1、ch4一次二阶矩法一次二阶矩法n4.1一次二阶矩中心点法一次二阶矩中心点法n4.2一次二阶矩验算点法n4.3JC法n4.4相关随机变量的可靠度分析方法相关随机变量的可靠度分析方法随机变量为正态分布，且功能函数为线性函数n假定抗力R和荷载效应S均服从正态分布，对于功能函数Z=R-S，,由于Z是R、S的线性函数，根据正态随机变量的特性，Z也服从正态分布，其平均值及标准差为SRz22SRZ则定义可靠指标：22SRSRZZ正态分布失效概率与可靠指标之间的精确关系02)(021)(22dzedzzfPZzzZf)()(2122ZZtfdtePZZ这种情况下可靠指标是唯一的，且与失效概率之间有精确的对应关
2、系。tzzztzzz令ZZZZ随机变量为对数正态分布，功能函数为线性函数n假定抗力R和荷载效应S均服从对数正态分布，结构功能函数可表示为Z=lnR-lnS，由于lnR、lnS均服从正态分布,Z也服从正态分布，是lnR、lnS的线性函数，根据正态随机变量的特性，其平均值及标准差也可以精确得到：SRzlnln2ln2lnSRZ)1)(1ln()11ln(22222ln2lnlnlnSRRSSRSRSRZZVVVV可靠指标为：)1ln(2lnxxxV)1ln(2lnxxV4.1中心点法n假定随机变量x1、x2xn服从正态分布，但功能函数 不是线性函数.这时,(1)精确求解Z的平均值和标准差是非常困难
3、的;(2)即便能够求得，Z也不服从正态分布，也不能用上面方法来计算结构的可靠指标。n 若将非线性功能函数作为泰勒级数展开，其一次展开式（前两项）的概率分布应服从正态分布;但一次展开式已不是原来的功能函数，所计算可靠指标与结构失效概率之间不再存在精确的对应关系;在这种情况下如何选择展开点，展开点，从而使近似计算结果与精确失效概率的误差最小,成为一次二阶矩法要研究的问题。),(2,1nxxxgZ ZZ4.1中心点法基本原理n设结构的极限状态方程为 n将极限状态函数在中心点M=()处展开为泰勒级数，并作线性化处理，得n根据概率论中随机变量参数估计，Z*的统计参数为:n结构的可靠指标),(21nxxx
4、gZ 321,xxx inixixxxxgxgZZin 1*)(),(21),(21*nxxxZg 22*),(21inxxxxiZgx 2*),(),(2121innxxxxixxxZZZZgxg jininjxjxiinixixxxxxgxxxgxgZjiin2111)(21)(),(21在中心点处展开为泰勒级数：中心点法的线性示意图该法选用的线性化点（即平均值点）不在失效边界上（这也被看作中心点法不尽如人意的主要原因）对中心点法的评述n中心点法的主要弱点n(1)没有考虑基本变量的概率分布 n(2)均值、方差及可靠指标的计算式是误差传递公式n(3)同一个结构往往可以列出几种等价的极限状态方
5、程，不同的极限状态函数在运用中心点法计算时，其结果可能不一致。n(4)将非线性功能函数在随机变量的平均值处展开不合理，由于平均值不在极限状态曲面上，展开后的线性极限状态面线性极限状态面可能会较大程度地偏离原来的极限极限状态曲面状态曲面。n(5)基本变量不服从正态分布和对数正态分布时，计算出的结构可靠度与结构的实际情况出入较大，不能采用。验算点法基本原理n关于设计验算点n设点P(x1，x2，xn)为极限状态方程Z=0所对应的曲面上的点，d(P，M)为点P到中心点M()的距离，则能使mind(P，M)的点P*称为设计验算点，简称为验算点。n记为P*(x*1，x*2，x*n)，显然验算点的坐标满足
6、nxxx 21,0*)*,*,(21 nxxxgZ验算点法示意M验算点法设计验算点法求可靠指标（1）n理论推导n当线性化点选在设计验算点xi*(i=1,2,n)上时 nZ的均值为（求Z的数学期望得）n由于设计验算点在失效边界上，故有 n则有)5()(),(*1*2*1xiniiinxgxxxxxgZ )6()(),(*1*2*1xiniixnZxgxxxxgi )7(0),(*2*1 nxxxg)8()(*1*xiniixZxgxi jininjxjxiinixixxxxxgxxxgxgZjiin2111)(21)(),(21 jininjjjiiiniiinxxgxxxxxgxxxxxgZ2
7、11*1*2*1)(21)(),(表示第个随机变量对整个标准差的相对影响，因此称为灵敏系数。设计验算点法求可靠指标（2）n假设各随机变量独立，则可求解Z的方差：n引入分离函数式，将上面的根式线性化，得n )9()(12*2nixixZxginixixiZxgi1*)10(i)11()(12*nixixxixixgxgiinixixZxgi12)(*将 乘以分母整理后得设计验算点法求可靠指标（3）n根据可靠指标的定义，有n由于 ，必有 n（对于所有i）)12()(1*1*nixixinixixiZZxgxxgii0)(1*nixiixxiiixxg0*xixg0*iixiixx)8()(*1*x
