1、第二章 波的基本性质 n2-0 电磁场的基本方程 电磁波n2-1 定态光波的复振幅描述n2-2 波前函数n2-3 平面波与球面波n2-4 光的偏振n2-5 光波在各向同性媒质界面上的反射和折射2-0电磁场的基本方程麦克斯韦麦克斯韦(1831-1879)麦克斯韦是继法拉第之后，集电磁学大成的伟大科学家。他依据库麦克斯韦是继法拉第之后，集电磁学大成的伟大科学家。他依据库仑、高斯、欧姆、安培、毕奥、萨伐尔、法拉第等前人的一系列发仑、高斯、欧姆、安培、毕奥、萨伐尔、法拉第等前人的一系列发现和实验成果，建立了第一个完整的电磁理论体系，不仅科学地预现和实验成果，建立了第一个完整的电磁理论体系，不仅科学地预
2、言了电磁波的存在，而且揭示了光、电、磁现象的本质的统一性，言了电磁波的存在，而且揭示了光、电、磁现象的本质的统一性，完成了物理学的又一次大综合。这一理论自然科学的成果，奠定了完成了物理学的又一次大综合。这一理论自然科学的成果，奠定了现代的电力工业、电子工业和无线电工业的基础。现代的电力工业、电子工业和无线电工业的基础。麦克斯韦麦克斯韦1831年年6月出生于英国爱丁堡，他的父亲原是律师，但月出生于英国爱丁堡，他的父亲原是律师，但他的主要兴趣是在制作各种机械和研究科学问题，他这种对科学的他的主要兴趣是在制作各种机械和研究科学问题，他这种对科学的强烈爱好，对麦克斯韦一生有深刻的影响。麦克斯韦强烈爱好
3、，对麦克斯韦一生有深刻的影响。麦克斯韦10岁进入爱丁岁进入爱丁堡中学，堡中学，14岁在中学时期就发表了第一篇科学论文岁在中学时期就发表了第一篇科学论文论卵形曲线的论卵形曲线的机械画法机械画法，反映了他在几何和代数方面的丰富知识。，反映了他在几何和代数方面的丰富知识。16岁进入爱岁进入爱丁堡大学学习物理，三年后，他转学到剑桥大学三一学院。在剑桥丁堡大学学习物理，三年后，他转学到剑桥大学三一学院。在剑桥学习时，打下了扎实的数学基础，为他尔后把数学分析和实验研究学习时，打下了扎实的数学基础，为他尔后把数学分析和实验研究紧密结合创造了条件。他阅读了紧密结合创造了条件。他阅读了W.汤姆生的科学著作，他十
4、分赞同汤姆生的科学著作，他十分赞同法拉第提出的新观点，并且精心研究法拉第的法拉第提出的新观点，并且精心研究法拉第的电学的实验研究电学的实验研究一书。一书。可见光波长约为380-760nm，光频为81014-41014Hz*光波是特定波段的电磁波光波是特定波段的电磁波2-0电磁场的基本方程Question!1、麦克斯韦方程组（微分、积分形式）；、麦克斯韦方程组（微分、积分形式）；2、物质方程；、物质方程；3、无源真空中的波动方程；、无源真空中的波动方程；经典光学的主干经典光学的主干-麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 大多数与光的传播有关的现象都可以从这大多数与光的传播有关的现象都可以从这一理论出发得
5、到解释。光作为电磁波，光的一理论出发得到解释。光作为电磁波，光的干涉、衍射、光的调制、偏振光的干涉等空干涉、衍射、光的调制、偏振光的干涉等空域和频域的线性叠加，均出自麦克斯韦方程域和频域的线性叠加，均出自麦克斯韦方程组的线性性质。组的线性性质。1、麦克斯韦方程组（微分、积分形式）、麦克斯韦方程组（微分、积分形式）1、麦克斯韦方程组（微分、积分形式）、麦克斯韦方程组（微分、积分形式）0dsdvdsdsdldsdlBDtDjHtBECC积分形式积分形式1、麦克斯韦方程组（微分、积分形式）、麦克斯韦方程组（微分、积分形式）0BDtDJHtBE有源场有源场涡旋场涡旋场无源场无源场涡旋场涡旋场 微分形式
6、微分形式（）（）（）（）（）（）（）（）1、麦克斯韦方程组（微分、积分形式）、麦克斯韦方程组（微分、积分形式）麦克斯韦方程得出的结论：麦克斯韦方程得出的结论：（1 1）任何随时间变化的磁场周围空间都会产生变化的电场，这种电场具）任何随时间变化的磁场周围空间都会产生变化的电场，这种电场具有涡旋的性质有涡旋的性质;（2 2）任何随时间变化的电场（位移电流）都会在周围空间产生变化的磁）任何随时间变化的电场（位移电流）都会在周围空间产生变化的磁场，磁场也是涡旋场。场，磁场也是涡旋场。由此可见：变化的电场与变化的磁场紧密相连，其中一个起变化，随由此可见：变化的电场与变化的磁场紧密相连，其中一个起变化，随
