1、2022 年高考理数真题试卷（全国甲卷）2022 年高考理数真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若 ，则 （）ABCD2某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70%B讲座后问卷答题
2、的正确率的平均数大于 85%C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3设全集 ，集合 ，则 （）ABCD4如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（）A8B12C16D205函数 在区间 的图像大致为（）ABCD6当 时，函数 取得最大值 ，则 （）A-1BCD17在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，则（）ABAB 与平面 所成的角为 CD 与平面 所成的角为 8沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以 O 为圆心，OA
3、 为半径的圆弧，C 是 AB 的中点，D 在 上，“会圆术”给出 的弧长的近似值 s 的计算公式：当 时，（）ABCD9甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 若 ，则 （）ABCD10椭圆 的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上，且关于 y 轴对称若直线 的斜率之积为 ，则 C 的离心率为（）ABCD11设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（）ABCD12已知 ，则（）ABCD二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13设向量 ，的夹角的
4、余弦值为 ，且 ，则 14若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 15从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为 16已知 中，点 D 在边 BC 上，当 取得最小值时，三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17记 为数列 的前 n 项和已知 （1）证明：是等差数列；（2）若 成等比数列，
5、求 的最小值 18在四棱锥 中，底面 （1）证明：；（2）求 PD 与平面 所成的角的正弦值19甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望20设抛物线 的焦点为 F，点 ，过 的直线交 C 于 M，N 两点当直线 MD 垂直于 x 轴时，（1）求 C 的方程：（2）设直线 与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线 的倾斜角分别
6、为 当 取得最大值时，求直线 AB 的方程 21已知函数 （1）若 ，求 a 的取值范围；（2）证明：若 有两个零点 ，则 四、选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。四、选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t 为参数），曲线 的参数方程为 （s 为参数）（1）写出 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标 23已知 a，b，c 均为正数，
7、且 ，证明：（1）；（2）若 ，则 答案解析部分答案解析部分1【答案】C2【答案】B3【答案】D4【答案】B5【答案】A6【答案】B7【答案】D8【答案】B9【答案】C10【答案】A11【答案】C12【答案】A13【答案】1114【答案】15【答案】16【答案】或 17【答案】（1）已知 ，即，当 时，-得，即 ，即 ，所以 ，且 ，所以 是以 1 为公差的等差数列（2）由（1）中 可得，又 ，成等比数列，所以 ，即 ，解得 ，所以 ，所以 ，所以，当 或 时 18【答案】（1）证明：在四边形 中，作 于 ，于 ，因为 ，所以四边形 为等腰梯形，所以 ，故 ，所以 ，所以 ，因为 平面 ，平面
8、 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，又因 平面 ，所以（2）解：由(1)知，PD，AD，BD 两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示，则 设平面 PAB 的法向量为 ，则 即 不妨设 ，则 ，设 PD 与平面 PAB 的所成角为，则PD 与平面 PAB 的所成的角的正弦值为 .19【答案】（1）解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为 P=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.（2）解：依题可知，X 的可能取值为 ，所以，.即 X 的分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望 20【答案】（1）解：抛物线的准线为 ，当 与 x 轴垂
9、直时，点 M 的横坐标为 p，此时 ，所以 ，所以抛物线 C 的方程为 ；（2）解：设 ，直线 ，由 可得 ，由斜率公式可得 ，直线 ，代入抛物线方程可得 ，所以 ，同理可得 ，所以 又因为直线 MN、AB 的倾斜角分别为 ，所以 ，若要使 最大，则 ，设 ，则 ，当且仅当 即 时，等号成立，所以当 最大时，设直线 ，代入抛物线方程可得 ，所以 ，所以直线 .21【答案】（1）解：由题意得，函数 f(x)的定义域为，令 f(x)=0，得 x=1，当 x（0，1），f(x)0，f(x)单调递增，若 f(x)0，则 e+1-a0，即 ae+1，所以 a 的取值范围为（-，e+1）（2）证明：由题知
10、，一个零点小于 1，一个零点大于 1 不妨设 要证 ，即证 因为 ，即证 因为 ，即证 即证 即证 下面证明 时，设 ，则 设 所以 ，而 所以 ，所以 所以 在 单调递增即 ，所以 令 所以 在 单调递减即 ，所以 ；综上，所以 22【答案】（1）解：因为 ，所以 ，即 普通方程为 （2）解：因为 ，所以 ，即 的普通方程为 ，由 ，即 的普通方程为 联立 ，解得：或 ，即交点坐标为 ，；联立 ，解得：或 ，即交点坐标 ，23【答案】（1）证明：由柯西不等式有 ，所以 ，当且仅当 时，取等号，所以（2）证明：因为 ，由（1）得 ，即 ，所以 ，由权方和不等式知 ，当且仅当 ，即 ，时取等号，所以 .