8、iniixZxgxinixixiZxgi1*)10(设计验算点法求可靠指标（4）n从而可解出设计验算点n解出设计验算点P*（，）后，该点还应满足 n式（13）代表n个方程，再加上（14）共有n+1个方程，未知数有 和 ，也是n+1个。尽管如此，联立求解还是有困难，通常用迭代法求解。)13(*iixixix*1x*2x*nx)14(0),(*2*1 nxxxg*ix0*iixiixx)11()(12*nixixxixixgxgii设计验算点法求可靠指标（5）n计算步骤n（1）选取设计验算点坐标的初值，一般取 n（2）由式（11）计算 的值，其中包括 n（3）由式（13）得到 和 的关系 n（4）
9、由式（14）解出 值 n（5）将该值代入式（13），求出 新值 n以该 新重复进行（2）-（5）计算，直到 值与上次相等或误差不超过允许值，此时 即为所求的可靠指标，即为所确定的设计验算点坐标。*ixixi*xixg*ix*ix*ix*ix)(fP设计验算点法求可靠指标评述n验算点法对极限状态方程中服从正态分布的随机变量计算结果尚可，而非正态分布误差较大。4.3JC法求可靠指标n在工程结构可靠度分析中，永久荷载一般服从正态分布，风压、雪压、楼面活载服从其它类型分布（如极值型等），截面抗力R服从对数正态分布。因此在极限状态方程中，常包含非正态分布的基本变量，对于这种极限状态方程的可靠度分析，一般
10、要把非正态变量进行当量正态化非正态变量进行当量正态化,用其当量正态分布的统计参数用其当量正态分布的统计参数代替原随机变量的统计参数，仍按验算点法求解代替原随机变量的统计参数，仍按验算点法求解。nJC法的基本概念就是在应用前面所述方法(验算点法)时，将非正态的随机变量先行“当量正态化”。nJCJC法是由法是由Rackwitz-FiesslerRackwitz-Fiessler、Hasofer-LindHasofer-Lind等人先后提出来等人先后提出来的，因为国际安全度联合委员会的，因为国际安全度联合委员会(JCSS)JCSS)推荐采用这个方法而得推荐采用这个方法而得名。名。4.3.1随机变量的
11、当量正态化 n当量正态变量：设x是服从某分布的连续型随机变量，其概率密度为f(x)，分布函数为F(x)。若存在服从正态分布的随机变量，其概率密度为連續密度函数h(y),分布函数H（y）使得在某一点x*处有n(1)f(x*)=h(x*)n(2)F(x*)=H(x*)则称y为非正态变量x在点x*处的当量正态变量。4.3.1随机变量的当量正态化)(xf)(yh*x)(*xF)(*yH当量正态变量的统计参数1.非正态变量x在x*处的当量正态变量的均值 y)*()()(*)(*yyxxxdyyhdxxfxF取标准正态分布 的逆 ，得)()(1)5(*)(*1xFxyy由分布函数的定义及当量正态分布的定义
12、)(*1*xFxyy-根据已知非正态分布函数可求其当量正态分布的均值。4.3.1随机变量的当量正态化2.当量正态变量标准差 )5(*)(*1xFxyy)6(*)(*)(1xfxFy),(2yyNy*)(*)(xfxh)*(1)*(21exp21)(2*yyyyyyxxxh)(1)(*1*xFxfy将（5）式引入，得：标准正态分布的密度函数)*(1)(*yyyxxf即)(*1*xFxyy4.3.1随机变量的当量正态化式(5)和(6)表示的就是当量当量正态变量正态变量的均值和标准差，它们是由已知的非非正态分布随机变量正态分布随机变量的概率密度函数和分布函数表示出来的。目的：用非正态分布的密目的：用
13、非正态分布的密度函数和分布函数求当度函数和分布函数求当量正态变量量正态变量统计参数统计参数)5(*)(*1xFxyy)6(*)(*)(1xfxFy随机变量的当量正态化举例n当量正态化实例1 极值I型分布n某可变荷载产生的压力SQ服从极值I型分布，平均值为84.0kN，标准差25.2kN，试对SQ进行当量正态处理（在S*Q=84.0处）。exp)()(uxexF05089.02.252825.12825.16QSx658.7205089.057722.00.8457722.0 xu5704.0)658.720.84(05089.0expexp)(*QSF)5(*)(*1xFxyy)6(*)(*)
14、(1xfxFyxeexfuxux,exp)()()(exp)()(uxexF6x57722.0 xu极值极值I型（最大值）分布型（最大值）分布4.3.1随机变量的当量正态化735.79177.0096.240.84)5704.0(096.240.84)(1*1*/QSQSSFSQQ096.2401630.03927.001630.0177.001630.0)5704.0()()(1*1/QQSSfSFQ01630.0)658.720.84(05089.0exp)658.720.84(05089.0exp05089.0)(*QSf即：已知的极值I型分布在均值处的当量正态分布的标准差和均值分别为2