7、即出现另一个，相互激励形成统一的电磁场。即出现另一个，相互激励形成统一的电磁场。变化的电磁场可以以一定的速度向周围空间传播出去。设在空间某一变化的电磁场可以以一定的速度向周围空间传播出去。设在空间某一区域内电场有变化，那么就在临近的区域内引起变化的磁场，这种变化的区域内电场有变化，那么就在临近的区域内引起变化的磁场，这种变化的磁场又在较远的区域引起变化的电场，这样电场与磁场交替产生，便使之磁场又在较远的区域引起变化的电场，这样电场与磁场交替产生，便使之传播到更远的区域；这种电磁场在空间以一定的速度由近及远的传播就是传播到更远的区域；这种电磁场在空间以一定的速度由近及远的传播就是电磁波。电磁波。
8、2、物质方程；、物质方程；EJHBED 为介质中的介电常数，为磁导率，为电导率 0 0 为真空中的介电常数，为相对介电常数r 0 0 为真空中的磁导率，r 为相对磁导率,对于非铁磁介质0 或者 1 r 物质方程物质方程(1)光扰动是电磁扰动，光扰动随时空变化的规律，遵从麦克斯韦电磁场方程组。tEHHtHEErr0000 自由空间的麦克斯韦方程，为介质的相对介电常数，为相对磁导率，E为电场强度矢量，H为磁场强度矢量。（2.1)kzjyixkyAxAjzAxAizAyAAAAzyxkjiAzAyAxAAAAzyxAxyxzyzzyxzyxzyx)()()(,1.1.电磁场的波动方程（麦克斯韦方程在
9、真空的波动形式）电磁场的波动方程（麦克斯韦方程在真空的波动形式）00,0,BDEtDBHJt 在没有自由电荷、传导电流分布的空在没有自由电荷、传导电流分布的空间（称为自由空间）或线性介质中间（称为自由空间）或线性介质中 0=J0=0，只存在电场和磁场的相互，只存在电场和磁场的相互激发，电磁场运动规律就用下面的麦激发，电磁场运动规律就用下面的麦克斯韦方程形式描述克斯韦方程形式描述:0,;0,BDDEBHtt 3、无源真空中的波动方程；、无源真空中的波动方程；0000()()2(1)2BBEEBtttDEHtttt 真空中真空中 22002/(2)EEEDEE 2222000022(2)(1)0E
10、EEEtt 0,;0,BDDEBHtt 0000()()2(1)2DDHHDtttBHEtttt 同理同理 22002/(2)HHHBHH 222200002222002(2)(1)00HHHHttBorBt 2.2是标准的波动方程，表明了自由空间交变的电场和磁场的运动和变化具有波动形式，形成电磁波，其传播速度为：000011rrrrvv(2)在介质中的波动方程)(0022222222200222002zyxtHHtEErr(2.2)真空中电磁波的速度：001c./103/104/1085.8870120smcmHmF为：，得到真空电磁波速度，和光速相同，再次证明光波就是电磁波。根据折射率的定
11、义：rrvcn迄今关于折射率的深层微观机理和性质的研究均从上式从发。比如2003年美国科学十大新闻：多个研究小组证实，特定介质能使光和其他电磁波以负折射率偏转。这种所谓“左手”性物质有可能用于制造性能更好的透镜。美国的研究小组已经设计制成了具有负折射率的材料。这种材料是由铜质方形裂环振荡器和一条细铜线嵌在玻璃纤维的底板上形成的。铜质方形裂环振荡器（split ring resonator）和铜线分别嵌在底板的两面。（如图所示）。将用这样的材料制成的棱镜与用聚四氟乙烯（Teflon）制成的棱镜对比后发现，经两者折射的波偏离主轴的方向相反。由此证明了这种材料具有负折射率的性质。（3）平面电磁波是自
