iuvuzvuyvuxvurr 目录 上页 下页 返回 结束 同理可得曲面S上的v曲线的方程为),(),(),(),(),(20000Ivvuzvuyvuxvurr 这样，过曲面S上的每一点P，就有u曲线和一条v曲线，它们的交点就是P。u曲线族和v曲线族构成曲面S上的参数曲线网。曲面S可以看成是映射r将平面uOv上的区域D在R3中变形后得到的，而D内的坐标网相应的变成了曲面S的参数曲线网。如图目录 上页 下页 返回 结束）（22.4)cos,sinsin,cossin(),(RRRrr ，若0，若0.0)cos,
22、sinsin,cossin(),(000）（RRRrr.20)cos,sinsin,cossin(),(0000）（RRRrr即为球面的经线。即为球面的纬线。目录 上页 下页 返回 结束 复习 例6.7 机械工程中常见的一种曲面称为正螺面，它是当长为l的一动直线段在平面上匀速地绕与此平面垂直的轴旋转，而此直线段所在平面又匀速地沿此轴向上或向下运动时，该直线段的运动轨迹，试建立它的方程。解 建立坐标系，使运动开始时直线段位于x轴的正方向上，且直线段以原点为起点。记为OM。设OM的旋转角速度为，0 垂直移动的速度为b0.正螺面上的任一点P(x,y,z)与z轴的距离为u。.,sin,cosbtztu
23、ytux 目录 上页 下页 返回 结束.,sin,cosbtztuytux 令.,abvt 于是正螺面的参数方程为(,)(cos,sin,)(0,)r u vuv uv avulv 曲面的切平面与法线),),(),(),(),(),(2RDvuvuzvuyvuxvurr 曲面S的参数方程为其中r在D内连续，在点 存在偏导数Dvu),(00,|),(),(),(0000vuuuzuyuxvur ,|),(),(),(0000vuvvzvyvxvur 目录 上页 下页 返回 结束 且0),(),(0000 vurvurvu（点 称为曲面的正则点）),(00vu曲面S上过点 的u曲线为 00r(,)
24、u v),(0vurr 其在 的切向量为),(000vurr ；),(00vuru在点 的切向量为),(000vurr ).,(00vurv同理可得v曲线上述u曲线和v曲线的切线若 是正则点，所以向量),(00vu),(),(0000vurvurvu与不平行，以 为法线方向),(),(0000vurvurvu，确定了一个平面0r它是过点 且向量的平面。目录 上页 下页 返回 结束 其方程为在S上过点 任一条光滑曲线 0r，其中),()(),(Itttvturr .)(,)(0000vtvutu 上式两端在 处对 求导，0tt000|),(|),(|0000tvtutdtdvvurdtduvur
25、dtdr 是何种关系？曲面S上过点 的任一曲线在点 的切线与平面0r0r线性表示，于是曲线 在点 的切向量可用0r),(),(0000vurvurvu与 故曲线 在点 的切线必在平面 上。0r由曲线 的任意性知：曲面S上过点 的任一曲线在0r 目录 上页 下页 返回 结束),(),(),(,),(),(,),(),(),(),(0000CBAvuyxvuxzvuzyrrvuvuvu （点 的切线均在平面 上。0r于是称平面 为曲面在点 的切平面。0r0r过点 且垂直于切平面 的直线称为曲面在点 处的法线。0r的方向向量称为法向量。法线于是S在点 的切平面方程是：0r法线方程为：0()()(00
26、0 ）zzCyyBxxACzzByyAxx000 ).,(),(),(000000000vuzzvuyyvuxx 其中其中目录 上页 下页 返回 结束 若),(),(vzvyvxruzuyuxrvu 均在区域D内连续，则称曲面S是一光滑曲面。,0),(zyxF若曲面S的方程是直角坐标方程,0),(zyxFFF且不妨设,0 zF确定二元函数).,(yxzz 于是方程,0),(zyxF于是得曲面的参数方程),(,(),(yxzyxyxr 于是),0,1(zxxFFr (0,1,),yyzFrF),1,(zyzxyxFFFFrr 故法向量取),(zyxFFFn 目录 上页 下页 返回 结束 于是曲面
27、在点 的切平面方程为：),(0000zyxP法线方程为：0)()()(000000 zzPFyyPFxxPFzyx（)000000PFzzPFyyPFxxzyx（),(yxfz 若曲面S的方程是直角坐标方程于是曲面在点 的切平面方程为：),(0000zyxP法线方程为：)(,)(,0000000yyyxfxxyxfzzyx （1),),0000000 zzyxfyyyxfxxyx（目录 上页 下页 返回 结束)(,)(,0000000yyyxfxxyxfzzyx （全微分的几何意义全微分的几何意义)(,)(,000000yyyxfxxyxfdzyx （)(,)(,),(),(00000000y
28、yyxfxxyxfyxfyxfyx （二元函数 在点),(yxfz 的全微分为),(0000zyxP二元函数的全微分是：用切平面上的改变量代替曲面上的改变量。-局部线性化目录 上页 下页 返回 结束 例6.8求正螺面 在avzvuyvux ,sin,cos,2 u4 v处的切平面与法线方程，其中常数a为非零常数。),0,sin,cos),(vvzyxruuuu（处，处，在在4,2 vu解),sin,cos(avvuvur ),cos,sin),(avuvuzyxrvvvv （),0,22,22(ur),1,1(arv )2,22,22aarrvu （于是对应于点 处的法向量可取为(1,1,)4
29、a 目录 上页 下页 返回 结束)2,(aan 从而得切平面方程azayax22 法线方程114.2zaxyaa 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.求球面14222zyx在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解解:令14),(222zyxzyxF所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程切平面方程)1(2x01432zyx即法线方程法线方程321zyx)2(4y0)3(6z123法向量)2,2,2(zyxn)6,4,2()3,2,1(n即321zyx(可见法线经过原点，即球心)目录 上页 下页 返回 结束 例例10.如果平面01633zyx与椭球面相切,提示提示:设切点为,),(000z
30、yxM则223yx.求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2162 z(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)目录 上页 下页 返回 结束 补充题补充题 1.求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1)的切线解解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为)2,2,1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:111zyx1691法平面:0)1()1(9)1(16zyx024916zyx即与法平面.)1,1,1(1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl目录 上页 下页 返回 结束 2.证明曲面0),(ynzymxF与定直线平行,.),(可微其中vuF证证:曲面上任一点的法向量,1F,)()(21nFmF )2F取定直线的方向向量为,m,1)n则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒(n(l,0nl
