1、1第第9章章 数字信号处理中的有限字长效应数字信号处理中的有限字长效应n9.1 引言引言 n9.2 A/D变换的量化效应变换的量化效应n9.4 数字滤波器系数量化效应数字滤波器系数量化效应n9.5 数字滤波器运算中的有限字长效应数字滤波器运算中的有限字长效应29.1 引言引言n 前面所讨论的数字信号与系统都是无限精度的前面所讨论的数字信号与系统都是无限精度的,实际上实际上无论是用专用硬件还是用计算机软件来实现无论是用专用硬件还是用计算机软件来实现,其数字信号处其数字信号处理系统的有关参数以及运算过程中的结果都是存储在有限理系统的有关参数以及运算过程中的结果都是存储在有限字长的存储单元中的字长的
2、存储单元中的.如果处理的是模拟信号如果处理的是模拟信号,模拟量经过模拟量经过抽样及模数变换后抽样及模数变换后,也变成有限字长的数字信号也变成有限字长的数字信号.39.1 引言引言n 数字系统中因有限字长的影响带来的误差来源数字系统中因有限字长的影响带来的误差来源 (1)(1)A/DA/D变换器中的量化误差变换器中的量化误差:把模拟输入信号变为一组离散把模拟输入信号变为一组离散 电平时产生的量化效应电平时产生的量化效应.A/D.A/D变换包括取样和量化两个过变换包括取样和量化两个过 程程,采样就是指利用采样就是指利用“采样器采样器”从连续信号中从连续信号中“抽取抽取”信信号的离散序列样值，即称之
3、为号的离散序列样值，即称之为“采样采样”信号信号,采样信号在时间采样信号在时间上离散化了，但它还不是数字信号，还须经过量化编码才能转上离散化了，但它还不是数字信号，还须经过量化编码才能转变为数字信号。即要将模拟信号抽样和量化，使之转换成一定变为数字信号。即要将模拟信号抽样和量化，使之转换成一定字长的数字序列值信号。字长的数字序列值信号。4n（2 2）系统中滤波器系数的量化处理，即用有限位二进制数来系统中滤波器系数的量化处理，即用有限位二进制数来表示，则必然会引入量化误差。表示，则必然会引入量化误差。n 对于某些结构类型的滤波器（例如，具有反馈支路的递归对于某些结构类型的滤波器（例如，具有反馈支
4、路的递归滤波器结构）来说，其零点和极点的位置对于滤波器系数的变滤波器结构）来说，其零点和极点的位置对于滤波器系数的变化特别敏感，因而滤波器系数由于量化误差引起的微小改变，化特别敏感，因而滤波器系数由于量化误差引起的微小改变，都有可能对滤波器的频率响应特性产生很大的影响，尤其是在都有可能对滤波器的频率响应特性产生很大的影响，尤其是在单位圆内且非常靠近单位圆的极点，一旦由于滤波器系数的量单位圆内且非常靠近单位圆的极点，一旦由于滤波器系数的量化误差，使这些极点跑到单位圆上或圆外时，滤波器就失去了化误差，使这些极点跑到单位圆上或圆外时，滤波器就失去了其原有的稳定性。其原有的稳定性。9.1 9.1 引言
5、引言5n数字序列值用有限长的二进制数表示数字序列值用有限长的二进制数表示 例如序列值例如序列值(0.729156)(0.729156)1010=(0.101110101010101=(0.101110101010101)2 2，若限制用八位二进制数来表示，则为（若限制用八位二进制数来表示，则为（0.101110100.10111010）2 2，而（，而（0.101110100.10111010）2 2=（0.72656250.7265625）1010，那么，那么，引起的误差为：引起的误差为：0.729156-0.7265625=0.00259350.729156-0.7265625=0.002
6、5935，该误差称为，该误差称为量化误差。量化误差。这是在二进制数的存储方面。这是在二进制数的存储方面。9.1 9.1 引言引言69.1 引言引言 (3)(3)运算中的量化误差运算中的量化误差:为限制位数而进行尾数处理以及为防止为限制位数而进行尾数处理以及为防止溢出而压缩信号电平的有限字长效应。在定点制的乘法以及浮点制的溢出而压缩信号电平的有限字长效应。在定点制的乘法以及浮点制的加法和乘法在运算结束后都会使字长增加，因而都需要再对尾数进行加法和乘法在运算结束后都会使字长增加，因而都需要再对尾数进行处理，比如采用处理，比如采用“截尾截尾”或或“舍入舍入”的处理方法的处理方法,引入截尾误差或舍引入