12、由空间电磁波的一基元成分。）平面电磁波是自由空间电磁波的一基元成分。平面电磁波函数：)cos(),()cos(),(00HErktHtrHrktEtrE满足波动方程2.2002200222002tHHtEEk称为波矢，其方向与等相面的正交，即为波面的法线方向，其大小为：2k（4）光波是横波。）光波是横波。将平面电磁波函数代入E=0和H=0，得到Ek和Hk，即电磁场振荡方向与波矢方向正交，在与波矢正交的横平面中振荡，即自由空间中光波为横波。（5）电场和磁场之间正交和同步。）电场和磁场之间正交和同步。将平面波函数代入：tHE0得：EkH10可知：0000EHEHEH，2-1定态光波与复振幅描述定态
13、光波场：定态光波场：1、空间各点的扰动是同频率的简谐振荡（频率与振源相同）；2、波场中各点扰动的振幅不随时间变化，在空间形成稳定的振幅分布。2-1 定态光波的复振幅描述 1.定态波 波动 物理量扰动在空间的传播。扰动 物理量的取值在某特定值的邻域内的变化。不同的物理量对应不同的波 如声波、水面波、光波 相应的物理量为标量 标量波，如水面波；相应的物理量为矢量 矢量波，如电磁波；相应的物理量为张量 张量波，如引力波。波是物理量的一种时空分布，如果在空间任何一点，物理量都以同样的频率随时间作简谐变化，相应的波称为定态波。冲击波 定态波 标量定态波可用余弦函数描述：U P tA PtP(,)()co
14、s()0P 某一场点。0(P)为 P 点的初相位。特点：振幅稳定，A(P)与 t 无关；频率单一，由扰动源确定。光波(电磁波)是矢量波，一般用电场矢量 E(P,t)描述光波，并称其为光矢量。如果在光波的传播过程中光矢量的方向没有发生显著变化，则可以用标量波描述光的传播。2.定态波的复振幅描述 简谐量可通过复数表示:U P tA PtPU P tA P eitP(,)()cos()(,)()()00采用复数表示，波函数为空间变化部分和时间变化部分之乘积。对于定态波，时间变化部分处处相同，为一公因子。(,)()()()U P tA P eeU P eiPitit0 其中)(0)()(PiePAPU
15、为复振幅。(其表现为简谐扰动的振幅)平面简谐波的复振幅:()cos()U PAeeAtk rik r i 00等相面(波 面)为平面。k:波矢,沿等相面法线方向,在各向同性介质中与光能传播方向一致。k=2/为波长。zrkyxPo 球面简谐波的复振幅:()cos()U rare eartkrikr i1100等相面为球面。zryxPo 相因子特点：平面简谐波:线性相因子 eeik ri k xkyk zxyz()球面简谐波:非线性相因子eeikrikxyz222或(中心在(x0,y0,z0)处)eeikrikx xy yz z()()()0202023.复振幅与光强 光强 I 是光通量密度的平均
16、值：22()()()1()2TTrTIS tE tH tE tnA 在同一介质中 n/2 为常数，所以IA2 一般我们之关心光强的相对分布，所以取IAUUU22*如果存在多种不同折射率的介质，则应加上折射率因子。4.光波的迭加UP t2(,)Q1Q2PUP t1(,)U P t(,)U P tU P tUP tU P tUP t(,)(,)(,)(,)(,)1212 考虑两个点光源 Q1、Q2。Q1、Q2 发出的光在场点 P 发生迭加。当 Q1、Q2 单独存在时场点 P 的光扰动分别为 和 。设 当 Q1、Q2 同时存在时场点 P 的 光扰动(复振幅)为 ，那 么 与 和 之间存在两种可能的关
17、系：UP t2(,)UP t1(,)UP t2(,)U P t(,)UP t1(,)U P t(,)在线性介质中等式成立，即迭加原理成立。在非线性介质中等式不成立，即迭加原理不成立。光波满足 Maxwell 方程组。在线性介质中介电常数与光强无关，Maxwell 方程组为线性方程组，所以迭加原理成立。在非线性介质中，电极化强度是电场强度的非线性函数，Maxwell 方程组为非线性方程组，所以迭加原理不成立。我们只考虑线性介质。非线性光学材料有很多重要的应用，如光学倍频、分频、光孤子通讯、相位共轭元件等。2-2 波前函数1.波前的概念波前原指位于最前面的波面。对于定态波可以狭义的将波前定义为任意