15、4.096和79.735xuxauxxf),(exp)(exp)()5(*)(*1xFxyy)6(*)(*)(1xfxFy随机变量的当量正态化n当量正态化实例 2对数正态分布（由于对数正态分布与正态分布的特殊关系，其当量正态化有更简捷的形式），推导如下：，为的当量正态变量)5(*)(*1xFxyy)ln(21exp*21*)(2lnln*lnxxxxxxxf2lnln*2)ln(21exp21)(21exp21*)(xxxxxxxxxxf)7()1ln(2*ln*xxxVxx)()(*xfxfxxX服从对数正态分布，服从对数正态分布，x=lnx服从正态分布服从正态分布)6(*)(*)(1xfx
16、Fy对数正态密度函数对数正态密度函数：正态分布密度函数正态分布密度函数：)1ln(2lnxxV随机变量的当量正态化)8()1ln*ln1(*2xxVxx)*ln1(*ln xxx)*(lnlnlnln*xxxxxxxxxxxxlnln*lnxxxxxxlnln*ln*)(*)(xFxFxx)ln()(lnln*xxxxxx由当量正态化定义)1ln()1(lnln2ln222lnlnxxxxxxxVV依据对数正态分布函数正态分布函数与正态分布函数正态分布函数的关系)7()1ln(2*ln*xxxVxx4.3.2JC法求可靠指标计算计算步骤步骤n设结构的极限状态方程为Z=g(x1，x2，xn)=0
17、，基本变量xi的统计参数均值为 标准差为 ，(i=1，n)，则JC法的具体实施步骤加下：n（l）假定基本随机变量的设计验算点P*的坐标值 （初值一般取为 ）；n（2）对基本变量对基本变量x xi i在验算点处进行当量正态化处理，计算其在验算点处进行当量正态化处理，计算其当量正态分布当量正态分布y yi i的统计参数的统计参数 ，,并用来代替并用来代替 和和 并记并记为为 ，(1 1，n)n)；n(3）计算 的值，其中包括*ixixiyiyixixiiyxiiyxiixixi*xixgnixixxixixgxgii12*)(注意此处的 用当量正态化后的数值，即ixiy)5(*)(*1xFxyy)
18、6(*)(*)(1xfxFy4.3.2JC法求可靠指标计算计算步骤步骤n（4）确定 和 的关系 n（5）求n（6）求出 新值 n（7）以该新 重复进行（2）（5）计算，直到 值与上次相等或误差不超过允许值，此时 即为所求的可靠指标，即为所确定的设计验算点坐标。*ix*ix*ixiixixix*0),(*2*1 nxxxgiixixix*ix4.3.3JC法计算实例n某轴心受压短柱，承受永久荷载产生的压力SG，汽车、人群可变荷载产生的压力SQ，截面抗力为R。各变量的统计信息如下表，试用JC法求可靠指标及对应的失效概率。变量SGSQR分布类型正态极值I型对数正态平均值63（kN）84（kN）365
19、.8kN）标准差5.8（kN）25.2kN）54.9（kN）4.3.3JC法计算实例n1.建立极限状态方程 Z=g(R,SG,SQ)=R-SG-SQ=0n2.假定初始的设计验算点,初始验算点取为均值，即 x1*=R*=365.8；x2*=SG*=63；x3*=SQ*=84.0n3.将非正态变量R 和SQ在均值处进行当量正态化处理n抗力R对数正态分布，则 6.54)8.3659.54(1ln8.365)1ln(*22lnRRRVRR73.361)8.3659.54(18.365ln8.365ln1 8.365)1lnln1(22*/RRRVRR)8()1ln*ln1(*2xxxVxx)7()1l
20、n(2*ln*xxxVxx)5(*)(*1xFxyy)6(*)(*)(1xfxFy4.3.3JC法计算实例n可变荷载SQ极值I型分布，则)5(*)(*1xFxyy05089.02.252825.12825.16QiSx658.7205089.057722.00.8457722.0ixu84*QSQS5704.0)658.720.84(05089.0expexp)(*QSF01630.0)658.720.84(05089.0exp)658.720.84(05089.0exp05089.0)(*QSf096.2401630.03927.001630.0177.0 01630.05704.0()(1