7、截尾误差或舍入误差。其误差取决于所用的二进制的位数入误差。其误差取决于所用的二进制的位数b b、数的运算方式（定点、数的运算方式（定点制或浮点制）、负数的表示法以及对尾数的处理方法。制或浮点制）、负数的表示法以及对尾数的处理方法。7n有限字长效应造成的误差，与以下几个问题有关：有限字长效应造成的误差，与以下几个问题有关：n量化方式是截尾还是舍入；量化方式是截尾还是舍入；n负数用二进制数的原码表示，还是用反码或补码表示；负数用二进制数的原码表示，还是用反码或补码表示；n算术运算是用定点运算还是用浮点运算；算术运算是用定点运算还是用浮点运算；n采用什么类型的系统结构采用什么类型的系统结构 (例如，
8、对于数字滤波器来说，是采例如，对于数字滤波器来说，是采用递归结构还是非递归结构，是采用高阶直接实现的结构还是采用递归结构还是非递归结构，是采用高阶直接实现的结构还是采用由低阶节组成的级联结构或并联结构用由低阶节组成的级联结构或并联结构)。9.1 9.1 引言引言8n研究研究有限字长效应目的有限字长效应目的：（1 1）若数字信号处理是在通用计算机上）若数字信号处理是在通用计算机上,字长已经固定，进字长已经固定，进 行误差分析，可知结果的可信度，否则若可信度差，要行误差分析，可知结果的可信度，否则若可信度差，要 采取改进措施。采取改进措施。（2 2）用专用）用专用DSPDSP芯片实现数字信号处理时
9、，一般采用定点实现芯片实现数字信号处理时，一般采用定点实现,涉及到硬件采用字长问题。涉及到硬件采用字长问题。本节主要讨论定点制情况下的有限字长效应本节主要讨论定点制情况下的有限字长效应.9.1 引言引言9n数的表示方法有数的表示方法有定点制定点制和和浮点制浮点制。n定点制指的是数码中小数点的位置固定不变，在定点制中定点制指的是数码中小数点的位置固定不变，在定点制中,小数点右边各位小数点右边各位表示数的分数部分表示数的分数部分,左边各位表示数的整数部分左边各位表示数的整数部分.n定点制加法运算不会增加字长定点制加法运算不会增加字长,但若没有选择比例因子但若没有选择比例因子,会出现溢出问题会出现溢
10、出问题.动动态范围小态范围小.n定点制乘法运算不会产生溢出定点制乘法运算不会产生溢出,但尾数要增加一倍但尾数要增加一倍.9.2 9.2 二进制数的表示及其对量化误差的影响二进制数的表示及其对量化误差的影响101112131415n截尾法截尾法是将尾数的第是将尾数的第b b+1+1位以及后面的二进制码全部略去。位以及后面的二进制码全部略去。n舍入法舍入法是按最接近的值取是按最接近的值取b b位值，即将第位值，即将第b b+1+1位按逢位按逢1 1进位，进位，逢逢0 0不进位，然后略去后面的不进位，然后略去后面的b b+1+1位。位。n显然这两种处理方法所引起的误差是不同的显然这两种处理方法所引起
11、的误差是不同的。16n对于正数对于正数x，三种码的表示法是相同的，量化影响也是相同的。一个三种码的表示法是相同的，量化影响也是相同的。一个b1位正数位正数x的十进制数值为：的十进制数值为：ibiiax211ibiiTaxQ210211ibbiiTTaxxQe0)22(2111maxbbibbiiTaen用用QQ 表示量化处理，加下标表示量化处理，加下标T T后，表示截尾量化处理，有：后，表示截尾量化处理，有：n若以若以e eT T表示截尾误差，则有：表示截尾误差，则有：n当被弃位为当被弃位为1 1时，最大截尾误差：时，最大截尾误差：17n令令 ，表示最小码位所表示的数值，称为，表示最小码位所表
12、示的数值，称为“量化宽度量化宽度”或或“量量化步阶化步阶”。因而定点正数的截尾误差是负数，满足。因而定点正数的截尾误差是负数，满足b20,0 xeT0,0 xeT0,0 xeTn对于负数，截尾误差与数的表示法有关。对于负数，截尾误差与数的表示法有关。定点制原码负数的截尾误差：定点制原码负数的截尾误差：定点制补码负数的截尾误差：定点制补码负数的截尾误差：0,0 xeT 定点制反码负数的截尾误差：定点制反码负数的截尾误差：18n（2 2）定点制舍入：舍入是按最接近的值取）定点制舍入：舍入是按最接近的值取b b位码，舍入后各数值按位码，舍入后各数值按 的间距被量化，即两个数间最小非零差是的间距被量化
13、，即两个数间最小非零差是，舍入是选择靠得，舍入是选择靠得 最近的量化层标准值为舍入后的值，不论是正数、负数，原码、最近的量化层标准值为舍入后的值，不论是正数、负数，原码、补码、反码，误差总是在补码、反码，误差总是在 之间。之间。Q QR R 表示舍入处理，表示舍入处理，e eR R表示舍入误差，则：表示舍入误差，则：b22/xxQeRR2/2/Re定点制舍入误差为：定点制舍入误差为：19 定点制运算中的定点制运算中的截尾误差截尾误差和和舍入误差舍入误差。（a a）补码）补码 （b b）原码、反码）原码、反码 截尾处理的量化特性（截尾处理的量化特性（q q=2 2-b b）舍入处理的量化特性舍入