18、一波面，也可以广义的定义为光场内的任意曲面。波前函数：波前上的光场分布。确定波前函数即可确定整个光场。记录了波前函数并使之再现，即可再现整个光场。通过改造波前函数，可以实现光学信息处理。zxyP(,)(,)U x y zU x y复振幅的空间分布波前函数 一旦波前函数确定，通过衍射理论，可得到空间任何一点的复振幅。2-3 平面波与球面波-单色平面波的复数表达式单色平面波是指电场强度E和磁场强度H都以单一频率随时间作正弦变化（简谐振动）而传播的波。在任意方向上传播的平面电磁波的复数表达式为：)exp),(00trkiEtrE 式中，式中，0为初相位，为初相位，K 为矢量为矢量(简称波矢简称波矢)
19、，K 的方向即表示波的方向即表示波的传播方向，的传播方向，k 的大小，表示波在介质中的波数。上式中，指数前的大小，表示波在介质中的波数。上式中，指数前取正或负是无关紧要的，按我们的表示法，指数上的正相位代表取正或负是无关紧要的，按我们的表示法，指数上的正相位代表相位超前，负相位代表相位落后。矢径相位超前，负相位代表相位落后。矢径r 表示空间各点的位置，如表示空间各点的位置，如图所示。图所示。沿空间任意方向传播的平面波沿空间任意方向传播的平面波xyzrkp(x,y,z)E0-E0E0E0-E0E0E0E0-E0-E0波峰波峰波谷波谷kk单色平面波单色平面波单色平面波的复数表达式单色平面波的复数表
20、达式)exp),(00trkiEtrE时空分离时空分离tirEtirkiEtrEexpexpexp),(0其中其中rkiErEexp)(01）平面波）平面波：波前或等相面为平面，且波沿等相面法线即波矢方向传播。在同：波前或等相面为平面，且波沿等相面法线即波矢方向传播。在同一时刻，相位一时刻，相位kx=常数常数RS，满足此关系的，满足此关系的x构成等相面，即与构成等相面，即与k垂直的平面垂直的平面S。0000()()(,)()(,)()i tik xi ti k xti tik xi ti k xtE x tE x eE eeE eB x tB x eB eeB e 亥姆霍兹方程解出的亥姆霍兹方
21、程解出的E和和B有各种形式有各种形式，其中，其中最简最简单、最基本的形式为平面波解单、最基本的形式为平面波解。这里所说的平面。这里所说的平面波实质是波实质是平面单色波。研究平面波解的意义平面单色波。研究平面波解的意义：简单、直观、物理意义明显；简单、直观、物理意义明显；一般形式的波都一般形式的波都可视为不同频率平面波的线性叠加。可视为不同频率平面波的线性叠加。远离辐射远离辐射天线区域的电磁波都可看作平面波。天线区域的电磁波都可看作平面波。ksRxSo*平面电磁波主要性质平面电磁波主要性质2)平面波的特性平面波的特性a.波长与周期：波长波长与周期：波长相位差为相位差为2 的两个等相面间的距离的两
22、个等相面间的距离波长、波速、频率间的关系：波长、波速、频率间的关系：b.横波特性横波特性(TEM波）：由单色波的麦克斯韦方程波）：由单色波的麦克斯韦方程 E=0、B=0()22/ssk RRkk 1212,=,kTTf v vv v00=00000=000=()()00=()()00ik xik xik xik xik xik xik xik xEE eEeeEiek Ek EBB eBeeBiek Bk B （）（）表示电场、磁场表示电场、磁场波动均是横波，波动均是横波，E、B可在垂直于可在垂直于k的任意方向上的任意方向上振荡，称为横电振荡，称为横电磁波。磁波。c.B与与E的关系的关系()0
23、|i k xtiikBEE eEkEBE v vEkBB与与E同相位；同相位；E、B、k构构成右手螺旋关系；成右手螺旋关系；E/B为为波速波速概括平面电磁波的特性如下：概括平面电磁波的特性如下：1.电磁波为横波，电磁波为横波，E和和B都与传播方向垂直；都与传播方向垂直；2.E和和B互相垂直，互相垂直，E B沿波矢沿波矢k方向；方向；3.E和和B同相，振幅比为同相，振幅比为v式中式中 r和和 r分别代表介质的相对电容率和相对磁导率，由于它们分别代表介质的相对电容率和相对磁导率，由于它们是频率是频率 的函数，因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速的函数，因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速度