21、*1/QQSSfSFQ)5704.0(096.240.84)(1*1*/QSQSSFSQQ735.79177.0096.240.84)6(*)(*)(1xfxFyexp)()()(uxuxeexfexp)()(uxexF4.3.3JC法计算实例n4计算inixixxixixgxgii12*)(1*xRg1*xGSg1*xQSgZ=g(R,SG,SQ)=R-SG-SQ=0212*2*2*12*)()()()(xQSxGSxRnixixSgSgRgxgQGi962.5996.248.56.54)()()(2122221222QGSSR9106.0962.591RR0967.0962.59)1(GG
22、SS4019.0962.59)1(QQSSJC法计算实例n5.和 的关系 6.549106.073.361*RRRR*ixiixixix*8.5)0967.0(0.63*GGGSSSGS096.24)4019.0(735.79/*QQQSSSQS0),(*2*1 nxxxg0*),*,(*QGQGSSRSSRg0)096.24)4019.0(735.79()8.5)0967.0(0.63()6.549106.073.361(652.3JC法计算实例n6.将求得的 代回5重新R*、第一次迭代结果*GS*QS16.1806.549106.0652.373.361*RRRR05.658.5)0967
23、.0(652.30.63*GGGGS10.115096.24652.3)4019.0(735.79/*QQQSSSQSiixixix*7.以第6步得到的值进行第二次迭代，此时（1）R*108.16 05.65*GS10.115*QS（2）R和SQ的当量正态化处理(因 x*的变化，其当量正态变量相应也变了）JC法计算实例89.26)8.3659.54(1ln16.180)1ln(*22lnRRRVRR75.305)8.3659.54(18.365ln16.180ln1 16.180)1lnln1(22*/RRRVRRSQ的当量正态化处理：8911.0)658.721.115(05089.0exp
24、exp)(*QSF00523.0)658.7210.115(05089.0exp)658.721.115(05089.0exp05089.0)(*QSf602.3501630.03927.000523.0234.1 00523.08911.0()(1*1/QQSSfSFQ)8911.0(602.3510.115)(1*1*/QSQSSFSQQ167.71R的当量正态化处理：(3)计算i5970.0964.44844.26964.441RR1290.0964.44)1(GGSS7918.0964.44)1(QQSSnixixxixixgxgii12*)(964.44602.358.5844.26
25、)()()(2122221222/QGSSR（4）第2次迭代iixixix*602.35)7918.0(167.71/*QQQSSSQS844.265970.075.305/*RRRR8.5)129.0(0.63*GGGSSSGS0*),*,(*QGQGSSRSSRg816.3求出新的R*=244.6,SG*=65.855,SQ*=178.74第三次迭代结果：求出新的R*=268.18,SG*=64.83,SQ*=203.36656.3第四次迭代结果：求出新的R*=244.60,SG*=65.855,SQ*=178.74第五次迭代结果：634.3求出新的R*=271.69,SG*=64.617
26、,SQ*=207.09632.3停止迭代，计算结束对JC法的评述（1）一次二阶矩法中较为精确的可靠度分析方法；）一次二阶矩法中较为精确的可靠度分析方法；（2）与验算点法有相同的原理和步骤，区别在于：对）与验算点法有相同的原理和步骤，区别在于：对非正态分布的随机变量，计算过程中用到的统计参数，非正态分布的随机变量，计算过程中用到的统计参数，均为其当量正态变量的统计参数；均为其当量正态变量的统计参数；（3）当量正态变量的统计参数随验算点位置而变化，）当量正态变量的统计参数随验算点位置而变化，每一次迭代都要重新算一次当量正态变量的统计参数。每一次迭代都要重新算一次当量正态变量的统计参数。作业4.4相
27、关随机变量的可靠度分析方法n引言：以上三种方法，要求随机变量相互独立。实际工程中随机变量之间可能存在着一定的相关性，如：n海（水）工结构的风荷载与水压力；n结构自重与抗力n岩土工程中的粘聚力和内摩擦角；n地震作用与抗力等。4.4.1广义随机空间的概念各坐标轴之间是正交的笛卡尔空间各坐标轴之间不是正交的广义随机空间21xxjixxjixx之间的相关系数和)arccos(2121xxxx相关随机变量的协方差和相关系数n相关随机变量的协方差：jixxExxExxCovjijixxjixjxiji;)()(),(n相关随机变量的相关系数：jixxCovjijixxjixx;)(4.4.1广义随机空间的