14、处理的量化特性一般来说舍入误差的影响要小，所以应用比较多。一般来说舍入误差的影响要小，所以应用比较多。20n2浮点制运算中的截尾误差和舍入误差。浮点制运算中的截尾误差和舍入误差。n 表表9-2 浮定点运算中的相对误差浮定点运算中的相对误差21n截尾和舍入都产生了非线性关系。为了研究量化误差对截尾和舍入都产生了非线性关系。为了研究量化误差对数字信号处理系统精度的影响，必须了解舍入和截尾误数字信号处理系统精度的影响，必须了解舍入和截尾误差的特性，一般最方便的方法是把这些量化误差看成随差的特性，一般最方便的方法是把这些量化误差看成随机变量，对每种误差求出概率密度函数。假设量化误差机变量，对每种误差求
15、出概率密度函数。假设量化误差在整个可能出现的范围内是等概率的，也就是均匀分布在整个可能出现的范围内是等概率的，也就是均匀分布的。的。229.3 A/D9.3 A/D变换器中的量化效应变换器中的量化效应 A/DA/D（模（模/数）变换器是将模拟信号转换成数字信号的作用，即将数）变换器是将模拟信号转换成数字信号的作用，即将输入的模拟信号输入的模拟信号xa a(t t)转换为转换为b b位二进制数字信号位二进制数字信号,b b 的数值可以是的数值可以是8 8，1212，2020等。因此存在量化误差。等。因此存在量化误差。一个一个A/DA/D变换器分为两部分：抽样器和量化器。变换器分为两部分：抽样器和
16、量化器。抽样器产生序列抽样器产生序列x(n)=)=xa a(nT),),无限精度，量化器对每个抽样序列无限精度，量化器对每个抽样序列x(n)进进行截尾或舍入的量化处理，行截尾或舍入的量化处理，实际上这两部分是同时，实际上这两部分是同时完成的。完成的。)()(nxQnx 239.3 A/D9.3 A/D变换器中的量化效应变换器中的量化效应 分析分析A/DA/D（模（模/数）变换器量化效应的目的在于选择合适的数）变换器量化效应的目的在于选择合适的字长，以满足信噪比指标。为了使抽样后不产生混叠失真，模拟字长，以满足信噪比指标。为了使抽样后不产生混叠失真，模拟信号必须是限带的，信号必须是限带的，A/D
17、A/D变换器前一般都加一个前置滤波器。此变换器前一般都加一个前置滤波器。此外由于外由于A/DA/D变换器总是定点制的，必须使信号不超过变换器总是定点制的，必须使信号不超过A/DA/D变换的动变换的动态范围，为此模拟输入信号必须乘以一个比例因子态范围，为此模拟输入信号必须乘以一个比例因子,满足满足A/DA/D变换变换器动态范围的要求。器动态范围的要求。)(|)()(nTAxnTttAxnxaa 249.3 A/D9.3 A/D变换器中的量化效应变换器中的量化效应 设量化器输出抽样值表示成设量化器输出抽样值表示成(b+1)(b+1)位的补码定点小数，位的补码定点小数，二进制小数点后为二进制小数点后
18、为b b位输入到量化器的精确抽样值位输入到量化器的精确抽样值x(nx(n)要要舍入到最靠近的量化层标准值，以得到量化抽样值，舍入到最靠近的量化层标准值，以得到量化抽样值，量化器对补码定点制输入信号的动态范围为：量化器对补码定点制输入信号的动态范围为：)(nx)221()()221(bbnx)()()()()(nxnxnxnxQne量化误差量化误差259.3 A/D9.3 A/D变换器中的量化效应变换器中的量化效应 变换器的量化特性主要取决于所采用的数的表变换器的量化特性主要取决于所采用的数的表示方式和量化方式，对于补码舍入处理，可知：示方式和量化方式，对于补码舍入处理，可知：bRne2,2)(
19、2 对于补码截尾处理，变换器的量化误差为：对于补码截尾处理，变换器的量化误差为：0)(neT26一一 A/DA/D变换量化误差的统计分析变换量化误差的统计分析 对量化误差对量化误差e(ne(n)适合采用统计分析方法适合采用统计分析方法 (1)e(n)(1)e(n)是平稳随机序列；是平稳随机序列；(2)e(n)(2)e(n)与抽样信号与抽样信号x(nx(n)是不相关的；是不相关的；(3)e(n)(3)e(n)序列本身的任意两个值之间是不相关的，序列本身的任意两个值之间是不相关的，e(n)是白是白噪噪 声序列；声序列；(4)e(n)(4)e(n)在其误差范围内为均匀等概分布的。在其误差范围内为均匀