24、，这就是介质的色散现象。度，这就是介质的色散现象。0011rrrrc v v平面波的空间频率平面波的空间频率Ox0kzCxADXBcos/Xcos/Ycos/Z定义：定义：/cosxf/cosyf/coszf1222222zyxfff空间频率的物理意义 n传播矢量 位于 平面的平面波在 平面上的空间频率。kzx,0yx,空间频率的两种意义n时间倒数：频率；长度倒数：空间频率，即在单位长度内周期函数变化的周数（单位：周/mm，线对/mm，L/mm，等）n信息光学中有两种空间频率，一种是空间强度分布，单位为：周/mm，线对/mm，L/mm，等，对二维图象进行频谱分析得到的图象频谱对应的空间频率；n
25、另一种是平面波对应的空间频率，因为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为：光波数/mm）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。空间频率 “高频信号高频信号”沿沿 ,角较小的方向传播的分量角较小的方向传播的分量 “低频信号低频信号”沿沿 ,角较大的方向传播的分角较大的方向传播的分量量 “零频信号零频信号”沿沿 z 轴方向传播的分量轴方向传播的分量 =900分析分析平面电磁波在自由平面电磁波在自由空间中的传播空间中的传播coscoscosexpexp
26、,zyxjkarjkazyxU设波矢量设波矢量k k表示光波的传播方向，其大小为表示光波的传播方向，其大小为：2k方向余弦为：方向余弦为：coscos 在任意时刻，与波矢量相垂直的平面上振幅和位相在任意时刻，与波矢量相垂直的平面上振幅和位相为常数的光波称为平面波。为常数的光波称为平面波。若空间某点若空间某点P(x,y,z)的位置的位置矢量矢量r，则平面波传播到，则平面波传播到P点的位相为点的位相为k r,该点的复振幅该点的复振幅一般表达式为：一般表达式为：cos1coscoscos22222coscos1coscoscosexpcoscos1exp,22yxjkjkzazyxU由于由于故故物理
27、含义物理含义平面电磁波在自由平面电磁波在自由空间中的传播空间中的传播tirkiEEexpexp0单色平面波复振幅的复数表达式单色平面波复振幅的复数表达式n令初相位令初相位00，上式可写为：，上式可写为：8.3)exp(00ikzeEEikzEEzyxzyxzzyyxxzeyexereeekekekekk且)coscos(coscoscoscosexpexp00zyxikEzkykxkiEEzyx传播方向与传播方向与z方向一致时方向一致时1cos0cos0cos单色平面波复振幅的复数表达式单色平面波复振幅的复数表达式rkiEEexp08.3)exp(00ikzeEEikzEEcoscoscose
28、xpexp00zyxikEzkykxkiEEzyx平面电磁波场中能量的传播平面电磁波场中能量的传播 1 能流密度坡印廷(Poynting)矢量2 平均能流密度光强度 n 电磁场是一种物质，它具有能量。在一定区域内电磁场发生变化时，其能量也随着变化。能量按一定方式分布于场内，由于是运动着的，场能量也随着场的运动而在空间传播。描述电磁场能量的两个物理量：能量密度w表示场内单位体积的能量，是空间位置x和时间t的函数，w=w(x,t)；能流密度S描述能量在场内的传播，S在数值上等于单位时间内垂直流过单位横截面的能量，其方向代表能量传播的方向。光强是和电磁场的能流有关的物理量。电磁波的能量守恒光强是和电
