1、 高三数学二模试卷 高三数学二模试卷一、单选题一、单选题1设集合则（）ABCD2已知复数 z 满足（是虚数单位），则的值为（）A-2022B1C-1D20223设 为等差数列 的前 项和，则 （）A-6B-4C-2D24函数的图象可能是（）ABCD5二项式展开式中，有理项共有（）项A3B4C5D76已知椭圆 C 的左、右焦点分别为，直线 AB 过与该椭圆交于 A，B 两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（）ABCD7若，则实数的值为（）A4BCD8已知函数，若过点存在 3 条直线与曲线相切，则 t 的取值范围是（）ABCD二、多选题二、多选题9已知 a，b，c 满足 cab，且 ac0Bc（
2、b-a）0CD10如图所示，5 个（x，y）数据，去掉 D（3，10）后，下列说法正确的是（）A相关系数 r 变大B残差平方和变大C相关指数 R2变小D解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强11设 a，b，c 都是正数，且，则下列结论正确的是（）ABCD12如图，在正方体中，点 P 在线段上运动，则（）A直线平面B三棱锥的体积为定值C异面直线 AP 与所成角的取值范围是D直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题三、填空题13中国古代数学名草周髀算经曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为 a2+b2=c2（a，b，cN*），我们把 a，b，c 叫做勾股数下列给出几组勾股数：3
3、，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第 5 组股数的三个数依次是 14在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，设=2=3，则=.15如图从双曲线 （其中 ）的左焦点 F 引圆 的切线，切点为T，延长 ，交双曲线右支于 P，若 M 为线段 的中点，O 为原点，则 的值为（用 表示）16若，则的取值范围为 .四、解答题四、解答题17已知个正数排成 n 行 n 列，表示第 i 行第 j 列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为 q已知，（1）求公比 q；（2）记第 n 行的数所成的等差数列的公差为，把，所构成的数列记作数列，求数列的前
4、 n 项和18袋中装着标有数字 1，2，3，4 的小球各 3 个，从袋中任取 3 个小球，每个小球被取出的可能性都相等（）求取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；（）用表示取出的 3 个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和数学期望19已知钝角ABC 内接于单位圆，内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，（1）证明：；（2）若，求ABC 的面积20如图所示，C 为半圆锥顶点，O 为圆锥底面圆心，BD 为底面直径，A 为弧 BD 中点是边长为 2 的等边三角形，弦 AD 上点 E 使得二面角的大小为 30，且（1）求 t 的值；（2）对于平面 ACD 内的动点 P 总有平面 BEC，
5、请指出 P 的轨迹，并说明该轨迹上任意点P 都使得平面 BEC 的理由21在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆与抛物线交于点M，N（异于原点 O），MN 恰为该圆的直径，过点 E（0，2）作直线交抛物线于 A，B 两点，过 A，B 两点分别作抛物线 C 的切线交于点 P（1）求证：点 P 的纵坐标为定值；（2）若 F 是抛物线 C 的焦点，证明：22已知函数，其中是自然对数底（1）求的极小值；（2）当时，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，且，求证：答案解析部分答案解析部分1【答案】C2【答案】C3【答案】A4【答案】A5【答案】D6【答案】B7【答案】A8【答案】D9【答案】B,C,D10
6、【答案】A,D11【答案】A,C,D12【答案】A,B13【答案】11，60，6114【答案】15【答案】16【答案】17【答案】（1）解：由题意知，成等差数列，其公差为，又，成等比数列，且，公比，由于，故；（2）解：由，可得，而，故，故；又，故，由于 为等差数列，公差为，故，即，故.18【答案】解：（I）“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为，则（II）由题意所有可能的取值为：，.；所以随机变量的分布列为1234随机变量的均值为19【答案】（1）证明：根据正弦定理，由，因为，所以，所以由，由，因为ABC 是钝角三角形，所以，或，当时，所以有，这与ABC 是钝角三角形相矛盾，故不
7、成立，当时，所以有，显然此时 B 为钝角，所以ABC 是钝角三角形，符合题意；（2）解：由，由（1）可知：，所以，因为 B 为钝角，所以，所以，因为 A 为锐角，所以，所以，因为钝角ABC 内接于单位圆，所以由正弦定理可知：，因此ABC 的面积为.20【答案】（1）解：易知面，以所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系，则，易知面的一个法向量为，设面的法向量为，则，令，则，可得，解得或 3，又点 E 在弦 AD 上，故.（2）解：P 的轨迹为过靠近的三等分点及中点的直线，证明如下：取靠近的三等分点即中点，中点，连接，由为中点，易知，又面，面，所以平面 BEC，又，面，面，所以平面 BEC，又，所以
8、面平面 BEC，即和所在直线上任意一点连线都平行于平面 BEC，又面，故 P 的轨迹即为所在直线，即过靠近的三等分点及中点的直线.21【答案】（1）证明：由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1)，代入抛物线方程可得 2p=1，所以抛物线的方程为 x2=y，设 A，B，所以，所以直线 AB 的方程为，即，因为直线 AB 过点 C(0，2)，所以，所以.因为，所以直线 PA 的斜率为，直线 PB 的斜率为，直线 PA 的方程为，即，同理直线 PB 的方程为，联立两直线方程，可得 P由可知点 P 的纵坐标为定值-2.（2）证明：，注意到两角都在内，可知要证，即证，所以，又，所以，同理式得证.22【答案】（1）解：由题意，函数，可得，当时，令，函数在上单调递增，无极小值；当时，令，即，解得，当时，此时函数上单调递减；当时，此时函数上单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值为.（2）证明：因为，所以，所以，因为函数有两个不同的零点，且，所以，所以，所以，因为，设，可得，因为，所以在单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，再考虑，因为，所以，设，则，令，则，所以在上为单调递减函数，所以，即恒成立，进而，综上可得，.