20、等概分布的。27nA/DA/D变换器的统计模型如下图所示。图中的理想变换器的统计模型如下图所示。图中的理想A/DA/D变换器变换器没有量化误差，实际中的量化误差是在输出端叠加一个等没有量化误差，实际中的量化误差是在输出端叠加一个等效的噪声源效的噪声源e e(n n)。)()()(nenxnx一一 A/DA/D变换量化误差的统计分析变换量化误差的统计分析28 2/2/0)()(deeepneEme 其它02)(21)(nenep 对于定点舍入情况，误差序列对于定点舍入情况，误差序列e(ne(n)的概率密度函数的概率密度函数122121)()(222/2/22/2/222beeedeedeepme
21、mneE一一 A/DA/D变换量化误差的统计分析变换量化误差的统计分析29 量量化噪声中含有直流分,02221)(0beedeneEm 其它00)(1)(nenep 对于定点补码截尾情况，误差序列对于定点补码截尾情况，误差序列e(ne(n)的概率密度函数的概率密度函数1221212)(220222beedeemneE 字长越长，量化间距越小，量化噪声的方差越小。字长越长，量化间距越小，量化噪声的方差越小。一一 A/DA/D变换量化误差的统计分析变换量化误差的统计分析30n 由于在抽样模拟信号的数字处理中，把量化噪声看成相加由于在抽样模拟信号的数字处理中，把量化噪声看成相加性噪声序列，量化过程看
22、成是无限精度的信号与量化噪声的叠性噪声序列，量化过程看成是无限精度的信号与量化噪声的叠加，因而加，因而信噪比信噪比是一个衡量量化效应的重要指标。是一个衡量量化效应的重要指标。一一 A/DA/D变换量化误差的统计分析变换量化误差的统计分析31 2102210log1079.1002.6log10 xexbNS 对于定点舍入情况，信噪比：对于定点舍入情况，信噪比：22222221212/2xbbxex 表示成分贝数为：表示成分贝数为：（1 1）A/DA/D变换器输出的信噪比与变换器输出的信噪比与A/DA/D变换器的字长有关；变换器的字长有关；（2 2）与输入信号的平均功率有关。）与输入信号的平均功
23、率有关。一一 A/D变换量化误差的统计分析变换量化误差的统计分析32n结论为结论为：（：（1 1）A/DA/D变换器量化字长每增加变换器量化字长每增加1 1位，输出信噪比约可位，输出信噪比约可以提高以提高6dB6dB。但是。但是b b受到输入信号的信噪比的限制；（受到输入信号的信噪比的限制；（2 2）输入信）输入信号越大则输出信噪比越高。但一般号越大则输出信噪比越高。但一般A/DA/D变换器的输入都有一定的变换器的输入都有一定的动态范围限定，否则过大的动态范围，会发生限幅失真。实际动态范围限定，否则过大的动态范围，会发生限幅失真。实际应用中线性应用中线性A/DA/D一般要求一般要求1212位以
24、上满足通信要求，非线性位以上满足通信要求，非线性A/DA/D一一般要求般要求8 8位以上满足通信要求。位以上满足通信要求。2102210log1079.1002.6log10 xexbNS一一 A/DA/D变换量化误差的统计分析变换量化误差的统计分析33e e(n)的统计特性的统计特性 )(25.16)243(log10)161(log10)(log1021021022210dBbANSbeex 当输入信号超过当输入信号超过A/DA/D变换器的动态范围时，必须压缩输入信号幅变换器的动态范围时，必须压缩输入信号幅度，度，Ax(n),0A1,Ax(n),0A1,然后对其量化。此时的信噪比：然后对其
25、量化。此时的信噪比：提高信噪比的办法，一是增大输入信号，但这受到提高信噪比的办法，一是增大输入信号，但这受到A/DA/D变换器动变换器动态范围的限制；二是增加字长态范围的限制；二是增加字长b b，但受到输入信号，但受到输入信号xa(txa(t)的信噪比的信噪比的限制。的限制。34 二、白噪声通过线性系统二、白噪声通过线性系统 )()()(nenxnx 量化序列量化序列 通过线性系统，通过线性系统，假定系统是理想的，线性移不变的。系统实现时带来的误差以假定系统是理想的，线性移不变的。系统实现时带来的误差以 及运算带来的及运算带来的 误差暂都不考虑，把他们看成是独立于量化噪声误差暂都不考虑，把他们