28、概念理论上的可靠度分析方法),(2,1nxxxgZ 广义随机空间内的功能函数为nxxx ,2,1 构成的广义随机空间内，结构的失效概率 可由下式给出：fpnnZdxdxdxxxxfpf 21201),(的联合密度函数、为nnxxxxxxf 2121),(按上式直接计算结构失效概率是比较困难的！4.4.1广义随机空间的概念简单问题n对于功能函数Z=R-S，R、S服从正态分布（非相互独立），则Z也服从正态分布，其统计参数可表示为：SRZ222SSRRSRZ之间的相关系数和为SRRS222SSRRSRSRZZ此时的可靠指标：)(fp4.4.2广义随机空间内的可靠度分析方法实际问题n（1）正态随机变量
29、线性极限状态方程的情况niiixaaZ10n由正态随机变量的特性知，Z也服从正态分布，其统计参数为nixiZiaa102/111)(ninjxxjixxZjijiaa2/11110)(ninjxxjixnixiZZjiiiaaaa以三个随机变量为例3322110 xaxaxaaZnixiZiaa102/111)(ninjxxjixxZjijiaa2/1231332123121)(332313133232121231312121333322221111xx33xxxx22xxxx11xxaaaaaaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxzaaaaaaaaaaaa2/1323121223
30、222221)222(323231312121321xxxxxxxxxxxxxxxzaaaaaaaaa4.4.2广义随机空间内的可靠度分析方法实际问题n（2）一般情况下（即功能函数为非线性以及随机变量是非正态分布）n将非线性功能函数在验算点处线性展开n将非正态随机变量在验算点处进行当量正态化处理n对随机变量进行当量正态化、对功能函数线性化处理后，原功能函数),(2,1nxxxgZ 变为：*1*1*2*1)()5()(),(xiniiixiniiinxgxxxgxxxxxgZ *1*)(xiniiixgxxZ4.4.2广义随机空间内的可靠度分析方法n对于非正态变量的当量正态化并不改变随机变量间的
31、线性相关性，即jijixxxx通过随机变量当量正态化，即用验算点法进行可靠度分析(即JC法)：*1*)(xiniiixgxxZ*1*)(xiniixZxgxi2/111)|(*ninjxxxjixxZjijixgxg2/111)|(*ninjxxxjixxZjijixgxg2/1111)|(|*njnkxxxkjxxnjxxjxxikjkjjjixgxgxg同样，引入分离函数 ，将根式线性化ii称为灵敏系数)13(*iixixix)14(0),(*2*1 nxxxg）（113*iixixix）（1140),(*2*1 nxxxg可靠度分析公式为4.4.3广义随机空间内的可靠度分析方法实例130
32、),(2121xxxxgZX1服从正态分布，1.0,0.3811xxX2服从正态分布，15.0,0.722xx5.021xxX1、X2相关实例4实例实例5n(1)求标准差及灵敏系数iixixix*0),(*2*1 nxxxg05.115.00.7,8.31.00.38222111xxxxxx8.3|*2*11xxgxx05.1|*1*22xxgxx130),(2121xxxxgZ2*1*1*2*2*1*22/11111)05.1()05.1()8.3(2)8.31(05.15.08.31)|(|21*1xxxxxxxgxgxgxxnjnkxxxkjxxnjxxjxxkjkjjj2*1*1*2*
33、2*2*12)05.1()05.1()8.3(2)8.31(8.35.005.1121xxxxxxxxiixixix*111*18.3381xxx2222*205.17xxx0130),(*2*1*2*1xxxxg2*1*1*2*2*1*21)05.1()05.1()8.3(2)8.31(05.15.08.3121xxxxxxxx 初值初值1234X1*38.029.696030.088530.132930.1329X2*7.04.37774.32064.31424.3142-0.8030-0.7665-0.7622-0.7617-0.7617-0.9177-0.9395-0.9417-0.942-0.94202.72152.71632.71622.71622.761212（2）迭代求 x*和4.4.3广义随机空间内的可靠度分析方法实例130),(2121xxxxgZ1.0,0.3811xx求（1）X1 X2均服从正态分布时的可靠指标；（答案：2.4438）（2）X1服从对数正态分布，X2服从正态分布时的可靠指标。（答案：2.5283）15.0,0.722xx9.021xxX1、X2相关作业作业2
