1、绝密 启用前 江苏省南京市、盐城市 2019 2020 学年度第一学期期末考试试卷 高 三 数 学 2020.01 一. 填空题（本题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分) S0 I0 While S10 SS+I II+1 End While Print I 第5题图 1. 已知集合 A = (0,+)，全集 U = R，则 UA =. 2. 设复数 z = 2+i, 其中 i 为虚数单位，则 zz =. 3. 学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的 概率为. 4. 命题“ R,cos+sin 1”的否定是命题.(填“真”或“假”) 5. 运行如图所
2、示的伪代码，则输出的 I 的值为. 6. 已知样本 7,8,9,x,y 的平均数是 9, 且 xy = 110, 则此样本的方差是. 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y2= 4x 上的点 P 到其焦点的距离为 3, 则点 P 到点 O 的距离为. 8. 若数列 an 是公差不为 0 的等差数列, 若 lna1,lna2,lna5成等差数列，则 a2 a1 的值为. 9. 在三棱柱 ABCA1B1C1中，点 P 是棱CC1上一点，记三棱柱 ABCA1B1C1与四棱锥 PABB1A1的体积分 别为 V1与V2, 则 V2 V1 =. 10. 设函数 f(x) = sin(x+) (
3、0,0 0) 的左右焦点分别为 F1、F2, 离心率是 e, 动点 P(x0,y)在椭圆 C 上运动. 当 PF2x 轴时，x0= 1,y0= e. (1) 求椭圆C 的方程； (2) (2) 延长 PF1,PF2分别交椭圆 C 于点 A,B(A,B 不重合) 设 # AF1= # F1P, # BF2= # F2P, 求+的最小值. Ox y A B P F1F2 19. (本小题满分 14 分) 定义：若穷数列 an 满 an+1an 是公比为 q 的等比数列，则称数列 an 为“M(q) 数列”. 设数列 bn 中 b1= 1,b3= 7. (1) 若 b2= 4, 且数列 bn 是“M
4、(q) 数列”, 求数列 bn 的通项公式； (2) 设数列 bn 的前 n 项和为 Sn, 且 bn+1= 2Sn 1 2n+ , 请判断数列 bn 是否为“M(q) 数列”, 并说明理 由； (3) 若数列 bn 是“M(2) 数列”, 是否存在正整数 m,n, 使 4039 2019 bm bn 4040 2019? 若存在，请求出所有满足条 件的正整数 m,n; 若不存在，请说明理由. 2020 届考研究系列试卷第 3 页 (共 4 页) 20. (本小题满分 14 分) 若函数 f(x) = exaexmx(m R) 为奇函数，且 x = x0时 f(x) 有极小值 f(x0). (
5、1) 求实数 a 的值； (2) 求实数 m 的取值范围； (3) 若 f(x0) 2 e 恒成立，求实数 m 的取值范围. 2020 届考研究系列试卷第 4 页 (共 4 页) 高三数学答案 第 1 页 共 5 页 南京市、盐城市南京市、盐城市 20202 20 0 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案数学参考答案 一、填空题一、填空题：本大题共本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，计分，计 7070 分分. . 12 34真 567 89 10111210 1314 二、解答题：二、解答题：本大题共本大题共 6 6 小题，计小题，计 9090
6、分分. .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题纸的指定区域内在答题纸的指定区域内. . 15解： （1）由可知， 移项可得，又，故，2 分 又由，可知，4 分 故在中，由正弦定理可得，所以.7 分 （2）由（1）知，所以时， 由即可得， 10 分 .14 分 16 （1）证明：连结交于点，连结， 又因为平面，平面 平面平面，所以3 分 因为四边形是正方形，对角线交于点， 所以点是的中点，所以， 所以在中，.6 分 （2）证明：连结. 因为为直四棱柱，所以侧棱垂直于底面， 又平面，所以8 分 因为底面是正方形，所
7、以10 分 又，面，面， 所以面. 12 分 又因为,所以，又因为， 高三数学答案 第 2 页 共 5 页 所以 A1P面 ACC1A1,所以14 分 17解： （1）设半径为，则， 所以的周长，4 分 解得，故半径的取值范围为.6 分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积， 8 分 设函数， 所以，由于， 所以在定义域上恒成立， 故在定义域上单调递增， 即当时，体积取到最大值.13 分 答：半径的取值范围为，当时，体积取到最大值.14 分 18.解： （1）由当轴时，可知，2 分 将，代入椭圆方程得（） ， 而，代入（）式得， 解得，故，椭圆的方程为.4 分 （2）方法一：设，由得，故， 代入
8、椭圆的方程得（） ， 8 分 又由得，代入（）式得， 化简得，即，显然， ，故.12 分 同理可得，故， 当且仅当时取等号，故的最小值为.16 分 方法二：由点，不重合可知直线与轴不重合，故可设直线的方程为， 高三数学答案 第 3 页 共 5 页 联立，消去得（） ， 设，则与为方程（）的两个实根， 由求根公式可得，故，则，8 分 将点代入椭圆的方程得， 代入直线的方程得， 由得，故 .12 分 同理可得，故， 当且仅当时取等号，故的最小值为.16 分 注： （1）也可设得，其余同理. （2）也可由运用基本不等式求解的最小值. 19解： （1），且数列是“数列”， ，2 分 故数列是等差数列，
9、公差为， 故通项公式为，即.4 分 （2）由得，故. 方法一：由得， 两式作差得，即， 又，对恒成立，6 分 则，而， 高三数学答案 第 4 页 共 5 页 是等比数列，8 分 ， 是公比为的等比数列，故数列是“数列”.10 分 方法二：同方法一得对恒成立， 则，两式作差得，而， ，以下同方法一.10 分 （3）由数列是“数列”得， 又， 当时， ， 当时上式也成立，故 ， 12 分 假设存在正整数使得，则， 由可知，又为正整数， 又， ， ， 故存在满足条件的正整数，.16 分 20解： （1）由函数为奇函数，得在定义域上恒成立， 所以， 化简可得，所以.3 分 （2）法一：由（1）可得，
10、所以， 其中当时，由于恒成立， 即恒成立，故不存在极小值.5 分 当时，方程有两个不等的正根， 高三数学答案 第 5 页 共 5 页 故可知函数在上单调递增， 在上单调递减，即在处取到极小值， 所以，的取值范围是.9 分 法二：由（1）可得， 令， 则， 故当时，；当时，5 分 故在上递减，在上递增， ， 若，则恒成立，单调递增，无极值点； 所以，解得， 取，则， 又函数的图象在区间上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间上，存在为函 数的零点，为极小值. 所以，的取值范围是.9 分 （3）由满足， 代入， 消去 m 可得，11 分 构造函数， 所以，当时， 所以当时，恒成立，故 h(x)在0，+)上为单调减函数，其中，13 分 则可转化为， 故，由，设， 可得当时，在上递增，故， 综上，的取值范围是.16 分