26、看成是独立于量化噪声而引起的误差。而引起的误差。0)()()(*)()(mmnxmhnhnxny00)()()()()()()()()()()()()(mmnfnymnemhmnxmhnhnenhnxnhnxny0)()()(*)()()()(mmnemhnhnenynynf35 二、白噪声通过线性系统二、白噪声通过线性系统 h(n)或H(z)(nx)()()(nfnyny)(ne)(nx 对于补码截尾情况，噪声对于补码截尾情况，噪声e(ne(n)造成的输出噪声造成的输出噪声f(nf(n)均值均值)()()()()()()(000jememfeHmmhmmneEmhnhneEnfEmdeHnf
27、Ejef2222|)(|2)(这些分析对于白噪声通过线性系统都是合适的。这些分析对于白噪声通过线性系统都是合适的。36 0)()()()()()(00memfmhmmneEmhnhneEnfEm 对于定点补码，舍入情况，噪声对于定点补码，舍入情况，噪声e(ne(n)造成的输出噪声造成的输出噪声f(nf(n)均值均值deHmhlmlhmhlnemneElhmhlnelhmnemhEnfEjememelmlmlf22022020000022|)(|2)()()()()()()()()()()()()(二、白噪声通过线性系统二、白噪声通过线性系统帕塞瓦定理帕塞瓦定理37 )()(1)(10zAzBz
28、azbzHNkkkMkkk 理想数字滤波器的系统函数为：理想数字滤波器的系统函数为：9.4 9.4 数字滤波器系数量化效应数字滤波器系数量化效应前面讨论中，在设计理想数字滤波器时，各滤波器系数前面讨论中，在设计理想数字滤波器时，各滤波器系数bk，ak都是无限精度的。但实际实现系统函数时，滤波器系数都是都是无限精度的。但实际实现系统函数时，滤波器系数都是被量化了的，所有系数只能用有限字长的二进制数来表示。被量化了的，所有系数只能用有限字长的二进制数来表示。38n系数的量化误差系数的量化误差，在不同程度上使滤波器的，在不同程度上使滤波器的零点和极点零点和极点偏离设偏离设计中预定的位置，从而影响到滤
29、波器的频率特性偏离设计的要计中预定的位置，从而影响到滤波器的频率特性偏离设计的要求，在量化误差严重时，如果求，在量化误差严重时，如果z z平面单位圆内极点偏移到单位圆平面单位圆内极点偏移到单位圆外，使滤波器性能不稳定而无法使用。外，使滤波器性能不稳定而无法使用。n系数量化效应对滤波器性能的影响与寄存器的字长有直接的关系数量化效应对滤波器性能的影响与寄存器的字长有直接的关系，并且和滤波器结构形式也同样密切相关。选择合适的系统系，并且和滤波器结构形式也同样密切相关。选择合适的系统结构，可以减小系数量化带来的影响，帮助我们选择合适的字结构，可以减小系数量化带来的影响，帮助我们选择合适的字长，为滤波器
30、的工程实现提供依据，从而设计出符合频率响应长，为滤波器的工程实现提供依据，从而设计出符合频率响应指标要求的系统。指标要求的系统。9.4 9.4 数字滤波器系数量化效应数字滤波器系数量化效应39n1 1、系统极点（零点）位置对系数量化的灵敏度、系统极点（零点）位置对系数量化的灵敏度n系数量化后，滤波器的特性与所要求的频率响应不同，表现在系数量化后，滤波器的特性与所要求的频率响应不同，表现在极点、零点离开了它们应有的位置，所以一个网络结构对系数极点、零点离开了它们应有的位置，所以一个网络结构对系数量化的灵敏度是用系数量化引起的极点、零点的位置误差来衡量化的灵敏度是用系数量化引起的极点、零点的位置误
31、差来衡量的。不同形式的系统结构，在相同的系数量的。不同形式的系统结构，在相同的系数“量化步距量化步距”情况情况下，其量化灵敏度是不同的，这是比较各种结构形式的重要标下，其量化灵敏度是不同的，这是比较各种结构形式的重要标准。准。一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响40n1 1、系统极点（零点）位置对系数量化的灵敏度、系统极点（零点）位置对系数量化的灵敏度n极点位置灵敏度是指每个极点位置对各系数偏差的敏感程度。直接影响到系统的稳极点位置灵敏度是指每个极点位置对各系数偏差的敏感程度。直接影响到系统的稳定性。定性。nFIRFIR滤波器仅在滤波器仅在Z=0Z=0处
32、有高阶极点，没有其他极点，因而系数量化误差将主要影响零处有高阶极点，没有其他极点，因而系数量化误差将主要影响零点的位置，不会影响滤波器的稳定性。但对于点的位置，不会影响滤波器的稳定性。但对于IIRIIR滤波器，一般存在着许多极点，情滤波器，一般存在着许多极点，情况则不同，所以可以用系数量化引起极点、零点的位置误差来衡量一个网络结构对况则不同，所以可以用系数量化引起极点、零点的位置误差来衡量一个网络结构对系数量化灵敏度的影响。不同形式的系统结构，在相同的系数系数量化灵敏度的影响。不同形式的系统结构，在相同的系数“量化步距量化步距”情况下，情况下，其量化灵敏度是不同的。其量化灵敏度是不同的。一、系