29、磁场的能流有关的物理量。电磁波的能量守恒表现为单位时间内流出（入）闭合体积的电磁波能量等于单位表现为单位时间内流出（入）闭合体积的电磁波能量等于单位时间内闭合体积内的能量减少（增多）。时间内闭合体积内的能量减少（增多）。表示场内单位体积的能量，是空间位置表示场内单位体积的能量，是空间位置x和时间和时间t的函数，的函数，w=w(x,t)；电场能量与磁场能量体密度分别为：电场能量与磁场能量体密度分别为：202121EEDwre202121HHBwrm电磁场能量体密度为：电磁场能量体密度为：222121HEwwwme 它表示电磁场的能量的传播，即垂直通过单位它表示电磁场的能量的传播，即垂直通过单位面
30、积的功率。其大小代表电磁波波强，这里指光强面积的功率。其大小代表电磁波波强，这里指光强(intensity of light)。其方向为光能量传播的方向。其方向为光能量传播的方向。S辐射强度（能流密度）单位时间内，通过垂辐射强度（能流密度）单位时间内，通过垂直于波的传播方向的单位面积的辐射能。直于波的传播方向的单位面积的辐射能。考虑到：考虑到：=EHSw=v=E122H12+()12=v1，EH=21EHEH()+=21EHEH()+222121HEwwwmeEkEiB1S=EH+SEHEH=在在各向同性介质各向同性介质中坡印廷矢量中坡印廷矢量S的方向与的方向与光波矢量光波矢量 k 的方向（相
31、位传播方向）一致。的方向（相位传播方向）一致。但在但在各向异性介质各向异性介质中，二者的方向不同。中，二者的方向不同。S=EH 光波属高频电磁波，其频率为V1015Hz数量级，即其振动的时间周期为T=10-15s数量级。人眼的响应能力最小可达t10-1s，感光胶片t10-8s，而目前最好的光电探测器的时间响应能力也跟不上。我们需要了解的是同一波场中不同空间位置的能流的强弱，则不必考虑瞬时能流值，而只需求能流对时间的平均值以突出其空间分布。光强度：即接收器观测到光波在一个比振动周期大得多的观测时间内的平均能流密度。坡印廷矢量的大小，即光在介质中传播的（瞬时光强）为坡印廷矢量的大小，即光在介质中传
32、播的（瞬时光强）为2020HvEvwvEHSIrr若用复指数形式表示：若用复指数形式表示：EEtirEtiEvtirEtirEvEvSrrr2)2exp()()2exp(41)exp()()exp()(212202020若对光强取平均值若对光强取平均值EEEEvSIrrr0002121平均能流密度:20EIEEEEvSIrrr0002121 光强与光场的平方成正比光强与光场的平方成正比,在同种介质中在同种介质中常简单地表述光强为常简单地表述光强为20EEEI单色球面波单色球面波n 平面波只是亥姆霍兹方程是一种最简单的解，对于二阶线性偏微分方程式，可以分别求出E 和 H 的多种形式的解。另一种最
33、简单的解或最简单的波是球面波，即在以波源为中心的球面上有相同的场强，而且场强变化沿径向传播的波。这种波的场强分布只与离波源的距离r 和时间t 有关，而与传播方向无关。因此，当以标量波考虑时，亥姆霍兹方程的球面波解可以写为如下形式：E=E(r)简谐波是波动方程的解，有两类重要的基本解，即平面波简谐波是波动方程的解，有两类重要的基本解，即平面波和球面波。和球面波。点光源发出的光波可认为是球面波。点光源发出的光波可认为是球面波。22221tEcE可得可得)(1)(22222rEtcrEr 球面波采用球面坐标系。把球心取作坐标系的原点，则球面波采用球面坐标系。把球心取作坐标系的原点，则 k 与与 r
34、的方向永远相同，的方向永远相同，E的大小只与半径的大小只与半径 r及时间及时间 t 有关，有关，所以可写成所以可写成 E=E（r，t），），把它代入把它代入单色球面波单色球面波单色球面波单色球面波式即为单色球面波的表达式，因为时间因子是可分式即为单色球面波的表达式，因为时间因子是可分离变量，且在讨论空间某一点的光振动时，时间因离变量，且在讨论空间某一点的光振动时，时间因子总是相同的，所以常常略去不写。讨论中经常用子总是相同的，所以常常略去不写。讨论中经常用的是单色球面波的复振幅表达式的是单色球面波的复振幅表达式(3.11)式。式。式中，式中，E0为一常数，表示在单位半径为一常数，表示在单位半径