33、数量化对滤波器零、极点位置的影响一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响41)()()(zAzBzazbzHNkkkMkkk101（9-2）一个无限精度的一个无限精度的N N阶直接型结构的阶直接型结构的IIRIIR数字滤波器的系统函数，该滤波器的极点数字滤波器的系统函数，该滤波器的极点都在单位圆内聚集在都在单位圆内聚集在z z=1=1附近。系数附近。系数ak和和bk是系统直接结构所求出的无限精度是系统直接结构所求出的无限精度的系数，量化造成的系数误差为的系数，量化造成的系数误差为ak和和bk，量化后的系数用，量化后的系数用 和和 表示，表示，即即ka kbkkkaaakkkbbb一、系数量化对滤
34、波器零、极点位置的影响一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响42n则实际的系统函数可表示为则实际的系统函数可表示为:NkkkMkkkzazbzH101)(（9-4）一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响NiiiMkkkNkkkMkkkzzzzbzazbzH11010)(1 1)(假设假设H(z)H(z)有有N N个极点，量化后的极点用个极点，量化后的极点用zi+zi+zizi表示。表示。43n上式中，上式中，是第是第i i个极点位置的偏移，称为极点误差，个极点位置的偏移，称为极点误差，它是由它是由 系数量化误差引起的。系数量化误差引起的。与与 之间的关系是
35、之间的关系是:izkaizkaNiaazzkNkkii,1,1式中，式中，的大小直接影响第的大小直接影响第k k个系数偏差个系数偏差 所引起的第所引起的第i个极点偏个极点偏差差 的大小：的大小：越大，越大，对对zi的影响越大。的影响越大。是说明第是说明第i i个极点的位置对分母多项式中第个极点的位置对分母多项式中第k k个系数的量化误差的个系数的量化误差的敏感程度的一个量，称为敏感程度的一个量，称为极点敏感度极点敏感度 。kiaz/kiaz/kakaizkiaz/一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响44n经过推导可以得出灵敏度和极点的关系：经过推导可以得
36、出灵敏度和极点的关系：NilllikNikizzzaz1（9-6）一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响上式即是系数量化偏差引起的第上式即是系数量化偏差引起的第i i个极点的偏差。个极点的偏差。说明了滤波器的第说明了滤波器的第i i个极点的位置对传输函数分母多项式的第个极点的位置对传输函数分母多项式的第k k个系数的量个系数的量化误差的敏感程度与极点分布的关系。此式只对单阶极点有效，多阶极点化误差的敏感程度与极点分布的关系。此式只对单阶极点有效，多阶极点可进行类似的推导。对于直接型结构，由于它的零点只取决于分子多项式可进行类似的推导。对于直接型结构，由于它
37、的零点只取决于分子多项式的系数，因而对于零点可得到完全相似的结果。的系数，因而对于零点可得到完全相似的结果。45 （1 1）分母多项式中，分母多项式中，是极点是极点 指向极点指向极点 的矢量，的矢量，整个分母是所有极点与第整个分母是所有极点与第i i个极点之间的矢量乘积。如果这些距离个极点之间的矢量乘积。如果这些距离都很小即如果所有都很小即如果所有N N个极点都聚集在一起，那么距离的矢量乘积就个极点都聚集在一起，那么距离的矢量乘积就很小，第很小，第i i个极点的位置对系数量化误差就非常敏感，即极点位置个极点的位置对系数量化误差就非常敏感，即极点位置灵敏度高，相应的极点偏差就大。灵敏度高，相应的
38、极点偏差就大。lzlizziz一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响结论：结论：46 （a a）带通滤波器，（带通滤波器，（b b）低通滤波器，前者极点距离比后者长，）低通滤波器，前者极点距离比后者长，前者极点位置灵敏度比后者小，即在相同程度的系数量化下所造前者极点位置灵敏度比后者小，即在相同程度的系数量化下所造成的极点位置误差前者比后者要小。成的极点位置误差前者比后者要小。一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响47例1 设一低通滤波器的传递函数如下，分析计算系数量化对极点位置的影响。332211321119508.0
39、8934.29425.211)(zazazazzzzH解 经计算求得 的极点分别是)(zH0052352198.098.099.0jjezzezz，）（）（151510098.0198.0199.011)(zezezzHjj于是：48研究当 时，仅仅由一个系数 的量化所引起的极点 的变化 031aa2a1z1z）（00552312121198.099.098.099.099.0)(jjeeazzzzazz若字长为8位，由量化引起的误差q/2可达大约0.002，求得 ，于是2578.01z248.12578.099.0111zzz极点远远超出单位圆，这样的变化显然是太大了。49再研究 ，即将极点
40、移到单位圆上需要的字长 01.01z00007578.02计算得：a510578.7二进制数中为2-14 2-13，字长至少要14位。510578.72a510578.7如果 2.945的量化误差等于 ，就会使量化后系统的极点移到单位圆上可见一个三阶系统对字长的要求已经非常严格了，如果阶数再高对量化误差的要求将更加苛刻。50n设H(z)=0.0373z/(z2-1.7z+0.745)，求维持系统稳定性系数需要最小字长.(设滤波器作舍入处理）n解：求系统稳定性是求分母=0，求出极点，且极点1.n若量化Miiiza101iiiaaaMiMiiiiizaza1101设此时极点都在单位园上，则z=1代
41、入：则量化误差：MiMiiiaa11045.0745.07.111.7(6209.0/7.109.0045.0222)1取若为截尾，则可求得舍入），长取为了稳定，系数最小字现用最大系数：（bbqqbb51n（2 2）极点偏差与系统函数的阶数）极点偏差与系统函数的阶数N N有关，阶数越高，滤波器的极点位置对系数有关，阶数越高，滤波器的极点位置对系数量化误差越敏感，极点偏差也大。高阶直接型结构滤波器的极点数目多而密，量化误差越敏感，极点偏差也大。高阶直接型结构滤波器的极点数目多而密，低阶直接型结构滤波器的极点数目少而稀疏，因而前者对系数量化误差要更加低阶直接型结构滤波器的极点数目少而稀疏，因而前者
42、对系数量化误差要更加敏感，同理，并联型结构和级联型结构比直接型结构要好得多。因此，高阶结敏感，同理，并联型结构和级联型结构比直接型结构要好得多。因此，高阶结构时，由于各二阶节相互独立级联或并联的结构来实现，而很少采用直接型结构时，由于各二阶节相互独立级联或并联的结构来实现，而很少采用直接型结构。构。一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响52n（3 3）当采用二阶节级联或并联结构时，由于各二阶节相互独立，各有一对）当采用二阶节级联或并联结构时，由于各二阶节相互独立，各有一对复共轭极点，特别是对于窄带带通滤波器来说，每对复共轭极点的两极点都复共轭极点，特别是对
43、于窄带带通滤波器来说，每对复共轭极点的两极点都相距较远，因而系数量化误差对极点置的影响格外小。相距较远，因而系数量化误差对极点置的影响格外小。n 综上以上考虑，为了减小系数量化误差对极点位置的影响，系统的综上以上考虑，为了减小系数量化误差对极点位置的影响，系统的结构应当避免采用高阶的直接型结构，而最好采用由一阶或二阶节构成的级结构应当避免采用高阶的直接型结构，而最好采用由一阶或二阶节构成的级联或并联结构来实现。这样可避免较多的零、极点集中在一起。通常为了能联或并联结构来实现。这样可避免较多的零、极点集中在一起。通常为了能够独立地控制各节的极点或零点，多选用级联结构。够独立地控制各节的极点或零点
44、，多选用级联结构。一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响一、系数量化对滤波器零、极点位置的影响532 2 系数量化对二阶子系统极点位置的影响系数量化对二阶子系统极点位置的影响 n高阶系统高阶系统n级联型和并联型优于直接型。级联型和并联型优于直接型。n级联型和并联型的基本子系统是二阶节级联型和并联型的基本子系统是二阶节n一个具有共轭极点的二阶系统有各种不同的结构一个具有共轭极点的二阶系统有各种不同的结构n不同结构对于系数量化的敏感度也不同不同结构对于系数量化的敏感度也不同 54二阶二阶IIRIIR系统的系统函数为系统的系统函数为 221111)(zazazHjrez，21221112211cos