35、(r=1)的波面上的波面上的振幅。的振幅。E0/r表示球面波的振幅，它与传播表示球面波的振幅，它与传播r 成反成反比。从能量守恒原理不难理解这一结果。比。从能量守恒原理不难理解这一结果。)(exp),(00tkrirEtrEikrerEtrE0),(波波 峰峰波波 谷谷kk单色球面波单色球面波球面波在自由空间中的传播球面波在自由空间中的传播球面波在自由空间中的传播球面波在自由空间中的传播212020220201 zyyzxxzzyyxxr21202021202011expexp,zyyzxxzzyyzxxjkzAjkrrAzyxE球面波在自由空间中的传播球面波在自由空间中的传播00,yyzxx
36、z202021211zyyzxxzr212020220201 zyyzxxzzyyxxr球面波在自由空间中的传播球面波在自由空间中的传播条件条件20202expexp,yyxxzkjzjkzAzyxE21202021202011expexp,zyyzxxzzyyzxxjkzAjkrrAzyxE球面波在自由空间中的传播球面波在自由空间中的传播位相相同的点的轨迹，即等位相线方程为同心圆族位相相同的点的轨迹，即等位相线方程为同心圆族 Cyyxx2020(,)()U x y zAei k xk yk zxyzky=0,OXY 面 z=0(,)sinUx yAeAeik xikxx1例 题例 1 试写出
37、波前函数(,)Ux y1xkzok OY(,)(,)*sinsin()Ux yUx yAeAeikxikx21例 2 的共轭波是什么波？(,)Ux y1(,)Ux y1注意：光从左向右传播xzok(,)Ux y2k OY(,)exp()Ux yareaxyRikxyRikrz3101222222例 3 试写出轴上点源 Q(0,0,-R)发出的球面波的波前函数(,)?Ux y3zxQ-R(+i)表明是发散球面波。例 4 求 的共轭波(,)Ux y3(,)(,)*Ux yUx y43(,)exp()Ux yaxyRikxyR41222222注 意：光从左向右传播RxQQ-R(,)Ux y4(,)U
38、x y3(i)表明是汇聚球面波。3.球面波向平面波过渡 在一定条件下可以用平面近似描述球面，用平面波近似描述球面波。首先考虑轴上点光源发出的球面波。设波长为。(,)U x yarerxyzikr1222k 2 轴上点源xyoxyozQPzr 源面 接收面 设 ,则z22r x yzxyzxyz(,)()2222 2328 考虑傍轴条件 ,此时z22araz11即振幅的变化可以忽略 平面波的特征。傍轴条件是球面波向平面波过渡的振幅条件。此时：(,)exp()U x yareazeizikrikz112 再考虑远场条件 ,此时z2exp(),exp()izeeizeikrikzikz 221即相位
39、随(x,y)的变化可以忽略 平面波的特征。远场条件是球面波向平面波过渡的相位条件。此时：(,)U x yareareikrikz11如傍轴条件和远场条件同时满足,则球面波可用正入射平面波取代：(,)U x yareazeikrikz11远场条件与傍轴条件的比较 光波：mzzzcmzzzmmm100501501:50,1,5.0222222所以远场条件包含傍轴条件。声波：cmzzzcmzzzcmm505070501:50,10,1222222所以傍轴条件包含远场条件。考虑轴外点光源 Q 发出的球面波。xyoxyozQPzr 源面 接收面 r0r0 i)设源点 Q 和场点 P 均满足傍轴条件。于是rzxxyyzxyzxyzxxyyz222222222()()(,)exp()U x yareazeikzzzikrikz112222 ii)设源点 Q 还满足远场条件。于是(,)exp()exp()U x yazeikzzzazeikxxyyzikzikr1221220 相位是(x,y)的线性函数。iii)设场点 P 还满足远场条件。于是(,)exp()exp()exp()U x yazeikzzzazikrikxxyyzikz1221022 球面波化为斜入射平面波。