45、21)1)(1(1zrzrzrezrezazajj2cos122arar，具有一对共轭对称的复极点具有一对共轭对称的复极点有有得到得到55共轭对称极点对组成的基本二阶网络的直接型实现共轭对称极点对组成的基本二阶网络的直接型实现)(zX)(zY1z1zcos2r2r221111)(zazazH2cos122arar，562cos122arar，说明:对于二阶网络，其极点的半径 完全由系数 决定，极点在实轴上的坐标值 取决于系数 。2acosr1ar1a2a如果 、用三位字长表示，b3(不算符号位)，r87cosr只能表达8种半径 值和 之间的15种实轴坐标值57三位二进码1,2,3 所表达的的值
46、|a1|极点横坐标 a2三位二进码 所表达的a2的值 极点半径0.000.000.0000.0000.0000.0000.010.250.1250.0010.1250.3540.100.500.2500.0100.2500.5000.110.750.3750.0110.3750.6121.001.000.5000.1000.5000.7071.011.250.6250.1010.6250.7891.101.500.7500.1100.7500.8651.001.750.8750.1110.8750.9352cos1ar321、2ar58n极点位置如下图中的网眼节点n如果所需要的极点位置不在这些
47、网眼节点上时，就只能以最靠近的一个节点来代替这一极点位置，这样就引入了极点位置误差RexjImx10-1a1=1.751.501.251.000.750.500.25a1=0.250.500.751.001.251.501.75a2=0.1250.2500.3750.5000.6250.7500.87559n系数量化使零极点位置的取值范围由一个连续域变为一个离散的平面点系数量化使零极点位置的取值范围由一个连续域变为一个离散的平面点阵，从而造成零极点的漂移，导致系统特性的改变。阵，从而造成零极点的漂移，导致系统特性的改变。n在平面上量化位置的分布密度是不均匀的在平面上量化位置的分布密度是不均匀的
48、n在实轴附近分布得稀，在虚轴附近分布得密；在实轴附近分布得稀，在虚轴附近分布得密；n半径小的地方分布得稀，半径大的地方分布得密。半径小的地方分布得稀，半径大的地方分布得密。n这祥就会使实轴附近的极点这祥就会使实轴附近的极点(例加低通、高通滤波器例加低通、高通滤波器)量化误差较大、而量化误差较大、而对虚轴附近的极点对虚轴附近的极点(例如带通滤波器例如带通滤波器)量化误差较小量化误差较小n这种分布只是二阶直接型结构的情况，不同结构的滤波器，系数对零极这种分布只是二阶直接型结构的情况，不同结构的滤波器，系数对零极点位置的影响是不一样的点位置的影响是不一样的 结论：60)(nx)(ny1z1zcosr
49、cosrsinrsinr该网络的系统函数为：221)(cos211)(zrzrzH当系数量化时，是对 及 进行量化，因而所得到的网格点子在z平面是均匀分布的cosrsinr这里系数量化后对z平面的所有区域，所产生的误差是相同的。基本二阶网络的另一种实现61具有共轭极点对的二阶数字网络耦合形式实现情况下，系数量化为三比特时极点的可能位置 62636465n实现数字滤波器所包含的基本运算有延时、乘系数和相加三种。实现数字滤波器所包含的基本运算有延时、乘系数和相加三种。n延时运算由寄存器来完成，并不造成字长的变化，而通常信号和滤波器的延时运算由寄存器来完成，并不造成字长的变化，而通常信号和滤波器的系
50、数用有限字长定点二进制小数表示，因此，滤波器主要涉及乘系数和相系数用有限字长定点二进制小数表示，因此，滤波器主要涉及乘系数和相加乘法和加法运算造成的影响。加乘法和加法运算造成的影响。n定点小数相加后字长不会增加，因此无需进行截尾或舍入处理；定点小数定点小数相加后字长不会增加，因此无需进行截尾或舍入处理；定点小数相加的溢出问题可以通过乘以适当的比例因子的办法来解决。定点小数相相加的溢出问题可以通过乘以适当的比例因子的办法来解决。定点小数相乘没有溢出问题，但字长会增加，因此必须采用截尾或舍入处理。乘没有溢出问题，但字长会增加，因此必须采用截尾或舍入处理。9.5 9.5 数字滤波器运算中的有限字长效
